数列递推关系稳定性的数形结合方法探究(确定版)
学习雷锋资料-
数
学
系
毕
业
论
文
论文
(
设
计
)
题目：数列递推关系稳定性的数形结合方法探究
英文题目
:
The
research of combination of figure and chart in the
stability of
series recurrence relation
姓
名
____
_
梁士伟
______
学
号
____
_
090501115
____
专
业
____
数学与应用数学
_ _
班
级
_____
09
数学（
1
）班
指导教师
_____
孙晓通
_____
职
称
____
讲师
____
提交日期
____
2013
年
5
月
18
日
数列递推关系稳定性的数形结合方法探究
摘要
数列递推关系是诸多重要数学思
想方法的载体，作为离散函数的典型模型，
既具备函数的性质，
又具有自己独特的递推关系，
与其它的知识更有着相当密切
的联
系
,
这些决定了它在研究数列性质的重要地位
< br>.
而稳定性是数列的一个重要的
性质之一
,
而从数列递推关系出发来研究数列的稳定性已经取得比较丰硕的成果
,
但是利用数形结合的方法来研究数列递推关系的稳定性却是非常少的<
/p>
,
针对这一
点
,
本文以数形结合这个新的角度来切入研究数列递推关系的稳定性
.
且本文针对
一阶数列递推关系的稳定性做了数形结合的探究<
/p>
,
结果发现探究的结果和严格证
明的结果
一致
,
且更能以直观的效果来判定其稳定性
..
本文的研究是直观方法的
角度来研究问题的
,
这与传统的纯代数式证明方法有很大的不同点
.
其次
,
本文的
研究为数列递推关系稳定性的严格证明提供了方向
.
另外
,
本文为读者提供了一种
以新角度探索问题的
学习方式
.
关键词
:
递
推关系
;
稳定性
;
数形结合
目录
1.
引言
..................................................
..................................................
.....................
1
1.1
研究背景
..............
..................................................
..........................................
1
1.2
本文主要研究的问题
..........................................
............................................
2
1.3
研究的意义
.............................................
..................................................
......
2
2.
预备知识
..........
..................................................
..................................................
.....
2
2.1
数列
...............................
..................................................
................................
2
2.2
数列递推关系
.......
..................................................
........................................
3
2.3
数列的稳定性
............................................ .................................................. ...
3
3.
数形结合
..........
..................................................
..................................................
.....
4
3.1
数形结合方法
...........................
..................................................
....................
4
3.2 <
/p>
数形结合思想下的数学思维力的培养
[7]
.................................................
.....
6
4.
递推关系稳定性的研究结果及分析
..................................................
.....................
8
4.1
定义和作图步骤
...........
..................................................
.................................
8
4.2
一阶递推关系稳定性数形结合探究分析
..................................................
....
9
5.
研究结果的启示
.......
..................................................
............................................
12
5.1
一阶线性常系数递推关系稳定性问题
.......................
.................................
12
5.2
一阶非线性常系数递推关系稳定性问题
.............................................
....
13
6.
结论
............
..................................................
..................................................
.........
14
致
谢
..
..................................................
..................................................
.....................
15
参考文献
.......................
..................................................
............................................
16
惠州学院
2013
届毕业论文
数列递推关系稳定性的数形结合方法探究
数学与应用数学
梁士伟
指导教师
孙晓通
（广东惠州学院数学系
2009
级（
1
）班
，广东惠州
516007
）
（
E-mail:
1029259659@
）
1.
引言
1.1
研究背景
在数形结合方法的指导下，应用其研究成果对数列递推关系的
稳定性研究
方法进行反思，
提出新的解题思路和方法，
并在今后的数列递推关系的问题探讨
实现以下目的：
1
、恰当地运用数形结合方法在递推关系中的应用的研
究成果进行探究数列的稳
定性，
力求使得本文成果得到有效的利
用，
能从而丰富数列递推关系稳定性求证
方法和简化其严格证明
的探究过程。
2
、以培养创新精神
和实践能力为宗旨，探索数形结合方法应用于数列递推关系
的求解问题探讨
,
如通项、单调性等
,
以巩
固和丰富此方法的在数列的应用及其知
识内容的系统化
.
3
、在探究数形结合方法在递推关系稳定性的过程中
,
提高自身对数学问题的探
究能力和数学素养及对数学
解题方法和角度创新的探究兴趣
.
对于递
推关系稳定性的研究
,
也就是递推关系极限的探讨
,
目前有许多已经
通过严格证明的方法
:
郑华盛的
《
非线性递推数
列极限的不动点解法
》
[1]
利用不动
点理论解决了非线性分式和二次函数递推数列极限的求法
,
利用不动点思想的角
度来求证递推数列的稳定性
.
梁志清的
《
用不动点定理讨论递
推数列的收剑性
》
[2]
利用不动点定
理讨论由递推关系
x
n
1
f
< br>x
n
给出的数列
x
的收敛性并探讨
n
1
递推数列的收敛性与函数之间的关系
.
吴延东的
《
递推数列
x
n
1
f<
/p>
x
n
的单调
性与收敛性讨论
》
[3]
利用函数单调递增对递推数列
x
n
1
f
x
n
<
/p>
单调性进行讨论
,
在对递推数列收敛性分
析的基础上
,
得到使递推数列收敛的初始迭代值的区域
,
从
而求证数列的收敛性
.
李杰红的
《
关于递推数列的一种判
别法
》
[4]
利用递推函数的
1
梁士伟：数列递推关系稳定性的数形结合方法探究
性质提
出一种数列收敛性的判别方法
,
这种判别常用于数列单调有界原
理
.
以上的
文献都从不同的角度对递推
关系稳定有比较全面的研究
,
而且得到的结论能应用
于大多数题的推广和应用
,
具有较大的参考意义<
/p>
.
但是
,
目前用
数形结合的方法来
研究递推数列的稳定性的文章很少
.
数形结合的方法是一种以更直观
,
简便判定数<
/p>
列递推稳定性的角度来研究的
.
那么本文
将以这个新的角度来切入研究
.
1.2
本文主要研究的问题
本文通过对递推关系和数列的相关研究
,
探
究如何利用数形结合的方法有效
的应用在求证递推关系的稳定性
.
具体主要研究以下四个方面的问题：
1
、探究哪些数列递推关系适用于用数形结合的方法来论证其稳定性
< br>
2
、重点说明怎样利用数形结合的方法来探究数列递推
关系的稳定性
3
、通过分析比较
,
探讨数形结合方法和常用方法分别研究数列稳定性的关系
4
、对数列递推关系的思维进行开拓，在数形
结合方法指导下的高中数列递推关
系的探讨与前瞻。
1.3
研究的意义
1
、提高数学素养
,
培养自身
探究问题的兴趣和能力
.
只有通过不断的对数学问题
的探索和研究
,
才能提高数学素养
,
丰富的数学知识、理性思维能力水平及各种必
备的探
究能力
.
2
、培养创新的思维意识和
扩宽探究问题的角度
.
数学问题的求解有时候是殊途
同归的
,
如果只是运用别人的探究成果
,
那只会局限了自己的思维和角度
.
只有培
养创新的思维
,
则看
问题的角度会更加宽广
,
探究的方法会更加新颖
,
掌握了这样
的能力
,
对我们以后探究任何的问题都是大有裨益的
.
2.
预备知识
2.1
数列
数列是指按一定次序排列的一列数称为数列（
sequence
of number
）
。数列
中的每一
个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第
1
项
（通
常也叫做首项）
，排在第二位的数称为这个数列的第
2
项
……
排在第
n
位的数称
为这个数列的第
n
项。
即若函数
f
的定义域为全体正整
数集合
N
,
则称
f
:
N
R
或
f
n
,
n
N
2
惠州学院
2013
< br>届毕业论文
为数列
.
因正整数集
N
的元素可按由小到大的顺序排列
,
故数列
f
n
也可写作
a
1
,
a
2
,
a
n
,
< br>或简单记为
a
n
,
其中
a
n
称为该数列的通项
.
数列
的研究在数学研究中占有重要的地位
,
是初等数学与高等数学衔
接和联
系最密切的内容之一
,
是高等数
学中极限论和级数理论等的基础
.
同时它也是诸多
重要数学思想方法的载体，包括数形结合、分类讨论、转化、归纳法、递推、类
比、换元、特殊化、算法、从特殊到一般等的思想方法
,
具有
丰富的现实背景，
在现实问题的解决中有着广泛的应用
,
应用现代信息技术，可以比较直观明了的
展示出数列与函数之间的联系
；
它作为离散函数的模型，
有自己独特的递推关系，
又具有函数的性质，与其他知识更有着密切的联系。
2.2
数列递推关系
递推关系
（
recurrence r
elation
）
，
也就是差分方程<
/p>
（
difference equation
）
，
是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目
是定义为前一项的函数。
例如著名的斐波那契数列就是如
F
n
2
F
n
1
< br>
F
n
的数列递推关系
.
随着
信息技术的日益普及和发展，
离散数学的应用越
来越广泛。
数列递推关系是描述
离散变量变化关系的重要工具，
在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用
,
如
在数论、代数、几何及理工、经济相关领域等方面的研究应用，而近几年
,
递推
关系
,
也即差
分方程在大学生数建模方面的应用也越来越广泛
.
2.3
数列的稳定性
数列的
稳定性
,
也就是数列的收敛性
,
它包括数列的收敛和发散
.
数列的收敛
是指当
n
无限增大时
,
a
n
能无限地接近某个常数
a
,
则称此数列
a
n
收敛于常数
a
,
则称
a
为其收敛的极限
.
即设
a
< br>n
为数列
,
< br>a
为定数
,
若对于任给的正数<
/p>
,
总存
在正整数
N,
使得当
n
N
时有
则称数列
a
n
<
/p>
a
a
n
收敛于
a
,
定数
a
称为数列
a
n
的极限
,
并记作<
/p>
3
梁士伟：数列递推关系稳定性的数形结合方法探究
l
i
m
a
n
a
,
a
n
a
< br>n
n
3
.
数形结合
3.1
数形结合方法
数学是研究现实生活中的空间和时间与数量关系的一门非常重要的科学，
而<
/p>
现实生活中的许多事物都有形和数的两种基本属性，
并且这些事物
中的形和数这
两种属性是相互交织、
相互渗透的，
甚至在某些情况下可以相互转化。
人们运用
数形结合
的方法研究和解决问题的思想也由来已久，
例如我国古代著名的数学家
< br>祖冲之老先生就运用
“割圆”
的数形结合的方法求解出了
精度很高的圆周率的取
值。
在高中阶段所学习的圆锥曲线的系列
理论以及求解圆锥曲线相关问题更是运
用数形结合数学思想的经典案例。
我国著名的老一辈数学家华罗庚更是写过一首
非常有名的诗生动形象地描述了数
形结合思想中数与形的复杂的内在关系—
“数
形本是相依好，焉
能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合
百般好，割裂分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离”
。在数学中，我
们分析和研
究的对象大体上可以分为“数”和“形”两个部分，数与形有内在的
本质联系，
我们将数与形或形与数的这种内在的本质联系统称为数形结合。
数形
结合将事务所具有的数和形的两方面属性产生了联系，
并且表现为数
与形一一对
应的高度统一。
数形结合就是把复杂抽象的数学数字
关系和简洁直观的几何图形
位置关系相结合，
借助数字和图形各
自优势的互补特征，
从而将复杂问题简单化、
抽象问题直观化、
琐碎问题具体化，
最后达到解决数学问题、
提升数学思维的目
的。
运用数形结合方法解决的数学问题大致分为两类
[6]
:
一、
由数及形
,
借形解数
运用
数形结合的方法解决数学问题的一个重要的步骤就是根据数学问题构
建与之相对应的图形
，
构件图形的过程也是思维创新的过程，
因为每个问题都具
有普遍性和特殊性的两面，
故在构建图形的过程中既不能天马行空也
不能生搬硬
套。
故构建图形一定要抓住数学问题的内部规律巧妙
地运用图形或数学符号加以
表达。其构建过程可用下图表示
:
[5]
4
惠州学
院
2013
届毕业论文
分析特点、知晓题
意、明白结果
建立数与形
一一对应
构建图形
在图形的基础上
所求结果
观察推理
x
例如
,
求函数
y
a
a
0
且
a
1
与
y
2
x
2
3
的零点个数
.
构建如下图形
:
图
1
图
2
由图
1
、图
2
观察可知
,
零点的个数的
2
个
.
二、由形想数
,
形数结合
数形结合的数学思想不仅可以将数学中的纯数字问题转化为图
形问题加以
解答，
还可以将几何图形的相关问题向代数问题转化
，
最后将几何问题通过数字
来计算出来
.
例如
:
线段
AD
上有
B
、
C
两点，
其中
AB
的中点为
M
，
CD
的中点为
N
，
假若
AD
=
a
，
BC =
b
，问
MN
的值。
解析
:
将上面的各点表示在线段上，画出其个点的位置关系，如图所示
:
5
梁士伟：数列递推关系稳定性的数形结合方法探究
由图<
/p>
3
结果可得
MN
a
b<
/p>
a
b
.
或
MN
2
2
3.2
数形结合思想下的数学思维力的培养
[7]
一、抽象思维力的培养
思维力可以通过学习数学得到显著的提高，一般来说，数学成绩好的学生，
< br>思维力一般不错，
这主要是因为数学是一门严谨的科学，
在学习时，
能锻炼人的
逻辑思维，
使之
更为严密和精确。
在数形结合在数学教学中有两大意义，
一是将
抽象的数学问题具体化，
二是将复杂的数学问题简单化。
将抽象的问题具体化是
要以一定的抽象思维力为基础的，
综观高职数学全部内容，
我们不难发现它充满
着辩证
的思想和方法，这也体现了抽象思维的鲜明特征。
数形结合是要让学生充分认识教学中的抽象思维内容
在数学教学中，
首先要帮助学
生了解知识存在的对立和统一，
发现数学与现
实世界中的密切关
系，
尤其是数学的形与数之间的关系。
通过在课堂上引导学生<
/p>
去体会数形结合思想的真谛，
让学生体会到学习数学是一个需要观
察、
实验、
归
类、
类比和猜测的探索过程，
正是因为此，
教师在课堂上就需要
锻炼学生以数学
的思维准确清晰地把握和描述现实世界。
数形结合要让学生深刻领会抽象思维的本质
所谓抽象思维，
实质就是逻辑
思维，
是以概念、
判断和推理为手段进行思考
< br>的活动，是有条件、有步骤、有根据、且遵循渐进规律的思维，数学学习是培养
这
一思维的最好方法。
具体训练取决于数学概括能力的养成，
在实
际教学中，
只
有借助于对数学符号、
数
量和空间关系、
数学研究对象及其方法等方面的概括才
能达到抽
象思维实践训练的目的。
数学课堂要贴近生活，
这是当前数学教
学改革
的主流趋势，
原因是因为数学的研究对象是客观世界的数
量关系与空间关系的综
合，现实生活中概括出的数学模型就是对生活中各类事物的纯数量
与空间关系。
数形结合关键是要培养学生的辩证思维力
数学这门科学的各个要素本身就存在着辩证关系，
它是在实践中，
对数学内
容与方法的概括。
在数学中，有限与无限、连续性与间断性、直线与曲线、近似
与精确、
< br>微分与积分等，
对于这些概念，
数形结合思想的教学策略
能很好地解决
6