求递推数列通项的特征根法与不动点法
naughtyoffice-
求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如
a
n
<
/p>
2
pa
n
1
qa
n
(
p
,
q
是常数）的数列
形如<
/p>
a
1
m
1
,
a
2
m
2
,
a
n
2
pa
n
1
qa
n
(
p
,
q
是常
数）的二阶递推数列都可用特征根
法求得通项
a
n
，其特征方程为
x
2
px
q
…①
若①有二异根
,
，则可令
< br>a
n
c
1
n
c
2
n
(
c
1
,
c
2
是待定常数）
若①有
二重根
，则可令
a
n
(
c
1
n
c
2
)
n<
/p>
(
c
1
,
c
2
是待定常数）
再利用
a
1
m
1
,
a
2
m
2
,
可求得
c
1
,
c
2
，进而求得
a
n
．
例
1
．
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
1
2,
a
2
3,
a
n
2
3
a
n
1
< br>
2
a
n
(
n
N
*
)
，
求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
．
解：
其特征方程为
x
2
3
x
2
，解得
x
1
1,
x
2<
/p>
2
，令
a
n
c
1
1
n
c
2
2
< br>n
，
c
1
1
a
1
c
1
2
c
2
2
n
1
由
< br>
，得
1
，
a
n
1
2
．
a
2
c
1
< br>
4
c
2
3
c
2
2
例
2
．
已知数列<
/p>
{
a
n
}
满足
a
1
1,
a
2
2,
4
a
n
2
4
< br>a
n
1
a
n
(
n
N
*
)
，求数列
{
a
n<
/p>
}
的通项
a
n<
/p>
．
1
解：
其特征方程为
4
x
4
x<
/p>
1
，解得
x<
/p>
1
x
2
，令
a
n
c
1
nc
2
，
2
2
2
1
n
1
<
/p>
a
(
c
c
)
1
1
1
2
c
1
4
3
n
2
<
/p>
2
由
，得
，
a
n
n
1
．
2
c
2
< br>
6
a
(
c
2
c
)
1
2
2
1
2
4
二、形如
a
n
2
Aa
n
B
C
< br>a
n
D
的数列
对于数列
a
n
2
<
/p>
Aa
n
B
C
a
n
D
，
a
1
m
,
n
< br>
N
*
(
A
,
B
,
C
,
D
是常数且
C
0,
AD
BC
0
）
，变形为
C
x
2
(
D<
/p>
A
)
x
B
0
…②
其特征方程为
x
A
x
B
C
x
<
/p>
D