2019高考概率真题解析概率问题中的递推数列
浪漫qq签名-
概率问题中的递推数列
一、
< br>a
n
=
p
·
a
n
－
1
+
q
型
1
【例
1
】
某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合
后，出现红灯和绿灯的概率都是
，从开关第二次闭合
2
1
2
3
起，若前次出现
红灯
,
则下次出现红灯的概率是
，出现
绿灯的概率是
；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是
，出
现绿灯的概率
3
3
5
< br>2
是
，记开关第
n
次闭合后出现红灯的概率为
P
n
。
5
(1)
求：
P
2
；
1
(2)
求证：
< br>P
n
<
(
n
≥2
)
；
2
(3)
求
lim
P
n
。
n
<
/p>
解析：
(1)
第二次闭合后出现红灯的概
率
P
2
的大小决定于两个互斥事件：<
/p>
即第一次红灯后第二次又是红灯；
第一次绿灯后第二次才是
1
3
7
红灯。于是<
/p>
P
2
=
P
1
·
+(1
－
P
1
)·
=
。
3
5
15
(2)
受
(1)
的启发，研究开关第
N
次闭合后出现红灯的概
率
P
n
，要考虑第
n
－
1
次闭合后出现绿灯的情况，
有
1
3
4<
/p>
3
P
n
=
P
n
－
1
·
+(1
－
P
n
－
1
)·
=
－
P
n
< br>－
1
+
，
3
5
15
5
4
9
再利用待定系数法：令
P
n
+
x
=
－
(
P
< br>n
－
1
+
x
)
整理可得
x
=
－
15
19
9
9
4
∴
{
P
n
－<
/p>
}
为首项为
(
P
1
－
)
、公比
为
(
－
)
的等
比数列
19
19
15
9
9
4
－
1
4
－
9
1
4
－
P
n
－
=(
P
1
－
)(
－
)
n
1
=
(
－
)
n
< br>1
，
P
n
=
+
(
－
)
n
1
19<
/p>
19
15
38
1
5
19
38
15
9
1
1
∴当
n
≥2
时，
P
n
<
+
=
<
/p>
19
38
2
9<
/p>
(3)
由
(2)
得
lim
P
n
=
。
19
n
【例
2
】
A
、
B
两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下
:
若
掷出的点数之和为
3
的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷
出的点数
不是
3
的倍数时，由对方接着
掷
.
第一次由
A
开始掷
.
设第
n
次由
A
掷的概率为
P
n
，
(1)
求
P
n
；⑵求前
4
次抛掷中甲恰好掷
3
次
的概率
.
解析：第
n
次由
A
掷有两种情况：
12
①
第<
/p>
n
－
1
次由
A
掷，第
n
次继续
由
A
掷，此时概率为
P
n
－
1
；
36
12
②
第
n
－
1
次由
B
掷，第
n<
/p>
次由
A
掷，此时概率为
< br>(1
－
)(1
－
P
n
－
1
)
。
36
∵两种情形是互斥的
12
12
1
2
∴
P
n
=
P
n
－
1
+(1
－
)(1
－
P
n
－
1
)(
n
≥2
)
，即
P
n
=
－
P
n
－
1
+
(
n
≥2<
/p>
)
36
36
3
3
1
1
1
∴
P
n
－
=
－
(
P
n
－
1
－
< br>)
，
(
n
≥2
)
，又
P
1
=1
2
3
2
1
1
1
∴
{
P
n
－
}
是以
为首项，－
为公比的等比数列。
2
2
3
1
1
1
－
1
1
1
－
∴
P
n
－
=
(
－
)<
/p>
n
1
，即
P
n
=
+
(
－
)
n
1
。
2
2
< br>3
2
2
3
28
⑵
。
81
二、
a
n
+1
=
p
·
a
n
+
f
(
n
)
型
【例
3
】
<
/p>
(
传球问题
)
A
、
B
、
C
、
D
4
人互相传球
，由
A
开始发球，并作为第一次传球，经过
5
次传球后，球仍回到
A
手中，则
不同的
传球方式有多少种？若有
n
个人
相互传球
k
次后又回到发球人
A
手中的不同传球方式有多少种？
分析：这类
问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数
列模
型则可深入问题本质。
4
人传球时，传球
k
次共有
3
k
种传法。设第
k
次将球传给
A
的方法数共有
a
k
(
k
∈<
/p>
N
*)
种传法，则不传给
A
的有
3
k
< br>－
a
k
种，故
< br>a
1
=0
，且
< br>不传给
A
的下次均可传给
A
，即
a
k
+1
1
a
k
1
a
k
+1
=3
k
－
a
k
。两边同除以
3
k
+1
得
k
+1
=
－
·
k
+
，
3
3
3
3
a
k
1
1
1
1
1
1
－
令<
/p>
b
k
=
k
，则
b
1
=0
，
b
k
+1
－
=
－
(
b
k
－
)
< br>，则
b
k
－
=
－
(
－
)
k
1
3<
/p>
4
3
4
4
4
3
3
k
3
∴
a
k
=
+
(
－
1)
k
4
4
当
k
=5
时，
a
5
=60.
< br>(
n
－
1)
k
n
－
1
当人数为
n
时，分别用
n
－
1
，
n
< br>取代
3
，
4
时，可得
a
k
=
< br>
+
(
－
1)
k
。
n
n
【例
4<
/p>
】
(
环形区域
染色问题
)
将一个圆环分成
n
(
n
∈
N
*
，
n
≥3)
个区域，用
m
(
m
≥3)
种颜色给这
n
个
区域染色，要求
相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案
有多少种？
分析：设
a
n
表示
n
个区域染色的方案
数，则
1
区有
m
种染法，
2
区有
m
< br>－
1
种染法，
3
，
……
，
n
< br>－
1
，
n
区各有
m
－
1
种染色方法，依乘法原理共有
m
(
m
－
1)
n
－<
/p>
1
n
n
-1
……
1
2
3
种染法，但是，这些染中包含了
n
区可能和
1
区染上相同的颜色。而
n
区与
1
区相同时，
就是<
/p>
n
－
1
个区域涂
上
m
种颜色合乎条件的方法。
∴
a
n
=
m
(
m
－
1)
n
1
－
< br>a
n
－
1
，且
a
3
=
m
(
m
－
1)
(
m
－
2)
－
a
n
－
(<
/p>
m
－
1)
n
=
－
[
a
n
－
1
－
(
m
－
1)
n
1
]
－
< br>a
n
－
(
m
－
1)
n
=[
a
3
－
(
m
－
1)
3<
/p>
](
－
1)
n<
/p>
n
n
－
3
∴
a
n
=(
m
－
1)
+(
m
－
1)(
－
1)
(
n
≥3)
用这个结论解：
2003
年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为
6
个部分如图，现要栽种
4
种
不同颜
色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有
种。
<
/p>
只需将图变形为圆环形，
1
区有
4
种栽法。不同的栽法数为
5
6
2
1
3
4
6
5
1
4
2
3