因式分解完全平方
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上课班级：江苏省如东县景安初中初二（
6<
/p>
）班
邮编：
226441
上课教师：唐国栋
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：
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设计思路：
教师是学习活动的引导者和组织者，
学生是课堂的主人。
教师在教学中要充分体现教师
的导向作用，
尊重学生的个体差异，
选择适合自己的学习方式，
鼓励学生自主探索与合作交
流，
让学生经历数学知识
的形成与应用过程，
鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的
验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。
教学过程：
师生问好，组织上课。
师：我们在初一第二学期就已经学
习了乘法完全平方公式
,
请一位同学用文字语言来描
述一下这个公式的内容？
生
1
：
（答略）
师：你能用符号语言来表示这个公式吗？
生
1
：
（
a
＋
b
）
2=a2
＋
2ab
＋
b2
（
a
－
b
）
2=a2
－<
/p>
2ab
＋
b2
师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几
个公式？
生齐答：两个。
师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？
a2
＋
<
/p>
＋
1=(a
＋
1
)2
4a2
－
4ab
＋
=(2a
－
b)2
生
2
：
（答略）
师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？
生
2
：根据完全平方公式，将等号右边的展开。
师：很好。
（将四个式子分别标上
○1○2○3○4
）
< br>
问题：
< br>○1
、
○2
两个式子由左往右是
什么变形？
○3
、
○4
两个式子由左往右是什
么变形？
生
3
：
（答略）
师：刚才的
○1
和
○2
是我们以前学过的
完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2
＋<
/p>
2ab
＋
b2=
（
a
＋
b
）<
/p>
2
a2
－<
/p>
2ab
＋
b2=
（
a
－
b
）<
/p>
2
（板书）
问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？
生齐答：因式分解。
师：
可以看出，
我们已将左边多项式写成完全平方的形式，
即将左边的多项式分解因式
了。
这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，
也是我们今天来共同学习的知识
（板书
课题）
师：
既然
这两个是公式，
那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公
式进行分解。
这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，<
/p>
同座的或前后的同
学可以讨论一下。
（经过讨论之后）
生
4
：左边
是三项，右边是完全平方的形式。
生
5
：左边有两项能够写成平方和的形
式。
师：说得很好，其他同学有没有补充的？
生
6
：还有一项是两个数的乘积的
2
倍。
师：这
“
两个数的乘积
”
中
“
两个数
”
是
不是任意的？
< br>生
6
：不是，而是刚才两项的底数。
师：刚才三位同学都回答得
不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。
生
7
：左边
的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的
2
倍。右边是两个数的和或差的平方。
教师在学生回答的基础上
总结
：
1)
多项式是三项式
2)
有两
项都为正且能够写成平方的形式
3)
另一项是刚才写成平方项两底数乘积的
2
倍，但这一项可以是正，也可以是负
4)
等号
右边为两平方项底数和或差的平方。
师：我们如何将符号语言转化为文字语言呢？
生
8
：
a
、
b
两个数的平方和加上
a
、
b
乘积的
2
倍，等于
a
与
b
的和的平方；
a
、
b
两个数的平方和减去
a
、
b
乘积的
2
倍，等于
a
与
b
的差的平方。
师：如果不用字母
a
、
b
，又怎么表达？能否将两句合并成一句呢？
生
9
：两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的
2
倍，等于这两个数的和或差的平
方。
师：
非常
好！
我们以后只要遇到这种类型的多项式可以直接利用完全平方公式方便地进
行因式分解了。
<
/p>
通过刚才的学习，
我们已经初步掌握了利用完全平方公式分解因式
的有关知识，
下面有
几道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌
握知识的情况：
判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由。
（
1
）
a2
－
4a
＋
4
(2 )x2
＋
4x
＋
4y2
< br>
(3 )4a2
＋
2ab
＋
b2
(4 )a2
－
ab
＋
b2
(5 )x2
－
6x
< br>－
9
(6
)a2
＋
a
＋
0.25
生
10
：第一题是完全平方式。有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是
减去这两个数的积的
2
倍。
……
……
生
11
：第四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积
的
2
倍。
生
12
：第
五题是完全平方式。三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的
积的
2
倍。
师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？
生
13<
/p>
：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方
和。
师：同意他的意见吗？
生齐答：同意。
师：
因此
我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，
不仅要找有没有两项能
够写成平方的形式，
同时还要看这两项的符号是否同为正，
更要看另一项是不是这两数的积
的
2
< br>倍。像刚才的第
2
题和第
4
题都只满足特征中的一部分。
引例讲解：将下列各式分解因式。
1
、
x2
＋
6x
＋
9
2
、
4x2
－
20x
＋
25
问题：这两题首先怎么分析？
生
14
：将
9
改写成
32
，
6x
正好是
x
与
3
的乘积的
2
倍。
（学生回答，教师板书）
生
15
：将
4x2
写成（
2x
）
2
，
25
写成
52
，
20x
< br>写成
2×
2x×
5
x2
＋
6x
＋
9=x2
＋
2×
x×
3
＋
32=(x
＋
3)2
4x2
－
2
0x
＋
25=(2x)2
－
2×
2x×
5
＋
52=(2x
－
5)2
（联系字母表达式用箭头对应表示
，加深学生印象。
）
师：
由刚才的例子，
我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，
如何确定是
两数的和还是两数的差的平方呢？