初二轴对称图形难题总结新选
白水洋在哪里-
初二轴对称图形难题总结
如图（
a
）
，点
A
、
B
在直线
l
的同侧，要在直线
l
上找一点
C
，使
AC
与
BC
的距离之和最小，我们可以作出点
B
关于
l
的对称点
B′
，连接
A B′
与直线
l
交于点
C
，则点
C
即为所求．
（
1
）实践运用：
如图（
b
）
，已知，
⊙
O
的直径
CD
为
4
，点
A
在
⊙
O
上，
∠
ACD=30°
，
< br>B
为弧
AD
的中点，
P
为直径
CD
上一动
点，
则
BP+AP
的最小值为
_________
．
（
2
）知识拓展：
如图（
c
）
，在
Rt
△
ABC
中，
AB=10
，
∠
BAC=45°
，
∠
BAC
的平分线交
< br>BC
于点
D
，
< br>E
、
F
分别是线段
AD
和
AB
上的动点，
求
BE+EF
的最小值，并写出解答过程．
2
．
（
1
）观察发现
如图（
1
）
：若点
A
、
B
在直线
m
同侧，在直线
m
上找一点
P
，使
AP+BP
的值最小
，做法如下：
作点
B
关于
直线
m
的对称点
B′
< br>，
连接
AB′
，
与直线
m
的交点就是所求的点
P
，
线段
AB′
的长度即为
AP+BP
的最小
值．<
/p>
如图（
2
）
：在等边三角形
ABC
中，
AB=2
，点
E
是
AB
的中点，
AD
是
高，在
AD
上找一点
P
，使
BP+PE
的值最小，
做
法如下：
作点
B
关于
AD
的对称点，恰好与点
C<
/p>
重合，连接
CE
交
AD
于一点，则这点就是所求的点
P
，故
BP+PE
的最小值为
_________
．
（
2
）实践运用
如图（
3
）
：已知
⊙
O
的直径
CD
为
2
，
的度数为
60°
< br>，点
B
是
的中点，在直径
CD
上作出点
P
，使
BP+AP
的
值最小，则
BP+AP
的值最小，则
BP+AP
的最小值为
_________
．
（
3
）拓展
延伸
如图（
4
）
：点
P
是四边形
< br>ABCD
内一点，分别在边
AB
、
BC
上作出点
M
，点
N
，使
PM+PN+MN
的值最小，保留作图
痕迹，不写作法．
如图（
1
）
，要在燃气管道
l
上修建一个泵站，分
别向
A
、
B
两
镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气
管线最短？
你可以在
l
上找几个点试一试，能发现
什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道
l
看成一条直线（图（
2
）
）
，问题就转化
为，要在直线
l<
/p>
上找一点
P
，使
AP
与
BP
的和最小．他的做法是这样
的：
①
作点
B
关于直线
l
的对称点
B′
．
②
< br>连接
AB′
交直线
l
于点
P
，则点
P
为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．
如图在
△
ABC
中，点
D
、
E
分别是
AB
、
AC
边的中点，
BC=6
，
BC
边上
的高为
4
，
请你在
BC
边上确定一点
P
，使
△
PDE
得周长最小．
（
1
）在图中作出点
< br>P
（保留作图痕迹，不写作法）
．
（
2
）请直接写出
△
PDE
周长的最小值：
_________
．
4
．
（
1
）观察发现：
如（
a
）图，若点
A
< br>，
B
在直线
l
< br>同侧，在直线
l
上找一点
P
，使
AP+BP
的值最小．
做法如下：作点
B
关于直线
l
的对称点
B'
，连接
AB'
，与直线
l
的交点就是所求的点
P
．再如（
< br>b
）图，在等边三角
形
ABC<
/p>
中，
AB=2
，点
E
是
AB
的中点，
< br>AD
是高，在
AD
上找一点
P
，使
BP+PE
的值最小．
做法如下：作点
B
关于
AD
的对称点，恰好与点
C
重合，连接
CE
交
AD
于一点，则这点就是所求的点
P
，故
BP+PE
的最小值为
_________
．
（
2
）实践运用：
如（
c
）图，已知
⊙
O
< br>的直径
CD
为
4
，
∠
AOD
的度数为
60°
，点
B
是
的中点，在直径
CD
上找一点
P
，使
BP+AP
的值最小，
并求
BP+AP
的最小值．
（
3
）拓展延伸：
<
/p>
如（
d
）图，在四边形
< br>ABCD
的对角线
AC
上找一点
P
，使
∠
AP
B=
∠
APD
．保留作图痕迹，不必写
出作法．
5
．几何模型：
条件：如下图，
A
、
B
是直线
l
同旁的两个定点．
2
/
32
问题：在直线
l
上确定一点
P
，使
PA+PB
的值最小．
方法：作点
A
关于直线
l
的对称点
A′
，连接
A′B
交
l
于点
P
，则
PA+P
B=A′B
的值最小（不必证明）
．
模型应用：
（
1
）如图
1
，正方形
ABCD
的边长为
2
，
E
为
AB
的中点，<
/p>
P
是
AC
上一动
点．连接
BD
，由正方形对称性可知，
B
与
D
关于直线
AC
对称．连接
ED
交
AC
于
P
，则
PB+PE
的最小值是
_________
；
（
2
）如图
2
，
⊙
O
的半径为
2
，点
A
、
B
、
C
在
⊙
O
上，
OA
⊥
OB
，
∠
AOC=60°
，
P
是
OB
上
一动点，求
PA+PC
的最小
值；
（
3
）如图
3
，
∠
AOB=4
5°
，
P
是
∠
AOB
内一点，
PO=10
，
Q
、
R
分别是
OA
、
OB
上的动点，求
△
PQR
周
长的最小值．
< br>6
．如图，已知平面直角坐标系，
A
、
B
两点的坐标分别为
A
（
2
，﹣
3
）
，
B
（
4
，﹣
1
）
< br>．
（
1
）若
P
（
p
，
0
）是
x
轴
上的一个动点，则当
p=
_________
时，
△
PAB
的周长最短；
（
2
）若
C<
/p>
（
a
，
0
）
，
D
（
a+3
，
0
）是
x
轴上的两个动点，则当
a=
< br>
_________
时，四
边形
ABDC
的周长最短；
（
3
）设
M
，
N
分别为
x
轴和
y
轴上的动点，请问：是否存在这样的点
M
（
m
，
0
）
、
N
（
0
，
n
< br>）
，使四边形
ABMN
的
周长最短？若存在，请求出
m=
_________
，
n=
_________
（不必写解答过
程）
；若不存在，请说明理由．
7
．需要
在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到
A
，
B
两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．
8
．如图所示，在一笔直的公路
MN
的同一旁
有两个新开发区
A
，
B
，已知
AB=10
千米，直线
AB
与公路
MN
的夹角
∠
AON=30°
，新开发区
B
到公路
MN
的距离
< br>BC=3
千米．
（
1
）新开发区
A
到公路<
/p>
MN
的距离为
_________
；
（
2
）现要在
MN
上某点
P
处向新开发区
A
，
B
修两条公路
PA
，
PB
，使点
P
到新开发
区
A
，
B
的距
离之和最短．此时
PA+PB=
_________
（千米）
．
3
/
32
9.
如图：
（
1
）若把图中小人平移，使点
A
平移到点
B
，请你
在图中画出平移后的小人；
（
2
）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边
l
上点
P
处喝水后，再游到
B
，但要使游泳的路程最短，试
在图中画出点
P
的位置．
10
．如
图，在直角坐标系中，等腰梯形
ABB1A1
的对称轴为
y
轴．
（
1
）请画出：点
A
、<
/p>
B
关于原点
O
的
对称点
A2
、
B2
（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）
；
（
2
）连接
A1A2
、
B1B2
（其中
A2
、
B2
为（
< br>1
）中所画的点）
，试证明：
x
轴垂直平分线段
A1A2
、
B1B2
；
（
3
）设线段
AB
两端点
的坐标分别为
A
（﹣
2
，
4
）
、
B
（﹣
4
，
2
）
，连接（
1
）中
A2B2
，试问在
x
轴上是否存在点
C
，
使
△
A1B1C
与
△
A2B2C
的周长之和最小？若存在，求出点
C
的坐标（不必说明周长之和最小的理由）
；若不存
在，
请说明理由．
11
．某大型农场拟在公路
L
旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基
地
A
、
B
的水
果
集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置
C
，使
A
、
B
两地到加工厂
C
的运
输路程之和最短．
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法和证明）
12
．阅读理解
如图
1
，
△
ABC
中，沿
∠
BAC
的平分线
AB1
折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿
∠
B1A1C
的平分线
A1B2
折叠，剪掉
重复部分；
…
；将余下部分沿
∠
BnAnC
的平分线
AnBn+1
折叠，点
Bn
与点
C
重合，无论折
叠多少次，只要最后一次
4
/
32
恰好重
合，
∠
BAC
是
△
ABC
的好角．
小丽展示了确定
∠
BAC
是<
/p>
△
ABC
的好角的两种情形．情形一：如
图
2
，沿等腰三角形
ABC
顶角
∠
BAC
的平分线<
/p>
AB1
折叠，点
B
与点
C
重合；情形二：如图
3
，沿
∠
BAC
的平分
线
AB1
折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿
< br>∠
B1A1C
的
平分线
A1B2
折叠，此时点
B1
与点
C
重合．
探究发现
（
1
）
△
ABC
中，
∠
B=2
∠
C
，经过两次折叠，
∠
BAC
是不是
△
ABC
的好
角？
_________
（填
“
是
”
或
“
不是
”
）
．
（
< br>2
）小丽经过三次折叠发现了
∠
BAC
是
△
ABC
的好角，请探究
∠
B
与
∠
C
（不妨设
∠
B
＞
∠
C
）之间的等量关系．根
据以上内容猜想：若经过
n<
/p>
次折叠
∠
BAC
是
△
ABC
的好角，则
∠
B
与
∠
C
（不妨设
∠
B
< br>＞
∠
C
）之间的等量关系为
_________
．
应用提升
（
3
）小丽找到一个三角形，三个角分
别为
15°
、
60°
< br>、
105°
，发现
60°
和
105°
的两个角都是此三角形的好角．<
/p>
请你完成，如果一个三角形的最小角是
4°
，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的
好角．
13
．如图，
△
ABC
中
AB=AC
，
BC=6
，
，点
P
从点
B
出发沿射线<
/p>
BA
移动，同时，点
Q
< br>从点
C
出发沿线段
AC
的延长线移动，已知点
P
、
Q
移动的速度相同，
PQ
与直线<
/p>
BC
相交于点
D
．
（
1
）如
图
①
，当点
P
为
AB
的中点时，求
CD
的长；
（
2
）如图
②
，过点
P
作直线
BC
的垂线垂足为
E
，当点
P
、
Q
在移动的过程中，线段
BE
、
DE
、
CD
中是否
存在长度
保持不变的线段？请说明理由；
14<
/p>
．
（
2012•
东城区二模）已知：等边
△
ABC
中，
点
O
是边
AC
，
BC
的垂直平分线的交点，
M
，
N
分别在直线
AC
，
BC
上，且
∠
MON=60°
．
（
1
）如图
1
，当
CM=CN
时，
M
、
N
分别在边
AC<
/p>
、
BC
上时，请写出
AM
、
CN
、
MN
三者之间的数量关系；
（<
/p>
2
）如图
2
，当
CM≠CN
时，
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上时，
（
1
）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；
若不成立，请说明理由；
（
3
）如图
3
，当点
M
在边
AC
上，点
N
在
BC
的延长线上时，请直接写
出线段
AM
、
CN
、
MN
三者之间的数量关系．
5
/
32
15
．如
图，线段
CD
垂直平分线段
AB
，
CA
的延长线交
B
D
的延长线于
E
，
CB
的延长线交
AD
的延长线于<
/p>
F
，
求证：<
/p>
DE=DF
．
16
．如
图，在
△
ABC
和
△
DCB
中，
AB=DC
，
AC=DB
，
AC<
/p>
与
DB
交于点
M
．求证：
（
1
）
△
ABC
≌
△
DCB
；
（
2
）点
M<
/p>
在
BC
的垂直平分线上．
17
．如图，
△
ABC
的边
BC
的垂直平分线
D
E
交
△
BAC
的外角平分线
AD
于
D
，
E
为垂足，
DF
⊥
AB
于
F
，且
AB
＞
AC
，
求证：
BF=AC+AF
．
18
．已知
△
ABC
的角平分线
AP
与边
BC
的垂直平分线
PM
相
交于点
P
，作
PK
⊥
AB
，
PL
⊥
AC
，垂足分别是
K
、
L
，
求证：
BK=CL
．
19<
/p>
．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村
A
、
B
的距离必须相等，且到两条
公路
m
、
6
/
32
n
的距离也必须相等，那么加油站应
修在什么位置，在图上标出它的位置．
（要有作图痕迹）
20<
/p>
．如图，在
△
ABC
中，
AB=AC
，
∠
A=120°
，
BC=9cm
，
AB
的垂直平分线
MN
交
BC
于
M
，交
AB
于
N
，求
BM
的长．
21<
/p>
．如图，在
△
ABC
中，
∠
BAC
的平分线与
BC
的垂直平分线
PQ
相交于点
P
，过点
P
< br>分别作
PN
⊥
AB
于
N
，
PM
⊥
AC
于点
M
，求证：
BN=CM
．
22<
/p>
．如图己知在
△
ABC
< br>中，
∠
C=90°
，
∠
B=15°
，
DE
垂直平分
AB
，
E
为垂足交
BC
于
D
，
BD=16cm
，求
AC
长．
参考答案与试题解析
一．解答题（共
22
小题）
1
．
（
201
3•
日照）问题背景：
如图（
a
）
，点
A
、
B
在直线
l
的同侧，要在直线
l
上找一点
< br>C
，使
AC
与
< br>BC
的距离之和最小，我们可以作出点
B
关于
l
的对称点
B′
，连接
A B′
与直线
l
交于点
C
，则点
C
即为所求．
7
/
32
（
1
）实践运用：
如图（
b
）
，已知，
⊙
< br>O
的直径
CD
为
4
，点
A
在
⊙
O
上，
∠
ACD=30°
，
< br>B
为弧
AD
的中点，
P
为直径
CD
上一动
点，
则
BP+AP
的最小值为
2
．
（
2
）知识拓展：
如图（
c
）
，在
Rt
△
ABC
中，
AB=10
，
∠
BAC=45°
，
∠
BAC
的平分线交
< br>BC
于点
D
，
< br>E
、
F
分别是线段
AD
和
AB
上的动点，
求
BE+EF
的最小值，并写出解答过程．
考点：
分析：
轴对称
-
最短路线问题．
3113559
（
1
）
找点
A
或点
B
关于
C
D
的对称点，
再连接其中一点的对称点和另一点，
和
MN
的交点
P
就是所
求作的位置．根据题意先求出
∠
C′AE
，再根据勾股定理求出
AE
，即可得出
PA+PB
的最小值；
< br>
（
2
）首先在斜边
AC
上截取
AB′=AB
，连结
BB′
，再过点
B′
作
B′F
⊥
AB
，垂足为
F
，交
AD<
/p>
于
E
，连结
BE
，则线段
B′F
的长即为所求．
解：
（
1
）作点
B
关于
CD
的对称点
E
，连接
AE
交
CD
于点
P
此时
PA+PB
最小，且等于<
/p>
AE
．
作直径
AC′
，连接
C′E
< br>．
根据垂径定理得弧
BD=<
/p>
弧
DE
．
∵
∠
ACD=30°
，
∴
∠
A
OD=60°
，
∠
DOE=30°
，
∴
∠
AOE=90°
，
∴
∠
C′AE=45°
，
又
AC′
为圆的直径，
∴
∠
AEC′=90°
，
∴
∠
C′=
∠
C′AE=45°
，
∴
C′E=AE=
A
C′=2
，
．
解答：
即
AP+BP
的最小值是
2
故答案为：
2
；
（
2
）如图，在斜边
AC
上截取
AB′=AB
，连结
BB′
．
∵
AD
平分
∠
BAC
，
∴
点
B
与点<
/p>
B′
关于直线
AD
对称．
过点
B′
< br>作
B′F
⊥
AB
，垂足为
F
，交
AD
于
E
，连结
BE
，
则线段
B′F<
/p>
的长即为所求．
（点到直线的距离最短）
在
Rt
△
AFB′
中，
∵
∠
BA
C=45°
，
AB′=AB=10
，<
/p>
∴
B′F=AB′•sin45°=A
B•sin45°=10×
∴
BE+EF
的最小值为
．
=5
，
8
/
32
点评：
此题主
要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点
P
位置是解题关键．
2
．
（
2013•
六盘水）<
/p>
（
1
）观察发现
如图（
1
）
：若点
A
、
B
在直线
m
同侧，在直线
m
上找一点
P
，使
AP+BP
的值最小
，做法如下：
作点
B
关于
直线
m
的对称点
B′
< br>，
连接
AB′
，
与直线
m
的交点就是所求的点
P
，
线段
AB′
的长度即为
AP+BP
的最小
值．<
/p>
如图（
2
）
：在等边三角形
ABC
中，
AB=2
，点
E
是
AB
的中点，
AD
是
高，在
AD
上找一点
P
，使
BP+PE
的值最小，
做
法如下：
作点
B
关于
AD
的对称点，恰好与点
C<
/p>
重合，连接
CE
交
AD
于一点，则这点就是所求的点
P
，故
BP+PE
的最小值为
．
（
2
）实践运用
如图（
3
）
：已知
⊙
O
的直径
CD
为
2
，
的度数为
60°
，点
B
是
．
的中点，在直径
CD
上作出点
P
，使
BP+AP
的
值最小，则
< br>BP+AP
的值最小，则
BP+AP
的最小值为
（
3
）拓展
延伸
如图（
4
）
：点
P
是四边形
< br>ABCD
内一点，分别在边
AB
、
BC
上作出点
M
，点
N
，使
PM+PN+MN
的值最小，保留作图
痕迹，不写作法．
9
/
32
考点：
专题：
分析：
圆的综合题；轴对称
-
最短路线问题．
3113559
压轴题．
（
1
）观察发现：利用作法得到
CE
的长
为
BP+PE
的最小值；由
AB=2<
/p>
，点
E
是
AB<
/p>
的中点，根据等
边三角形的性质得到
CE
⊥
AB
，
∠<
/p>
BCE=
∠
BCA=30°
，
BE=1
，再根据含
30
度的直角三角形三边的关
系得
CE=<
/p>
；
（
2
）实践运用：过
B
点作弦
BE
⊥
CD
，连结
AE
交
CD
于
P
点，连结
OB
、
OE
、
OA
、
PB
，根据垂径
定理得到
CD
平分
BE
，即点
< br>E
与点
B
关于
< br>CD
对称，则
AE
的长就是
BP+AP
的最小值；
< br>由于
的度数为
60°
，点
B
是
的中点得到
∠<
/p>
BOC=30°
，
∠
AOC=60°
，所以
∠
AOE=
60°
+30°
=90°
，
OA=
；
于是可判断<
/p>
△
OAE
为等腰直角三角形，则
AE=
解答：
（
3
）拓展延伸：分别作出点
P
关于
AB
和
BC
的对称点
E
和
F
，然后连结
EF
，
EF
交
AB
于
M<
/p>
、交
BC
于
N<
/p>
．
解：
（
1
）观察发现
如
图（
2
）
，
C
E
的长为
BP+PE
的最小值，
∵
在等边三角形
A
BC
中，
AB=2
，点
E
是
AB
的中点
∴
CE
⊥
AB
，
∠
BCE=
∠
BCA=30°
，
BE
=1
，
∴
C
E=
BE=
；
；
故答案为
（
2
）实践运用
如图（
3
）
，过
B
点作弦
BE
< br>⊥
CD
，连结
AE
交
CD
于
P
点，连结
OB
、
OE
、
OA
、
PB
，
∵
BE
⊥
CD
，
∴
CD
平分
BE
，即点
E
与点
B
关于
CD
对称，
∵
的度数为
60°
，点
B
是
的中点，
∴
∠
BOC=30°
，
∠
AOC=60°
，<
/p>
∴
∠
EOC=
30°
，
∴
∠
AOE=60°
+30°
=90°<
/p>
，
∵
OA=O
E=1
，
∴
AE=
OA=
，
∵
AE
的长就是
BP+AP
的最小值．
故答案为
；
（
3
）拓展延伸
如图（
4
）
．
10
/
32
点评：
本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周
角定理在有关圆的几何证明中经常
用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最
短路径问题．
3
．
< br>（
2012•
凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学
们思考课本中的探究题．
如图（
1<
/p>
）
，要在燃气管道
l
上修建一个泵站，分别向
A
、
B<
/p>
两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气
管线最短？
你可以在
l
上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道
l
看成一条直线（图（
2
）
）
，问题就转化
为，要在直线
l<
/p>
上找一点
P
，使
AP
与
BP
的和最小．他的做法是这样
的：
①
作点
B
关于直线
l
的对称点
B′
．
②
< br>连接
AB′
交直线
l
于点
P
，则点
P
为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．
如图在
△
ABC
中，点
D
、
E
分别是
AB
、
AC
边的中点，
BC=6
，
BC
边上
的高为
4
，
请你在
BC
边上确定一点
P
，使
△
PDE
得周长最小．
（
1
）在图中作出点
< br>P
（保留作图痕迹，不写作法）
．
（
2
）请直接写出
△
PDE
周长的最小值：
8
．
考点：
专题：
分析：
轴对称
-
最短路线问题．
3113559
压轴题．
（
1
）根据提供材料
DE
不变，只要求出
DP+PE
的最小值即可，作
D
点关于
BC
的对称点
D′
，连接
D′E
，
< br>与
BC
交于点
P
，
P
点即为所求；
（
2
）利用中位线性质以及勾股定理得出
D′E
的值，即可得出答案．
解：
（
1
）作
D
点关于
BC
的对称点
D′
，连接
D′E
，与
BC
交于点
P
，
P
点即为所求；
（
2
）
∵
点
D
、
E
分别是
AB
、
AC
边的中点，
∴
DE
为
△
AB
C
中位线，
11
/
32
解答：
∵
BC=6
，
BC
边上的高为
4
，
< br>∴
DE=3
，
DD′=4
，
∴
D′E=
=
=5
，
∴
△
PDE
周长的最
小值为：
DE+D′E=3+5=8
，
故答案为：
8
．
点评：
此题主要考查了利用轴对称求最短
路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求
△
PDE
周长的最小
值，求出
DP+PE
的最小值即可是解题关键．
4
< br>．
（
2010•
淮安）
（
1
）观察发现：
<
/p>
如（
a
）图，若点
A
，
B
在直线
l
同侧，在直线
l
上找一点
P
，使
AP+BP
的值
最小．
做法如下：作点
B
关于直线
l
的对称点
B'
，连接
AB'
，与直线
l
的交点就是所求的点
P
．再
如（
b
）图，在等边三角
形
ABC
中，
AB=2
，点
E
是
AB
的中
点，
AD
是高，在
AD
上找一点
P
，使
BP+PE<
/p>
的值最小．
做法如下：作点
B
关于
AD
的对称点，恰
好与点
C
重合，连接
CE
交
AD
于一点，则这点就是所求的点
P
，故
BP+PE
的最小值为
．
（
2
）实践运用：
如（
c
）图，已知
⊙
O
的直径
CD
< br>为
4
，
∠
AOD
的度数为
60°
，点
B
是
的中点，在直径
C
D
上找一点
P
，使
BP+AP
的值最小，并求
BP+AP
的最小值．
（
3
）拓展延伸：
如（
d
）图，在四边形
ABCD
的对角线
AC
上找一点
P
，使
∠
APB=
∠
AP
D
．保留作图痕迹，不必写出作法．
考点：
分析：
轴对称
-
最短路线问题．
3113559
（
1
）首先由等边三角形的性质知，
C
E
⊥
AB
，在直角
△
BCE
中，
∠
< br>BEC=90°
BC=2
，
BE
=1
，由勾股定理可
求出
CE
的长度，从而得出结果；
（
< br>2
）要在直径
CD
上找一点
P
，使
PA+PB
的值最小，设
A′
是
A
关于
CD
的对称点，连接
A′
B
，与
CD
的
交点即为点
P
．此时
PA+PB=A′
B
是最小值，可证
△
OA′B
是等腰直角三角形，从而得出结果．
（
3
）画点
B
关于
AC
的对称点
B′
，延长
DB′
交
AC
< br>于点
P
．则点
P
即为所求．
解：
（
1
）
BP+PE
的最小
值
=
12
/
32
解答：
=
=
．
（
2
）作点
A
关于
CD
的
对称点
A′
，连接
A′B
，交
CD
于点
P
，连接
OA′
，
AA′<
/p>
，
OB
．
∵
点
A
与
A′
关于
CD
对称，<
/p>
∠
AOD
的度数为
60°
，
∴
∠
A′OD=
∠
AOD=60°
，
PA=PA′
，
∵
点
B
是
的中点，
∴
∠<
/p>
BOD=30°
，
∴
∠
A′OB=
∠
A′OD+
∠
BOD=90°
，
∵
⊙
O<
/p>
的直径
CD
为
4
，
∴
OA=
OA′=2
，
∴
A′B=2
．
．
∴
PA+
PB=PA′+PB=A′B=2
（
3
）如图
d
：首先过点
B
作
BB′
⊥
AC
于
O
，且
OB=OB′
，
连接
DB′
并延长交
AC
于
P
．
（由
AC
是
BB′
的垂直平分线，可得
∠
APB=
∠
APD
）
．
点评：
5
．
（
2009•
漳州）几何模型：
条件：如下图，
A
、
B<
/p>
是直线
l
同旁的两个定点．
此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对
称的性质，将求折线问题
转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第
三边．
问题：在直线
l
上确定一点
P
，使
PA+PB
的值最小．
方法：作点
A
关于直线
l
的对称点
A′
，连接
A
′B
交
l
于点
P
，则
PA+PB=A′B
的值最小（
不必证明）
．
模型应用：
（
1
）如图
1
，正方形
ABCD
的边长为
2
，
E
为
AB
的中点，<
/p>
P
是
AC
上一动
点．连接
BD
，由正方形对称性可知，
B
与
D
关于直线
AC
对称．连接
ED
交
AC
于
P
，则
PB+PE
的最小值是
；
（
2
）如图
2
，
⊙
O
的半径为
2
，点
A
、
B
、
C
在
⊙
O
上，
OA
⊥
OB
，
∠
AOC=60°
，
P
是
OB
上
一动点，求
PA+PC
的最小
值；
（
3
）如图
3
，
∠
AOB=4
5°
，
P
是
∠
AOB
内一点，
PO=10
，
Q
、
R
分别是
OA
、
OB
上的动点，求
△
PQR
周
长的最小值．
考点：
轴对称
-
最短路线问题．
3113559
专题：
压轴题；动点型．
分析：
（
1
）由题意易得
PB+PE=PD+PE=DE
< br>，在
△
ADE
中，根据勾股定理
求得即可；
（
2
）作
A
关于
OB
< br>的对称点
A′
，连接
A′C
，交
OB
于
P
，求
A′C
的长，即是
PA+PC
的最小值；
13
/
32
（
3
）作出
点
P
关于直线
OA
的对称点
M
，关于直线
OB
的对称点
N
，连接
M
N
，它分别与
OA
，
< br>OB
的交点
Q
、
R
，这时三角形
PEF
的周长
=MN
，只要求
MN
< br>的长就行了．
解：
（
1
）
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AC
垂直平分
BD
< br>，
∴
PB=PD
，
由题意易得：
PB+P
E=PD+PE=DE
，
在
△
ADE
中，根据勾股定理得，
DE=
（
2
）作
A
关于
OB
的对称点
A′
，连接
A′C
，交
OB
于
P
，
PA+PC
的最小值即为
A′C
的长，
∵
∠
AOC=60°
∴
∠
A′OC=120°
作
OD
⊥
A′C
于
D
，则
∠
A′OD=60°
∵
OA′=OA=2
∴
A′D=
∴
（
3
）分别作点
P
关于
OA
、
OB
的对称点
M
、
< br>N
，连接
OM
、
ON
、
MN
，
MN
交
OA
、
OB
于点
Q
、
R
，
连接
PR
、
PQ
，此时
△
PQR
周长的最小值等于
MN
．
由轴对称性质可得，
OM=ON
=OP=10
，
∠
MOA=
∠
POA
，
∠
NOB=
∠
POB
，
∴
∠
MON=2
∠
AOB=2×45°
=90°
，
在
Rt
△
MON
中，
MN=<
/p>
即
△
PQR
周长
的最小值等于
10
=
．
=10
．
；
；
解答：
点评：
此
题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三
< br>角形的有关知识．
6
．
（
2006•<
/p>
湖州）如图，已知平面直角坐标系，
A
、
B
两点的坐标分别为
A
（
2
，﹣
3
< br>）
，
B
（
4
，﹣
1
）
．
（
1
）若
P
（
p
，
0
）是
x
轴上的一
个动点，则当
p=
时，
△
PAB
的周长最短；<
/p>
（
2
）若
C
（
a
，
0
）
，
D
（
a+3
，
0
）是
x
轴上的两个动点，则当
a=
时，四边形
ABDC
的周长最短；
（<
/p>
3
）设
M
，
N
分别为
x
轴和<
/p>
y
轴上的动点，请问：是否存在这样的点
M
（
m
，
0<
/p>
）
、
N
（
0
，
n
）
，使四边形
ABMN
的
周
长最短？若存在，请求出
m=
，
n=
﹣
（不必写解答过程）
；若不存在，请说明理由．
14
/
32
考点：
专题：
分析：
轴对称
-
最短路线问题；坐标与图形性质．
3113559
压轴题．
（
1
）根据题意，设出并找到
B
（
4
，﹣
1
）关于
x
轴的对称点是
B'
，其坐标为（
4
，
1
）
，进而可得直
线
AB'
的解析式，进而可得答案；
（
2
）过
A
点作
AE
⊥
x
轴于点
E
，且延长
AE
，取<
/p>
A'E=AE
．做点
F
< br>（
1
，﹣
1
）
，连接
A'F
．利用两点间
的线段最短，可知四边形
ABDC
的周长最
短等于
A'F+CD+AB
，从而确定
C
点的坐标值．
（
< br>3
）根据对称轴的性质，可得存在使四边形
ABMN
周长最短的点
M
、
N
，当且仅当
m=
，
< br>n=
﹣
；
时成立．
解：
（
1
）设点
B
（
4
，﹣
1
）关于
x
轴的对称点是
B'
，其坐标为（
4
，
1
）
，
设直线
AB'
的解析式为
y=kx+b
，
解答：
把
A
（
2
，﹣
3<
/p>
）
，
B'
（
4
，
1
）代入得：
，
解得
∴<
/p>
y=2x
﹣
7
，
，
令
y=0
得
x=
，<
/p>
即
p=
．
（
2
）过<
/p>
A
点作
AE
⊥<
/p>
x
轴于点
E
，且
延长
AE
，取
A'E=AE
．做点
F
（
1
，﹣
1
）
，连接
A'F
．那么
A'
（<
/p>
2
，
3
）
．
直线
A'F
的解析式为
∵
C
点
的坐标为（
a
，
0
）
，且在直线
A'F
上，
，即
y=4x
﹣
5
，
∴
a=
．
（
3
）存在
使四边形
ABMN
周长最短的点
M
、
N
，
作
A
关于
y
轴的对称点
A′
，
作
B
关于
x
轴的对称
点
B′
，
连接
A′B′
，
与
x
轴、
y
轴的交点即为点
M
、
N
，
∴
A′
（﹣
2
，﹣
3
）
，
< br>B′
（
4
，
1
）
，
∴
直线
A′B′
的解析式为：
y=
x
﹣
，
∴
M
（
，
0
）
，
N
（
0
，﹣
）
．
15
/
32
m=
，
n=
﹣
．
点评：
考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标
求直线解析式，运用解析式求直线与
坐标轴的交点等知识．
<
/p>
7
．
（
2007
•
庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到
A<
/p>
，
B
两个城市的距离之和最小，请作出机
场的
位置．
考点：
专题：
分析：
解答：
轴对称
-
最短路线问题．
3113559
作图题．
利用轴对称图形的性质可作
点
A
关于公路的对称点
A′
，连接
A′B
，与公路的交点就是点
P
的位置．
解：点
P
就是飞机场所在的位置．
（
5
分）
点评：
本题主要是利用轴对称图形来
求最短的距离．用到的知识：两点之间线段最短．
8
．
（
2006
•
贵港）如图所示，在一笔直的公
路
MN
的同一旁有两个新开发区
A
，
B
，已知
AB=
10
千米，直线
AB
与公
路
MN
的夹角
∠
AON=30°
，新开发区
B
到公路
MN
的距离
BC=3
千米．
（
1
）新开发区
A
到公路
MN
的距离为
8
；
（
2
）现要在
MN
上某点
P
处向新开发区
A
，
B
修两条公路
PA
，
PB
，使点
P
到新开发区
A
，<
/p>
B
的距离之和最短．此时
PA+PB=<
/p>
14
（千米）
．
16
/
32