数列求和、递推公式
初一开学周记-
袁迪远
2015<
/p>
、
4
、
28
数列求和的基本方法
一、公式法
：
适用于：
等差数列、
等比数列的求和公式或正整数平方和、
立方和公式等
求和．
熟记一些常见数列的前
n
项和公式：
1
、
等差数列求和公式：
2
、
等比数列求和公式：
3
、
1
2
3
n
2
2
2
4
、
1
< br>
2
3
n
2
5
、
3
1
2
3
3
3
2
n
3
< br>
3
n
例
1
求和
：
x
x
x
x
注意
:
(1)
利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为
< br>1
进
行讨论，
如本题若为“等比
”的形式而并未指明其为等比数列，
还应对
x
< br>是否为
0
进行讨论．
(2)
要弄清数列共有多少项，末项不一定是第
n
项．
二、裂项相消法求和
：
裂项相消法的基本思想是设法把数列中的每一项
“一拆为二”
，
即每一项拆
成
两项之差
，使它们在相加时能消去一些项，最终达到求和的目的。
1
）裂项相消求和法的两种类型：
<
/p>
类型一
:
分式型：
1
形式：形如
f
(
n
)
g
(
n
)
的求和
，其中
f
(
n
),
g
(
n
)
是关于
n
n
N
的一次函数。
f
(
n
),
< br>g
(
n
)
是关于
n
n
N
的
一次函数。
类型二：根式型
1
的求和，其中
形式：形如
f
(
n
)
g
(
n
)
类型一
:
分式型：
1
、
a
n
1
1
2
、
a
n
=
n
(
n
2)
n
n
1
1
3
、
a
n
2
n
1<
/p>
2
n
1
4
、
a
n
1
4
n
1
4
n
3
袁迪远
2
015
、
4
、
28
5
、
a
n
1
6<
/p>
n
5
6
n
1
例
1
：已知
a
n
1
，求
a
n
的前
n
项和
n
n
1
1
1
1
1
1
+
+
+
……
+
1
2
2
3
3
4
n
1
n
n
< br>n
1
S
n
=
a
n
练
1
：若已
知
类型二：根式型
1
、
a
n
1
n
n
2
，求
a
n
的前
n
项和
S
n
1
1
2
、
a
n
n
<
/p>
1
n
n
n
2
1
2
n
1
2
n
< br>1
1
，求
a
n
的前
n
项和
S
n
。
n
1
n
3
、
a
n
例
2
：
若已知
a
n
练
2
：
< br>若已知
a
n
< br>1
，求
a
n
的前
n
项和
S
n
。
2
n
1
2<
/p>
n
1
1
2
例
3
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，当
n
≥
2
时，其前
n
项和
S
n
满足
S
n
＝
a
n
S
n
－
2
.
(1)
求
S
n
的表达式；
< br>
(2)
< br>设
b
n
＝
S
n
，求
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2
n
＋
1
a
n
a
n
＋
1
练
3
已知数列
{
a
n
}
的各项均为正数，
前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
，
n
∈
N
*
.
2
1
(1)
求
证
：
数
列
{
a
n
}
是
等
差
数
列
；
(2)
设
b
n
＝
，
T
n
＝
b
1
＋
< br>b
2
＋
…
＋
b
n
，
求
T
n
.
2
S
n
袁迪远
2015
、
4
、
28
三、分组法求和
类型：若数列
a
n
的通项公式为
a
n
b
n
<
/p>
c
n
，其中
<
/p>
b
n
,
c
n
中一个是等差
数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
做法：把等差放一起，等比放一起求和。
例
1
：
若
a
n
2
n
1
3
n
，求
a
n
的前
< br>n
项和。
1
1
1
1
例
2
：求数列
1
,2
,3<
/p>
,4
2
4
8
16
的前
n
项和；
1
1
1
1
1
S
1
(
1
)
(
< br>1
)
(
1
变式训
练
1
求
和
n
2
2
4
2
4
1
)
2
n
1
例
3
：已知数列
{
x
n
}
的首项
x
1
＝
3
，通项
x
n
＝
2
n
p
＋
nq
(
n
∈
N
*
，
p
，
q
为常数
)
，且
x
1
，
x
< br>4
，
x
5
成等差数列．求：
(1)
p
，
q
的值；
(2)
数列
{
x
n<
/p>
}
前
n
项和
S
n
的公式
．
袁迪远
2015
、
4
、
28
四、错位相减法
类型：若数列
a
n
的通项公式为
a
n
b
n
c<
/p>
n
，其中
b<
/p>
n
,
c
n
中一个是等差
数列，另
一个是等比数列，求和时一般采用错位相减法。
做法：
求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列
的公比
q
；
然后
再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
< br>例
1
：
若
a
n
(2
n
1)
3
n
，求
a
n<
/p>
的前
n
项和。
2
3
n
1
例
2
：求和：
S
n
1
3
x
5
x
7
x
(
2
n
<
/p>
1
)
x
（
x
1
）
例
3
：设数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
1
＋
3
a
2
＋
3
a
3
＋…＋
3
2
n
－
1
n
a
< br>n
＝
3
，
n
∈
N
*
.
n
(1)
求数列
{
a
n
}
的
通项；
(2)
设
b
n
＝
，
求
数
列
{
b
n
}
的
前
n
项
和
S
< br>n
.
a
n
变
式
训
练
1
：
(20
11·
辽宁
)
已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
2
＝
< br>0
，
a
6
＋
a
8
＝－
10.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
a
n
(2)
求数列
2
n
－
1
的前
< br>
n
项和．
< br>
袁迪远
2
015
、
4
、
28
变式训练
2
：
< br>设
正
项
等
比
数
列
a
n
的
首
项
a
1
2
10
S
30
(
2
10
1
)
S
20
S
10
0
。
1
，
前
n
项
和
为
S
n<
/p>
，
且
2
（Ⅰ）求
a
n
的通项；
（Ⅱ）求
nS
n
的
前
n
项和
T
n
。
1
、求
S
n
2
3
5
1
4
3
5
2
<
/p>
2
n
3
5
n
2
、在数列
{a
n
}
中，
a
n<
/p>
n
项的和
.
2
1
2
n
，又
b
n
，求数列
{b
n
}
的前
a
n
a
n
< br>
1
n
1
n
1
n
1
3
、求数
列的前
n
项和：
1
1
、
1
1
1
4
、
2
7
、
、
n
1
< br>3
n
2
，
…
a
a
a
袁迪远
2015
、
4
、
28
4
、求数列
2
4
6
2
n
,
2
,
3
,
,
n
,
前
n
项的和
.
2
2
2
2
5
、求数列
2
，
2
×
2
2
，
3
×
< br>2
3
，
4
×
2
4
，…，
n
×
2
n
，
…的前
n
项
和。
6
、已知
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
S
n
n
n
0
，求数列
和
T
n
．
2
1
的前
n
项
a
n
a
n
1