(完整word版)图形变换对称.习题集
我爱自由-
对称
真题链接
点
F
．
（
1
）依题意补全图
1
；
（
2
）若
PAB
20
，求
ADF
的度数；
在正方形
ABCD
< br>外侧作直线
AP
，点
B
关于直线
AP
的对称点为
E
，连接
BE
，
DE
，其中
DE
交直线
AP
于
（
3
）如图
2
，若
45
PAB
90
，用等式表示线段
AB
，
EF
，
FD
之间的数量关系，并证明．
（
2014
北京中考）
【答案】解：（
1
）补全图形如图所示：
（
2
）连接
AE
，
依题
可知，
PAB
PAE
20
< br>
，
AB
AE
AD
，
DAE
DAB
BAE
130
．
∴
ADE
AED
25
．
< br>
（
3
）连接
< br>AE
、
BF
、
< br>AD
．
由对称性可知：
AE
AB
AD
，
EF
BF
，
△
ABE
、
△
AED
、
△
EFB
都是等
腰三角形．
∴
AEB
ABE
，
AED
ADE
．
∵
BAD
90
，
< br>∴
BAD
< br>
ABE
< br>BED
ADE
2
BED
90
，
∴
BED
45
．
< br>
∴
△
EFB
< br>都是等腰直角三角形，
∴
BF
EF
，
<
/p>
BFE
90
．
在
Rt<
/p>
△
BFD
中，
B
F
2
DF
2
BD
2
<
/p>
BD
2
AB<
/p>
．
∴
EF
2
DF
2
2
AB
2
．
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23
课堂练习
题型一
轴对称图形
【例
1
】
<
/p>
判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
< br>
【答案】是轴对称图形的有：
（
2
）
，
（
4
）
，
（
6
）
，
（
7
）
，
（
9
）
；分别有
1
条，
1
条，
4
条，
1
条，
2
条对称轴．
【例
2
】
<
/p>
如图，
Δ
ABC
与
Δ
A
'
B<
/p>
'
C
'
关于直线
l
对称，则∠
B
的度数为
（
）
A
．
30°
【答案】
D
【例
3
】
<
/p>
如图，
直线
L
是
四边形
ABCD
的对称轴，
若
AB
CD
，
有下面的结论：
①
AB
∥
CD
②
A
C
BD
③
B
．
50°
C
．
90°
D
．
100°
AO
OC
④
AB
BC
，其中正确的结论有
_______
．
D
l
A
B
O
C
【答案】
①②③
题型二
翻折
【例
4
】
<
/p>
如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打
3
个洞，则纸片展开后是
_________
【答案】
D
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23
【例
5
】
<
/p>
将一个正方形纸片依次按图
1
a
，
b
的方式对折，然后沿图
c
中的虚线裁剪，成图
d
样式，将
纸展
开铺平，所得到的图形是图
2
中的
（
）
图
1
图
2
【答案】
D
【例
6
】
<
/p>
如图
a
是长方形纸带，∠
DEF
=20°
，将纸带沿
E
F
折叠成图
b
，再沿
< br>BF
折叠成图
c
，则图
c
中的∠
CFE
的度数
是（
）
A
、
110°
B
、
120°
C
、
140°
D
、
150°
【答案】
B
．
【例
7
】
<
/p>
将一矩形纸片按如图方式折叠，
BC
、<
/p>
BD
为折痕，折叠后
A′B
与
E′B
在同一条直线上，则∠
CBD
的度数（
）
D
A'<
/p>
C
E'
A
B
E
A
、大于
90°
B
、小于
9
0°
C
、等于
90°
< br>
D
、不能确定
【答案】故选
C
．
【例
8
】
<
/p>
如图，等边
ABC
的边长为
1cm
，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上的点，将
ADE
沿直线
DE
折叠，点
A
落在点
A
< br>
处，且点
A
在
ABC
外部，则阴影部分
图形的周长为
________
cm
．
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23
A
E
D
B
A
'
C
【答案】
3
．
如图
1
所示
为三角形纸片
ABC
，
AB
上有一点
P
．已知将
A<
/p>
，
B
，
C
往内折至
P
时，出现折线
SR
、
TQ
、
QR
，
其中
Q
、
R
、
S
、
T
四点会分别在
< br>BC
、
AC
、
< br>AP
、
BP
上，如图
2
所示．若
△
ABC
、四边形
PTQR
的面积分别
为
16
、
5
，则
△
PRS
的面积为（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
【答案】
C
【例
9
】
<
/p>
把△
ABC
沿
D
E
折叠，∠
BDA
、∠
CEA
与∠
A
的关系为：图①
：
_____________________.
D
B
E
A
A
B
D
图②
：
_____________________.
E
C
C
图①
图②
1
1
【答案】
A
BDA
CEA
；
A
CEA
BDA
2
2
【例
10
】
有一张矩形纸片
< br>ABCD
，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片
ABCD
折叠，使点
B
、
D
重合，点
C
落在点
C
处，得折痕
EF
；
第二步：如图②，将五边形
AEFC
D
折叠，使
AE
、
C
F
重
合，得折痕
DG
，再打开；
第三步：如图③，进一步折叠，使
AE
、
C
F
均落在
DG
上，点
A
、
C
落在点
A
处，点
E
、
F
落在点
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23
E
处，得折痕
MN
、
QP
.
这样，就可以折出一个五边形
DMNPQ
.
若这样折出的五
边形
DMNPQ
（如图③）恰好是一个正五边形，当
AB
a
，
AD
b
，
DM
m
时，有下列
结论：
3
①
a
2
b
2
2
ab
tan18
；
②
m
a
2
b
2
tan18
；③
b
m
< br>a
tan18
；
④
< br>b
m
m
tan18
.
< br>
2
其中，正确结论的序号是
_
_____________
（把你认为正确结论的序号都
填上
）
.
．
【答案】
①②③
DE
=
< br>DF
，
DF
的延长线交于点
B
、
C
，
【例
11
】
如图
,
△
D
EF
中，
过
EF
上一点
A
作直线分别与
DE
、
且
BE
=
CF
.
（
1
）求证：
AB
=
AC
.
（
2
）猜想
BC
与
EF
的大小关系，并加以证明
.
E
B
A
C
F
D
E
B
A
C
F
D
【答案】
（
< br>1
）过
B
做
CF
平行线构造全等
（
2
）
BC
EF
．
【例
12
】
如图
1
，在直角梯形
< br>ABCD
中，
AB
∥
CD
，∠
ABC
=
∠
AED
=90
°，
∠
AEB
=2
∠
DAE
.
求证：
AE
=
BC
.
如图２，在（
1)
的条件下
,
点
F
为线段
AE
上一动点，过点
F
作
GF
⊥
AE
交
AD
于
G
，过点
G
作
GH
⊥
BC
于
H
.
判断
AF
=
BH
是否成立，并说明
理由
.
如图
3
，在（
2
）的条件下，
AB
=8
，∠
AEB
=60
°，直接写出
FH
的最小值
.
A
A
G
A
G
D
< br>F
D
B
D
F
B
E
H
C
E
C
B
E
H
C
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23
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【答案
】此题（
1
）（
2
）可过
A
做
BC
< br>平行线来构造矩形，类似于翻折问题．
（
3
）当
FG
=
GH
时取的最小值．
题型三
垂直平分线
【例
13
】
如图，已知
AOB
< br>
40
，
CD
为
OA
的垂直平分线，求
ACB
的度数．
A
D
O
C
B
【答案】<
/p>
80
【例
14
】
如图所示，在
△
ABC
中，∠
BAC
=106°
，<
/p>
EF
、
MN
分别
是
AB
、
AC
的垂直平分线，点
E
、
M
在
BC
上，则∠
EAM
=__________
A
F
N
B
E
M
C
【答案】
32
．
【例
15
】
如图，
若
B
AC
DAE
150
,
则
BAC
ABC
的两边
AB
、
AC
的垂直平分线分别交
BC
于
D
、
E
，<
/p>
的度数是
________
A
B
D
E
C
【答案】
BAC
110
【例
16
】
如图
ABC
中，
AD
平分
BAC
，
DG
BC
且平分
BC
，
DE
AB
于
E
，
DF
< br>AC
于
F
.
⑴说明
BE
CF
的理由；
⑵如果
AB<
/p>
a
，
AC
b
，求
AE
，
BE
的长
.
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23
A
E
B
G
C
F
D
【答案
】⑴要证明
BE
CF
，根据垂直平分线的性质，可连接
BD
、
DC
证明
BDE
≌
CDF
即可
a
b
x
x
y
a
2
⑵求
AE
、
BE
的长，可设
AE
AF
x
，
BE
CF
y
< br>，根据题意得
，解得
a
b
x
y
b
y
2
【例
17
】
如图，
AC
AD
，
BC
BD
，则有（
）
C
A
．
AB
垂直平分
CD
B
．
CD
垂直平分
AB
C
．
AB
与
CD
互相垂直平分
D
．
CD
平分
ACB
【答案】
∵
AC
AD
、
BC
BD
∴
点
A
、
B
在线段
CD
的垂直平分线上．
∴
AB
垂直平分
< br>CD
．故选
A
．
【例
18
】
已知：如图，
△
ABC
中，∠
ACB
=90°
，
D
是
BC
延长线上
一点，
E
是
AB
上一点，且在
BD
的垂直平
D
A
B
分线
EG
上，
DE
交
AC
于
F
，求证：
E<
/p>
在
AF
的垂直平分线上．
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23
A
2
4
3
E
F
B
G
D
1
C
【答案】
∵
E
在
BD
垂直平分线
EG<
/p>
上，
∴
EB
<
/p>
ED
，
∴
1
B
∵
ACB
90
，
∴
1
3
90
< br>
，
B
2
9
0
∴∠
3
=
∠
2
．
<
/p>
∵∠
3=
∠
4<
/p>
，
∴∠
4=<
/p>
∠
2
，
∴
EA
EF
，
∴
E
在
AF
的垂直平分线上．
【例
19
】
如图，在四边形
ABCD
中，
AB
CD
，
M
，
N
，
P
，
Q
分别是
AD
，
BC
，
BD
，
AC
的中点．
求证：
MN
与
PQ
互相垂直平分
【答案】连接
MP
，
PN
，
NQ
，
QM
，
∵
AM
MD
，
BP
PD
∴
PM
1
< br>AB
2
∴
PM
是
△
ABD
< br>的中位线
∴
PM
∥
AB
同理
NQ
1
1
AB
，
NQ
∥
AB
，
MQ
DC
2
2
< br>∴
PM
NQ
< br>，且
PM
∥
NQ
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23
∴四边形
MPNQ
< br>是平行四边形．
又∵
AB
DC
，
∴
PM
MQ
∴平行四边形
MPNQ
是菱形．
∴
MN
与
PQ
互相垂直平分．
题型四
轴对称类最值
【例
20
】
如图，在公路
a
的同旁有两个仓库
A
、
B
，现需要建
一货物中转站，要求到
A
、
B
两仓库的距离
和最短，这个中转站
M
应建在公路旁的哪个位置比较合理？
A
B
a
A
B
P
a
B'
【答案】答案见右上图。
【例
21
】
如图，在等腰
Rt
< br>ABC
中，
CA
CB
3
，
E
的
BC
上一点，满足
BE
2
，在斜边<
/p>
AB
上求作一点
P
使得
PC
PE
长度之和最小。
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23
A
P
C
E
B
【答案】如下图。
A
E'
P
C
E
< br>B
【例
22
】
如图，
AOB
45
，角内有点
P
，在角的两边有两点
Q
、<
/p>
R
(
均不同于
O
点
)
，求作
Q
、
R
，使得
PQR
的周长的最小。
A
P
O
B
< br>
【答案】如图。
A
P'
Q
P
O
R
P''
B
【例
23
】
已知：
A
、
B
两点在直线
l
的同侧，在
l
上求作一点
M
，使得
|
AM
BM
|
最大。
B
A
l
【答案】如图。
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10
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23
B
A
l
M
【例
24
】
求在直线
l
上找一点
< br>P
，使得直线
l
为
APB
的角平分线
A
B
【答案】如图
A
B'
P
B<
/p>
【例
25
】
如图，矩形
ABCD
中，
AB
20
，
BC
10
，若在
AB
、
AC
上各取一点
E
、
F
，使得
BF
EF
的
值最小，这个最小值为（
）
A
．
12
B
．
10
2<
/p>
C
．
16
D
．
20
D
F
A
E
B
C
【答案】
C
【例
26
】
如图，设
MON
20
，
A
为
OM
上一点，
< br>OA
4
3
，
D
为
ON
上一点，
OD
8
< br>3
，
C
为
AM
上
任一点，
是
< br>OD
上任意一点，那么折线
ABCD
的长最小为
_____________.
A
O
B
【答案】
12
C
M
D
N
【例
27
】
如图，直线
y
x
4
分
别与
x
轴，
y
轴交于
A
、
B
两点，从点
P
2
,
0
射出的光线经直线
AB
反
射后再射到直线
OB
上，最后经直线
OB
反射后又回到
P
点，则光线所经过的路程是（
）
A.
2
10
B.
6
C
．
3
3
D.
4
2
2
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