(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式
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特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、
（一阶线性递推式）设已知数列
{
a
n
}
的项满足
a
1
b
,
a
n
1<
/p>
ca
n
d
,
其中
c
0
,
c
1
,
求这个数列的通项
公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，
< br>然而这样做太过繁琐，
而且在猜想
通项公式中容易出错，
本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程
法：针对问题中的递推关系式作出一个
方程
x
cx
d
,
称之为特征方程；
借助这个特征方程的根快速求解通项公式
.
下面以定
理形式进行阐述
.
定理
1
：
设上述递推关系式的特征方程的根为
x
0
，
则当
x
0
a
1
时，
a
n
为常数列，即
a
n
a
1
;
当
x
0
a
1
时
,
a
n
b
n
x<
/p>
0
，其中
{
b<
/p>
n
}
是以
c
为公比
的等比数列，即
b
< br>n
b
1
c
n
1
,
b
1
a
1
x
0
.
证
明
：
因
为
c
0
,
1
,
由
特
征
方
程
得
x
0
<
/p>
b
n
1
d
.
作
换
元
b
n
a
n
x
0
,
则
1
c
d
cd
a
n
1
x
0
ca
n
d
ca
n
c
(
< br>a
n
x
0
)
cb
n
.
1
<
/p>
c
1
c
当
x
0
a
1
时，
b
1
0
，
< br>数列
{
b
n
}
是以
c
为公比的等比数列，
故
b
n
b
1
c
n
1
;
< br>当
x
0
a
1
时，
b
1
0
，
{<
/p>
b
n
}
为
0
数列，故
a
n
a
1
,
n
N
.
（证毕）
下面列举两例，说明定理
1
的应用
.
1
3
1
3
解：作方程
x
x
2
,
则
< br>x
0
.
3
2
3
11
当
a
1<
/p>
4
时，
a
1
x
0
,
b
1
a
1
< br>.
2
2
1
数
列
{
b
n
}
是
以
为
公
比
的
等
比
数
列
.
于
是
< br>3
1
11
1
3
3
11
1
b
n
b
1
(
)
n
1
(
)
n
1
,
a
n
< br>
b
n
(
)
n
1
,
n
N
.
3
2
3
2
2
< br>2
3
例
1
．已知数列
{
a
n
< br>}
满足：
a
n
< br>
1
a
n
2
,
n
N
,
a
1
4
,
求
a
n
.
例
2
< br>．
已知数列
{
a
n
}
满足递推关系：
a
n
1
(
2
a
n
3
)
i
,
n
N
,
其中
i
为虚数
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单位
。当
a
1
取何值时，数列
{
a
n
}
< br>是常数数列？
解
：
作
方
程
x
(
2
x
3
)
i
,
则
x
0
<
/p>
6
3
i
.
要
使
a
n
为
常
数
，
即
则
必
须
5
a
1
x
0
<
/p>
6
3
i
.
5
二、（二阶线性递推式）定理
2
：对于由递推公式
a
n
2
pa
n
1
qa
n
，
a
1
,
a
2
< br>
给出的数列
a
n
，方程
x
2
px
q
0
，叫做数列
a
n
的
特征方程。
若
x
1
,
x
2
是
特
征
方
程
的
两
个
根
，
当<
/p>
x
1
x
2
时
，
数
列
a
n
的
通
项
为
n
1
，
其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
决定
（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
a
n
Ax
1
n
1
B
x
2
n
1<
/p>
n
1
和
n
1
,
2
，
代入
a
n
Ax
1
，
得到关于
A
、
B
的方程组）
；
当
x
1
x
2
Bx
2
n
1
时，数列
a
n
< br>的通项为
a
n
(
A
B
)
x
1
，其中
A
，
B
由
a
1
,<
/p>
a
2
决
n
1
定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
< br>和
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
1<
/p>
，得到关于
A
、
B
的方程组）。
例
< br>3
：
已
知
数
列
a
n
满
足
a
1
a
,
a
2
b
,
3
a
n
< br>
2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
N
)
，求数列
a
n
的通项
公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由<
/p>
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
，得
a
n
2
a
n
1
2
(
a
n
1
a
n
)
，
< br>3
且
a
2
a
1
b
a
。
则数列
a
n
1
a
n
是以
b
a
为首项，
2
为公比的等比数列，于是
3
< br>2
a
n
1
a
n
(
b
a
)(
)
n
1
。把
n
1
,
2
,
3
,
< br>
,
n
代入，得
3
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a<
/p>
2
a
1
b
a
，
2
a
3
a
2
(
b
a
)
(
)<
/p>
，
3
2
a
4
a
3
(
b
a
)
(
)
2
，
3
2
a
n
a
n
1
(
b
< br>
a
)(
)
n
2
。
3
把以上各式相加，得
2
1
(
< br>)
n
1
2
2
2
3
a
n
a
1
(
b
a
)[
1
(
)
(
)
n
2
]
(
b<
/p>
a
)
。
2
3
3
3
1
3
2
2
a
n
[
3
3
(
)
n<
/p>
1
](
b
a
)
a
3
(
a
b
)(
)
n
1
3
b
2
a
。
3<
/p>
3
解法二（特征根法）：数列
a
n
：
3
a
n
< br>2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
N
)
，
a
< br>1
a
,
a
2
b
的
特征方程是：
3
x
2
< br>
5
x
2
0
。
x
1
1
,
x
2
2
,
3
2
n
1
A
B
(
)
n
1
。
<
/p>
a
n
Ax
1
n
1
Bx
2
3
又由
a
1
a
,
a
2
< br>
b
，于是
< br>
a
A
B
A
3
b
2
a
2
b
A
B
< br>
B
3
(
a
b
)
3
故
a
n
3
b
2
a
3
(
a
< br>
b
)(
)
2
3
n
1
三、
(
分
式递推式
)
定理
3
：
如果数列
{
a
< br>n
}
满足下列条件：
已知
a
1
的值且对于
n<
/p>
N
，
都
有
a
n
1
pa
n
q
（
其
< br>中
p
、
q
、
r
、
h
均
为
常
数
，
且
ra
n
h
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h<
/p>
px
q
ph<
/p>
qr
,
r
0
,
a
1
）
，那么，可作特征方程
x
.
r
rx
h
（
1
）当特征方程有两个相同的根<
/p>
（称作特征根）时，
若
a
1
,
则
a
n
,
n<
/p>
N
;
若
a
1
，
则
a
n
1
,
n
N
,
b
n
其<
/p>
中
b
n
1
r
当存在
n
0
N
,
使
b
n
0
0
时，
< br>(
n
1
)
,
n
N
.
特别地，
a
1
p
<
/p>
r
无穷数列
{
a
n
}
不存在
.
（
2
）<
/p>
当
特
征
方
程
有
两
个
相
异
的
根
1
、
2
（
称
作
特
征
根
）
时<
/p>
，
则
a
n
2
c
n
1
c
n
1
，
n
N
,
其中
c
n
a
1
1
p
1
r
n
1
(
< br>)
,
n
N
,
(
其中
a
1
2<
/p>
).
a
1
2
p
2
r
a
n
4
< br>,
且
a
1
3
,
求
2
a
n
3
例
3
、已知数列
{
a
n
}
满足性
质：对于
n
N
,
a
n
1
{
a
n
}
的通项公式
.
解
:
依
定
理<
/p>
作
特
征
方
程
x
x
4
,
变
形
得
2
x
2
2
x
4
0
,<
/p>
其
根
为
2
x
3
1
1
,
2
2
.
故特征方程有两个相异的根，使用定理
2
的第（
2
）部分，
则有
c
n
a
1
1
p
1
r
n
1
3
1<
/p>
1
1
2
n
1
(
)
(
)
,
n
N
.
a
1
2
p
2
r
3
2
1
2
< br>
2
2
1
n
1
(
)
,
n
N
.
5
5
∴
c
n
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2<
/p>
1
2
(
)
n
1
1
c
1
5
5
∴
a
n
2
n<
/p>
,
n
N
.
2
1
c
n
1
(
)
n
1
1
5
5
(
<
/p>
5
)
n
4
即
a
n
,
n
N
.
n
2
(
5
)
例
5
．已
知数列
{
a
n
}
满足：对于
n
N
,
都有
a
n
1
（
1
）若
a
1<
/p>
5
,
求
a
n
;
（
2
）若
a
1
3
,
< br>求
a
n
;
（
3
）若
a
1
6
,<
/p>
求
a
n
;
（
4
）当
a
1
取哪些值时，无穷数列
{
a
n
}
不存在？
13
a
n
25
.
a
n
3
13
x
25
.
变形得
x
2
10
x
<
/p>
25
0
,
x
3
特征方程有两个相同的特征根
5
.
依定理
2
的第（
1
）部分解答
. <
/p>
解：作特征方程
x
(1)
∵
a
1
5
,
a
1
.<
/p>
对于
n
N
,
都有
a
n
5
;
(2)
∵
a
1
3
,
a
1
.
∴
b
n
1
r
(
n
1
)
a
< br>1
p
r
1
1
(
n
1
)
3
5
13
1
5
1
n
1
,
2
8
令<
/p>
b
n
0
，得
n
5
.
故数列
{
a
n
}
从第
5
项开始都不存在，
当
n
≤
4
，
n
N
时，
a
n
1
5
n
17
.
b
n
n
5
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