数列性质和递推公式
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第二课时
数列的性质和递推公式
【选题明细表】
知识点、方法
递推公式的简单应用
利用递推公式求通项公式
数列的单调性
数列的周期性
数列的最大
(
小
)
项问题
基础巩固
1.
已知数列
{a
n
}<
/p>
满足
a
1
=
,a
n
=2a
n-
1
+1(n>1),
那么
a
4
等于
(
B
)
(A)5
(B)11
(C)23 (D)8
解析
:
由已知
可得
a
2
=2a
1
+1=2,a
3
=2a
2
+1=5,a
4
=2a
3
+1=11,
故选
< br>B.
2.
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
>0
且
a
n+1
=
a
n
,
则数列
{a
n
}
是
(
B
)
(A)
递增数列
(B)
递减数列
(C)
常数列
(D)
摆动数列
解析
:
因为
a
1
>0,a
n+1
=
a
n
,
所以
a
n
>0.
又因为
a
n+1
-a
n
=
a
n
-a
n
=-
a
n
<0,
所以
a
n+1
=-2n
项 <
br>4. <
br>=1,a 因为
n
.
故数列
{a
n
}
是递
减数列
.
故选
B.
题号
1
、<
/p>
5
、
7
4
、
10
2
、
8
、
12
6
、
9
、
11
3
3.
数
列
{a
n
}
的
通项公式为
a
2
n
+21n,
则该数列中最大的项为
(
B
)
(A)
第
4
项
(B)
第
5
项
(C)
第
6
项
(D)
第
7
项
解析
:
因为
f(n)=-2n
2<
/p>
+21n=-2(n-
)
2
+
(n
∈
N
*
),
所以
n=5
时
,a
n
最大
.
因为
a
5
=55,
所以最大项为第
5
.
故选
B.
已知
a
1
n
=n(a
n+1
-a
n
)(n
∈<
/p>
N
*
),
则数列
{a
n
}
的通
项公式是
(
D
(A)2n-1 <
/p>
(B)(
)
n-1
(C)n
2
(D)n
解析
:
a
n
=n(a
n+1
-a
n
),
所以
=
,
所以
a
n
=
×
×
×…×
×
×
a
1
=
< br>×
×
×…×
×
< br>×
1=n.
故选
D.
5.(2015
开封高二期末
)
数列
{a
n
}
满足
a
n+1
+a
n
=2n-3,
则
a
8
-a
4
等于
(
D
)
(A)7
(B)6
(C)5
(D)4
解析
:a
< br>8
-a
4
=a
< br>8
+a
7
-a
< br>7
+a
6
-a
< br>6
+a
5
-a
< br>5
-a
4
=(a
8
+a
7
< br>)+(a
6
+a
5
)-(a
7
+a
6
)-(a
5
+a
4
)
=2
×
7-3
+2
×
5-3-(2
×
6-3)-(2
×
4-3)=4.
故选
D.
)
6.(2014
高考新课标全国卷Ⅱ
)
数列
{a
n
}
满足
a
n+1
=
a
1
=
.
<
/p>
解析
:
将
a
8
=2
代入
a
n+1
=
再将
a<
/p>
7
=
代入
a
n+1
=
再将
a<
/p>
6
=-1
代入
a
n+1
=
,
可
求得
a
7
=
;
,a
8
=2,
则
,
可求得
a
6
=-1;
,
可求得
a
5
=2;
由此可以推出数
列
{a
n
}
是
一个周期数列
,
且周期为
3,
所以
a
1
=a
7
=
.
答案
:
7.
在数列
{a
n
}
中
,
已知
a
1
=2,a
n+1
=a
n
+n+1,
则
a
10
=
.
<
/p>
解析
:a
10
=
a
10
-a
9
+a
9
-a
8
+
…
+a
2
-
a
1
+a
1
=
10+9+8+
…
+2+2=56.
答案
:56
8.
数列
{a
n
}
中
,a
n
=(a
< br>2
-1)(n
3
-2n)(a<
/p>
≠±
1)
且数列
{a
n
}
为递增数列
< br>.
试
确定实数
a
的取值范围
.
解
:
因为数列
{a
n
}
是递增数列
,
所以
a
n+1
>a
n
.
所以
a
n+1
< br>-a
n
=(a
2
-1)(3n
2
+3n-1)>0.
因为
n
∈
N
< br>*
,
所以
3n
< br>2
+3n-1=3(n+
)
2<
/p>
-
≥
5>0,
所以
a
2
-1>0,
< br>所以
a>1
或
a<-1.
故
a
的取值范围是
(-
∞
,-1)
∪
(1,+
∞
).
能力提升