1-2-2 数列递推关系综合应用 解析版
感悟人生的经典语句-
专题限时训练
(
小题提速练
)
(
建议用时：
45
分钟
)
一、选择题
2
a
n
－
2
a
{
}
n
1
．设数列
满足
a
1
＝
a
，
a
n
＋
1
< br>＝
(
n
∈
N
*
)
，若数列
{
a
n
}
是常数列，则
a
＝
(
< br>
)
a
n
＋
1
A
．－
2
C.0
B.
－
1
D.(
－
1
)
n
2
a<
/p>
2
1
－
2
a
－
2
解析：
因为数列
{
a
n
}
是常数列，所以
a
＝
a
2
＝
＝
，即
a
(
a<
/p>
＋
1)
＝
a
2
－
2
，解得
a
＝－
2.
故选<
/p>
A.
a
1
＋<
/p>
1
a
＋
1
答案：
A
1
2
1
1
2
．在数列<
/p>
{
a
n
}
中，若
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
＝
a
＋
(
n
∈
N
*
)
，则该数列的通项为
(
)
a
n
＋<
/p>
1
n
a
n
＋
2
1
A
．
a
n
＝
n
2
C
．
a
n
＝
n
＋<
/p>
2
2
1
1
解析：
由已知
＝
a<
/p>
＋
，
a
n
＋
1
n
a
n
＋
2
可得
1
1
1
< br>－
a
＝
－
，
a
n
＋
1
n
a
n
＋
2
a
n
＋
1
1
1
的等差数列，所以
a
＝
n<
/p>
，即
a
n
＝
n
.
n
B.
a
n
＝
2
n
＋
1
3
D.
a
n
＝
n
1
1
1
1
1
所以
a
是首项为
a
＝
1
，公差为
a
－
a
＝
2
－
1
＝
1
n
1
2
1
答案：
A
3
．已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
2
＝
3
，
S
n
－
S
n
－
3
＝
51(
n
>3)
，若
S
n
＝
100
，则
n
的值为
(
)
A
．
8
C.10
B.9
D.11
n
a
2
＋
a
n
－
1
解析：
由
S
n
－
S
n
－
3
＝
51
得，
a
n
－
2
＋
a
n
－
< br>1
＋
a
n
＝
51
，所以
a
n
－
1
＝
17
，又
a
2
＝
3
，∴
S
n
＝
＝
100
，
2
解得
n
＝<
/p>
10.
答案：
C
1
4
．已知数列
{
a
n
}
满足
< br>log
3
a
n
< br>＋
1
＝
log
< br>3
a
n
＋
1
(
n
∈
N
*
)
，且
a<
/p>
2
＋
a
4
＋
a
6
＝
9
，则
log
3
(
a
5
＋
a
7
＋
a
< br>9
)
＝
(
)
A
．－
5
C.5
1
B.
－
5
1
D.
5
<
/p>
解析：
∵
log
3
a
n
＋
1<
/p>
＝
log
3
a<
/p>
n
＋
1
，∴
a
n
＋
1
＝
3
a
n
.
1
∴数列
{
a
n
}
是以
3
为公比的等比数列．
∵
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＝
a
2
(1
＋
q
2
＋
q
4
)
＝
9
，
∴
a
5
＋
a<
/p>
7
＋
a
9
＝
a
5
(1
＋
q
2
＋
q
4
)
＝
< br>a
2
q
3
(1
＋
q
2
＋
q
4
)
＝<
/p>
3
5
.
1
∴
log
3
3
5
＝－
5.
故选<
/p>
A.
答案：
A
5
．已知
S
n
表示数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若对任意
n
∈
N
*
满足
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
a
2
，且
a
3
＝
2
，
则
S
2019
＝
(
)
A
．
1
008
×
2 020
C
．
1
009
×
2 019
B.1 008
×
2 019
D.1 009
×
2 020
解析：
在
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
a
2
中，令
n
＝
1
，得
a
2
＝
< br>a
1
＋
a
2
，
a
1
＝
0
；令
n
＝<
/p>
2
，得
a
3
＝
2
＝
2
a
2
，
a
2
＝
1
，
< br>
2 019
×
2 018
于是
a
n
＋
1
－
a
n
＝
1
，故数列
{
a
n
}
是首项为
0
，公差为
1
的等差
数列．
S
2019
＝
< br>＝
1 009
×
2 019.
2
答案：
C
6
．在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a<
/p>
2
＝
2
，当整数
n
>1
时，
S
n
＋
1
＋
S
n
－
1
＝
2(
S
n
＋
S
1
)
都成立，则
S
15
＝
(
)
A.210
C.224
解析：
n
>
1
时，
S
n
＋
1
－
S
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＋
2
，
< br>∴
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
2
，∴
a
n<
/p>
＋
1
－
a
n
＝
2.
2
＋
28
数列
{
a
n
}
从第二项开始
组成公差为
2
的等差数列，所以
S
15
＝
a
1
＋
(
a
2
＋
…
＋
a
15
)
＝
1
< br>＋
2
×
14
＝
211.
答案：
B
1
1
7
．
(2019·
广东汕头市一模
)
设
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且
S
n
＝
2
－
2
a
n
，则
a
n
＝
(
)
1
<
/p>
1
n
－
1
2
A.
3
·
< br>1
n
1
3
－
C
．
2·<
/p>
3
1
2
n
－
1
3
B.
2
< br>·
1
D.
3
n
B.211
D.225
1
1
1
1
1
1
1
a
n
解析
：
由题意，
得
S
1
＝
a
1
＝
－
a
1
，
所以
a
1
＝
.
又当
n
≥
2
时，
S
n
－
S
n
－
1
＝
a
n
＝
－
a
n
－
＋
a
n
－<
/p>
1
，
即
2
2
3
2
2
2
2
a
n
－
1
1
1
1
1
n
＝
3
，所以数列
{
a
n
}
是首项为
3
，公比为
3
的等比数列，所以
a
n
＝
3
.
故选
D.
答案：
D
a
n
8
．已知
数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝<
/p>
1
，
a
n
＋
1
＝
(
n
∈
N
*
)
，则数列
{
a
n
}
的通项公式为
(
)
a
n
＋
2
A
．
a
n
＝
< br>2
n
－
1
B.
a
n<
/p>
＝
2
－
3
n
－
1
1
2
1
C
．
a
n
< br>＝
n
2
－
1
1
D
.
a
n
＝
1<
/p>
3
n
－
2
2
1
1
解析：
由题意得
＝
a
＋
1
，则
＋
1
＝
2
a
＋
1
，
n
a
n
＋
1
n
a<
/p>
n
＋
1
1
易知
a
＋
1
＝
2
≠
0
，
1
< br>1
所以数列
a
＋
1
是以
n
2
为首项，
2
为公比的等比数列，<
/p>
1
1
则
a
＋
1
＝
2
n
，则
a
n
＝
n
.
< br>故选
C.
2
－
1
n
答案：
C
9
．已知函数
f
(
n
)
＝
n
2
cos(
n
π)
，且
a
n
＝
f
(
n
)
，则
a
1
＋
< br>a
2
＋…＋
a
< br>100
＝
(
)
A
．
0
C.5 050
解析：
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
100
＝－
1
2
＋
2
2
－
3
2
＋
4
2
－
…
－
99
2
＋
100
2
＝
(2
2
－
1
2
)
＋
(4
2
－
3
2
)
＋
…
＋
(100
< br>2
－
99
2
)
50
3
＋
199
＝
3
＋
7
＋
…
＋
199
＝
＝
5 050.
故选
C.
2
答案：
C
10
．已知数列
{
a
< br>n
}
满足
a
1
＝
0
，
a
n
＋
1
＝<
/p>
a
n
＋
2
a
n
＋
1
＋
1
，则
a
13
＝
(
)
A
．
143
C.168
解析：
由
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
2
a
n
＋<
/p>
1
＋
1
，
可知
a
n
＋
1
＋
1
＝
a
n
＋
< br>1
＋
2
a
n
＋
1
＋
1
＝
(
a
n
＋
1
＋
1)
2
，
∴
a
n
＋
1
＋
1
＝
a
n
＋
1
＋
1
，又
a
1
＋
1
＝
1
，
故数列
{
a
n
＋
1}
是首项为
1
，公差为
1
的等差数列，所以
a
n
＋
1
＝
n
，所以
a
13
＋
1
＝
13
，则
a
13
＝
168.
故选
C.
答案：
C
11
．定义
n
为
n
个正数
p
1
，
p
2
，…，
p
n
的“均倒数”．若已知数列
{
a
n
}
的前
n
项的“均
p
1
＋
p
2
＋…＋
p
n
a
n
＋
1
1
1
1
1
，且
b
< br>n
＝
4
，则
b
b
＋
b
b
＋…＋
b
b
＝
(
)
2
n
＋
1
1
2
2
3
10
11
9
B.
10
B.156
D.195
B.100
D.10 200
倒数”为
1
A.
11
3
10
C.
11
11
D.
12
n
1
解析：
由
已知，得
＝
，
a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
n
2
n
＋
1
∴
a
1
＋
a
2
＋
< br>…
＋
a
n
＝
n
(2
n
＋
1)
＝
S
n
.
当
n
＝<
/p>
1
时，
a
1
＝
S
1
＝
3
；
当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
4
n<
/p>
－
1.
验证知，当
n
＝
1
时此式也成立，
a
n
＋
1
∴
a
n
＝
4
n
－
1.
∴
b
n
＝
4
＝
n
. <
/p>
∴
1
1
1
＝
n
－
，
b
n
·
b
n
＋
1
n
＋
1
1
1
1
∴
b
b<
/p>
＋
b
b
＋
…
＋
b
b
1
2
2
3
10
11
1
1
1
1
1
10
＝
1
－
2
＋
2
－
3
＋
…
＋
10
－
11
＝
11
.
故选
C.
< br>
答案：
C
2
2
12
．已知正项数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2,2
a
2
n
＝
a
n
－
1
＋
a
n
＋
1
(
n
≥<
/p>
2)
，
b
n
＝
1
，记数列
{<
/p>
b
n
}
的前
n
项
a
n
＋
a
n
＋
1
和为
S
n
，则
S
33
的值是
(
)
A.
99
C.4
2
B.
33
D.3
2
2
2
2
2
解析：
∵
2
a
2
n<
/p>
＝
a
n
－
1
＋
a
n
＋
1
(
n
≥
2)
，∴数列
{
a
n
}
为等差数列，首项
为
1
，公差为
2
－
1
＝
3.
∴
a
n
＝
1<
/p>
＋
3(
n
－
1)
＝
3
n
－
2.
a
n
>0.
∴
a
n
＝
3
n
－
2.
1
1
1
∴
b
n
＝
< br>＝
＝
3
(
3
n
＋
1
－
3
n
－
2)<
/p>
，故数列
{
b
n
}
的前
n
项和
为
a
n
＋<
/p>
a
n
＋
1
3
n
－
2
＋
3
n
＋
1
1
1
S
n
＝
3
[(
4
－
1)
＋
(
7
－
4)
＋
…
＋
(
3
n
＋
1
－
3
n
－
2)]
＝
3
(
3
n
＋
1
－
< br>1)
．
1
则
S
33
＝
3
(
3
×
3
3
＋
1
－
1)
＝
3.
故选
D
.
答案：
D
二、填空题
13
．已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
m
·
2
n
－
1
－
3
，则
m
＝
.
解析：
a
1
＝
S
1
＝<
/p>
m
－
3
，
当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
< br>S
n
－
1
＝
m
·
2
n
－
2
，
∴
a
2
＝
m
，
a
3
＝
2
m
，又
a
2
2
＝
a
1
a
3
，
∴
m
2<
/p>
＝
(
m
－
3)·
2
m
，整理得
m
2
－
6
m
＝
0
，
4