手算开平方详解
爱情合约结局-
手算开平方
以
√6
为例。稍加估算就知道
0<√6
-2<1/2
三边平方得
0<
10-
4√6<1/4
，此时
10/4
>√6 > 10/4
-1/4/4
，即
2.5>√5>2.5
-1/4/4
再平方，
0<196-
80√6<1/16
，此时
196/80 >√6
>196/80
-1/16/80
即
2.45√2
>2.449218
……
每平方一次，小数点后的精确位数就乘
2(
灰
色字是准确的数位），这是相当好的，可是
你将要面对恐怖的天文数字。
另一种优化的方法
:
佩尔方程与渐近分数结合
上面的方法虽然简单，可是数字大，而且算出来的不是渐近分
数，如果用渐近分数能把计算
过程中的数字减少一点。
以
√5
为例，考虑佩尔方程
x^2-5y^2
=1
的所有正整数解（
x,y)
，
x/y
都是
√5
的
渐近分数。
假设其中一组解是
(x,y)
，再设
x'-
√5y'=(x
-
√5y)n
，同样地
x'/y'
也是
√5
的渐近分数。
上面两条结论的证明在此略去。根
据上面结论，而且不难找到
9^2-5*4^2=1
，于是
(9-
4√5
)^2=161
-
72√5
，
√5
约等于
161/72=2.236111
(161-
72√5)^2=5184
1-
23184√5,
√5
约等于
51841/23184=2.236
从连分
数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数。如上面的
51841/23184
，误差小于
1/231842=1.8605×
10^-9
但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程。其实解佩尔方程
x^2-dy^2=
1
不需要狂试数，把
√d
化成连分数。
把二次根式展成连分数是挺容易的，在这里我不再作展开啦，有兴趣的话可以
到网上找找
看。
泰勒公式
,
跟牛顿二项式差不多
,
考虑函数
x^(1/2),
这里略。
迭代法
假设我们已经有一个较好的初值
x,x²≈n,
设修正值为
a,
即
(x+a)²≈n,x²+a²+2ax≈n,
忽略很小
的
a²
，即
x²+2ax≈n
，
从而
a≈(n
-x²
)/(2x)
，
x+a≈(n+x²)/(2x)
< br>把
(n+x²
)/(2x)
的值
从新代替
x
，将得到更好的精确值，下面证明
< br>0≤|( (n+x²)/(2x) )²
-n| <
|x²
-n|
< br>现在如果其中一个迭代值
x>√n
那么
< br>
(n/x
+x)/2<(x²
/x +x)/2
=x
又
(n/x +x)/2≥√n
（基本不等式）
于是迭代数列是有下界的递减数列，也就是结论了。
类似地，如果
x<√n
则
n/x +x≥√n
回
到前一种情况，如果
x
很接近
0
，这时候结论可能会不成
立，所以结论要修正一下
-_-~~,
但是得到新的迭代值后一齐正常，不影响迭代。可以说，对
任何正数作初值依然能存在极限。
这极限自然是√n。
在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用
计算器。而在解题时用的最多
的是利用分解质因数来解决。如化简
√1024
，因为
1024=2^10,
所以。
√1024=2^5=32
；又如
√1256=√
（
2^3*1
57
）＝
2*√(2*157
）＝
2√314.
如果想用笔算求算术平方根
，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下
的介绍不知能否讲清楚：
比如求
√37625.(
如图）
①将
37625
从个位起，向左每两位分一节：
3,76,25
②找一个最大的数，
使它的平方不大于第一节的数字，
本题中得
1(1
的平方为
1,
而
2
的平方
为
4,
大于
3,
所以得
1
）
.
把
1
写在竖式中
3
的上方。
③将刚才所得的
1
平方写在竖式中
3
的下方
,
并相减，然后将
76
移写在本行（如图）
④将前面所得的
1
乘
20,
再加一个数
a,
写在竖式的左方（如图），并
同时把
a
写在竖式的上
方对准
6
。而这个所谓的
a
，
是需要试验的，使它与（
20+a
）的积最大且不超过
276.
本题中
所得的
a
为
9
⑤
用
9
乘
29,
再用
276
减去，所得的差写在下方
⑥继续反复运用步骤④和⑤。
如果后
面的数字不足，
则补两个
0,
继续运算
。
如果最后的余数
是
0,
则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分
位起，每两位小数分一节。
（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是
2779
）
以
< br>57578
为例，首先从个位起两位两位的划分这个数，得到
5,75,78
。然后，对于第一个
5
，
进行试商，商数的平方要小于
5
，但又必须是最大的，则此时应商
2
。再用
5
减
2
的平方，
< br>得
1
，再将后面的
75
降下来与
1
构成整体，得
175
，再用
20
成以上一步商的<
/p>
2
（即
40
）作
除数来试商（假定这个商是
a
），则必
须满足
(40+a)*a<175
但又是最大的，所以
a=3
。再用
175
减
去
(40+a)*a
得
46
，再用
46
与后面的
78
结合，形成一个新数
4678
，再用<
/p>
20
乘以前
两次所得的商组成的数
23
（即
460
）作
除数来试商（假定这个商是
b
），必须满足
(460+b)*b<4678
，但又是最大的，所以
b=
9
，再用
4678
减去
(460+b)*b
得
457
。再用
457
与小数点后面的两个零组成新数
< br>45700……
用笔开平方是个十分复杂的运算，而
且凭着人的耐心也试不出
5
个以上的商，因为被除数与
除数都越来越大。所以，建议还是用计算器好。不过，万一是在考试中，不能用计算器的话，
还是应掌握一些用笔开平方的技巧，试出两三位有效数字是不成问题的。
1
．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开
(
竖式中的
11'56)
，
分成
几段，表示所求平方根是几位数；
2
．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数
(
竖式中的
3)
；<
/p>
3
．
从第一
段的数减去最高位上数的平方，
在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数
(
竖
式中的
256)<
/p>
；
4
．把求得的最高位数乘以
20
去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商
(3×
20
除
256
，
所得的最大整数是
4
，即试商是
4)
；
5
．用商
的最高位数的
20
倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小
于或等于余数，试商
就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试
(
竖式中
(20×
3
＋
4)×
4
＝
256
，说明试商
4
就是平方根的第二位数
)
；
6
．
用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
今日入定冥
想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）
公式。只是当
时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格
证明。既然
今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。以下为完整过程，请广大数学爱
好者斧正
！
1.
手开方公式举例：
上式意为
65536
的开平方为
256
。手开方
过程类似于除法计算。为了方便表述，以下仍
称类似位置的数为
“
被除数
”
、
“
除数
”
、
“
商
”
。以
65
536
为例，其具体计算过程如下：
转载请注明本文出自
“
风中落叶
”/x
iamengy
Step1
：将被开
方数
(
为了形象，表述成
“
被除数
”
，此例中即为
6
5536)
从个位往高位每两
位一断写成
6,55,35
的形式，为了方便表述，以下每一个
“,”<
/p>
称为一步。