最大公因数(1)(1)
倾听你的内心-
最大公因数
【专题剖析】
1
、公因数和最大公因数
整数
a
除以整数
b(b<
/p>
≠
0),
除得的商正好是整数而余数为零
,
我们就说
,a
能被
b
整除
,a
就叫做
b
的倍
数
< br>,b
叫做
a
的因数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数
;
其中最
大的一个
,
叫做这几个数的最
大公因数
。
例如
:12
的因数有
1,2,3,4,6,12;
30
的因数有
1,2,3,10,15,30
12
和
30
的公因数有
1,2,3,6,
其中
< br>6
是
12
和
30
的最大公因数。
一般地我们
用
(a,b)
表示
a,b
这两个自然数的最大公因数
,
如
(12,30)=6
。
如果
(a,
b)=1,
则
a,b
两个数是互
质数。
2
、求两个
数的最大公因数一般有以下几种方法
:
(1)
分解质因数法
;(2)
短除法
;(3)
辗转相除法
(4)
小数缩倍法
;(5)
公式法
a×b=(a,b)×[a,b]
3
、理解最大公因数的概念
,
运用最大化因数的性质
,
学会求最大公因数的常用方法
,
便能熟练地解决
目常生活中出现的相关问题。本讲除了短除法还卖介绍另一种辗
转相除法求最大公因数。
例题精讲一：
一张长方形的纸
,
长
75
厘米、宽<
/p>
6
分米。现在要把它刚好裁成一些边长相等的正方形
,
并且正方形
边长为整厘米数
,
有几种裁法
?
如果要使裁得的正方
形面积最大
,
可以裁多少块
?
【思路导航】
6
分米
=60
厘米。
因为裁成的正方形的边长
必须能同时整除
75
厘米和
60
厘米
,
所以边
长是<
/p>
75
和
60
的公
约数。
75
和
60
的公约数有
1,3,5,15,
所以有
4
种裁法
如果要使正方形面积最
大
,
那么边长也应该最大
,
应该取
75
和
60
的最大公约数
15
作为正方形的边长。所以可以裁
(75
÷
15)x(60
÷
15)=20(
块
)
。
答
:
有
4
种裁法
,
最大的正方形可以裁
20
块。
< br>试一试：
1.
把一张
135
厘米长、
105
厘米宽的长方形纸
,
裁成同样大小的正方形
,
并且无剩余
,
至少能
裁多少块
?
2.<
/p>
一块长
45
厘米、宽
30
厘米的长方形木板
,
把它锯成
若干块大小相同的正方形而无剩余
,
所锯成的
< br>正方形的边长最长是多少厘米
?
3
、有三根铁丝
,
长度分别是
80
厘米、
120
厘米和
200
厘米。现在要把它们截成相等的小段
,
每根都
不能有剩余
,
则每小段最长多少厘米
,
一共可以截成多少段？
1
例题精讲二：
把一个长
30
厘米、
宽
12
厘米、
高
18
厘米的长
方体木块切成大小相等的小正方体木块而没有剩余
,
则小正方体
木块的棱长最长是多少
?
可切成多少个小正方体木块
?
思路点拨：要把长方体切成相等的小正方体而
没有剩余
,
小正方体的棱长必须是长方体长、宽和高
的公约数。要使小正方体的棱长最长
,
棱长就取长
、宽和高的最大公约数。
完全解题
小正方体的棱长最大是
:(30,12,18)=6
可切成小正方体木块的个数为
(30
÷
6)
×
(12
÷
6)
×
(18
÷
6)=30(
个
)
答
:
小正方体木块的棱长最长是
6
厘米
,
可切成
30
个小正方
体木块。
试一试：
1
、一个长方体木块
,
长
2.7
米
,
宽
1.8
分米
,
高
1.
5
分米。要把它切成大小相等的正方体木块
,
< br>不许有剩余
,
正方体的棱长最大是多少分米
?
【思路导航】
2.7<
/p>
米
=270
厘米
,1.8
分米
=18
厘米
,1.5
分米
=15
厘米。
要把长方体切成大小相等的正方
体
,<
/p>
不许有剩余
,
正方体的棱长应该是长、宽
、高的公约数。现要求正方体的棱长最大
,
所以棱长就是
长、宽、高的最大公约数
(270,18,15)
3
厘米
=0.3
分米
<
/p>
答
:
正方体的棱长最大是
0.3
分米。
2
、一个长方体木块的长是
45
< br>厘米、宽
36
厘米、高
24
厘米要把它切成大小相等的正方体木块
,
不
许有剩余
,
求所切正方体木块的棱长最
长是多少厘米
?
可以切成多少个小正方体木块？
3
、
有
50
个梨、<
/p>
75
个橘子和
100
个苹果
,
要把这些水果平均分给几个小组
< br>,
并且每个小组分得的三种
水果的个数也相同
,
最多可以分给几个小组
?
每个小组分多少个梨、橘子和苹果？
4
、今有胡桃
320
个
,
卷糖
240
支
,
甜饼
< br>200
个
,
将这些物品装成数量
相同的礼品袋送给幼儿园的小朋
友
,
袋
数要最多
,
可装多少袋
,
每袋三种食品各有多少
?
5
、用
60
元钱可以买一级茶叶
144
克
,
或买二级茶叶
180
克
,
或买三级茶叶
240
克。现将这三种茶叶
分别按整克数装袋
,
要求每袋的价格都相等
,
那么每袋的价格最低是多
少元钱
?
2
例题精讲三：
一个数除
200
余
4,
除
300
余
6,
除
500
余
10
。求这个
数最大是多少
?
【思路导航】
个数除
200
余
4<
/p>
可以转化为
196
能被某一个数整除
,
另两个条件可以转化为
:294
和
490
都被那个数整除。求这个数最大是多少
,
也就是求
196,294
和
490
的最大公约数是多少。
< br>
(196,294,490)=98
答
:
这个数最大是
98
试一试：
1.<
/p>
一个数除
425
余
5,
除
500
少
4,
除
300
余
< br>6,
这个数最大是多少
?
2.<
/p>
如果把
110
本练习本平均分给五
(1)
班同学
,
则多
5
本
;
如果把
210
本练习本平均分给这个班同学则
正好分完
;
如果把
240
本练习本平均分给这班同学
,
还少
< br>5
本。五
(1)
班最多有多少名
同学
?
3.
一个数
,
除
410
时余
5,
除
242
时少
< br>1
除
550
时余
10
。这个数最大是多少
?
例题精讲四：
两个数的和是
70,
它们的最大公因数是
7,
这两个数的差最大是多少
?
试一试：
1
、两个数的和是
50,
它们的最大公因数是
5,
这两个数的差最大是多少
?
3
2
、一条
道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙两村相距
360
米
,
乙、丙两村相距
675
< br>米。现在准
备在路边栽树
,
要求
相邻两棵树之间距离相等
,
并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点
都要种上树。
求相邻两棵树之间的距离最多是多少米
?
【思路导航】
由于
甲、乙
,
乙、丙的两村中点各要种上一棵树
,
所以要将
360
÷
2=180(
米
)
、
675
÷
2=337
2
,(
米
)
平
均分成若干段
,
并且使每段的长度最长。因为
< br>(675,360)=45,
而
180=360
÷
2
，
337
2
=675
÷
2,
所以
,45
÷
2=
22
2
(
米
)
,
即相邻两棵树之间距离最多是
22
2
米。
3
、有
336
支铅笔
,252
块橡皮
,210
个文具盒
,<
/p>
用这些文具
,
最多可以分成多少份同样的
礼物
?
在每份礼
物中
< br>,
铅笔、橡皮、文具盒各有多少
?
例题精讲五：
用一张长
1072
毫米、宽
469
毫
米的长方形纸
,
剪成面积相等的正方形
,
并且最后没有剩余。这些正
方形的边长最长是多少
?
思路导航】前面的例题已经告诉了我们
,
解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。
但这道题中
,
长和宽的数比较大
< br>,
最大公约数比较难求出。这里再介绍一种求两个数的最大公约数的
方法。
第一步
:1072
÷
469,
余
134
第二步
:469
÷
134,
余
67
第三步
:134
÷<
/p>
67,
没有余数
,
所以用
67
毫米为正方形的边长
<
/p>
来剪
,
正好能剪
(1072
÷
67)
×
(469
÷
67)=12(
个
)
正方形。即这些正方形的边长最大是
67
毫米。
上面求两个较大数的最大公约数的方法叫“辗转相除”法。
<
/p>
所以
(1072,469)=67
。
试一试：
1.
用
辗转相除法求
568
和
1065
的最大公约数。
2.
试用辗转相除法判断
1547
与
3135
是否
互质。
3
、判断
15015
是不是最简分数。
4
11111
1
1
1
1
4
、有一个自然数分别除
360
、
314
、
245,
得到相同的余数
,
< br>问这个自然是几
?(
余数一同减掉
)
5
、用自然数
a
去除
498,450,414,
得到相同的余数
,a
最大是多少？
达标测试
1
、有三根钢管
,
分别长
20m240c
m.30cm,
现在要把这三根钢管截成尽可能长面且又相等的小段
,
一共
能截成多少段
?
2
、
某苗圃的工人加工一种精巧的盆景
,
第一批
加工
1788
个
,
第二批加工
1680
个
,
第三批加工
2098
个
,
各批平均分给工人加工
,
分别剩下<
/p>
7
个、
3
个、<
/p>
5
个
,
问
:
最多有多少工人参加加工
?
3
、用辗
转相除法求
6731
和
2809
的最大公约数。
4
、有一个数分别去除
492,224,395
余数都是
15,
求这个数最大是多少
?
5
、一张长方形纸长
112
厘米
,
宽
80
厘米
,
把它剪成若个同
样大的正方形
,
使边长是整厘米
,
且不能有
剩余
,
最
少能剪多少个
?
5
最小公倍数
【专题剖析】
1
、公倍数和最小公倍数
整数
a
除以整数
b(b<
/p>
≠
0),
除得的商正好是整数而余数为零
,
我们就说
a
能被
b
整除
,a
就叫做
b
的倍
数
,b
叫做
a
的因数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数
;
其中最小
的一个
,
叫做这几个数的最
小公倍数。
例如
:12
的倍数有
12,24,36,48,60,72
⋯
18
的倍数有
18,36
,72,90,
⋯
12
和
18
的公倍数有
:36,
72
…其中
36
是
12
和
18
的最小公倍数。
一般地
,
我们用<
/p>
[a,b]
表示自然数
a,b
的最小公倍数
,
如
[12
,18]=36
。
2
、求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种
:
(1)
分解质因数法
;(2)
短除法
;(3)
公式法
a<
/p>
×
b=
（
a,b
)
×
[a,b]
上面的公式表示
:
两个数的乘积等于这两个数的最公约数和
最小公倍数的乘积。
(4)
大数翻倍法。
注意
:
因为几个数的公倍数有无限多个
,
所以不存在最大公倍数。
例题精讲一：
两个数的最大公约数是
15,
最小公倍数是
90,
求这两个数分别是多少
?
【思路导航】
根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可
先求出这
两个数的乘积
,
再把这个积分
解成两个数。根据题意
15|ab
n161a1b1=90÷15=6=1×6=2×3
当
a1,b1
分别是
1
和
6
时
,a
,b
分别为
15
×
1=15,15
×
6=90;
<
/p>
当
a1,b1
分别是
2
和
3
时
,a,b
分别为
15
×
2=30,15
×
3=45
。
所以
,
这两个数是
15
和
90
或者
< br>30
和
45
。
< br>
试一试
：
1.
两个数的最大公约数是
9,
最小公倍数是
90
。求这两个数分别是多少
?
2.
两个数的最大公约数是
12,
最小公倍数是
60
。求这两个数的和是多少
?
3.
两个自然数的和是
52,
它们的最大公约数是
4,
最小公倍数是
144
。这两个数各是多少
?
例题精讲三：两个自然数的积是
360,
最小公倍数是
120,
这两个数各是多少？
< br>
【
思路导航】
我们把这两个自
然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的
最大公约数与最小公倍
数的积。
根据这一规律
,
我们可以求出这两个数的最大公约数是
360
÷<
/p>
120=3,3
×
aXb=120,a<
/p>
和
b
一定是互质数
,
所以
a
和
b
可以是
1
和
40,
也可以是
5
和
< br>8
。
当
a
和
b
是
1
和
40
时所求的数是
3
< br>×
1=3
和
3
< br>×
40=120;
当
a
和
b
是
5
和
8
时
,
< br>所求的数是
3
×
5=15
和
3
×
8=24
答
:
这两个数是
3
和
120
或
1
5
和
24
6