由递推公式求通项公式的方法
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由递推公式求通项公式的方法
已知数列的递推公式，
求取其通项公式是数列中一类常见的题型，
这类题型如果单纯的
看某一个具体的题目，
它的求
解方法灵活是灵活多变的，
构造的技巧性也很强，
但是此类题<
/p>
目也有很强的规律性，
存在着解决问题的通法，
< br>本文就高中数学中常见的几类题型从解决通
法上做一总结，方便于学生学习和老师
的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。
一、
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型数列，
（其中
f
(
n
)
不是常值函数
)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形
为
a
n
1<
/p>
a
n
f
(
n
)
，
从而就有
a
2
a
1
f
(1),
a
3
a
2
f
(2),
,
a
n
< br>a
n
1
f
(
n
1).
将上述
n
1
个式子累加，变成
a
n
a
1
f
(1)
f
(2)
f
(
n
1)
，进而求解。
例
1.
在数
列
{
a
n
}<
/p>
中
,
a
1
2,
a
n
1
a
n
2
n
< br>
1
,
求
a
n
.
解：
依题意有
a
2
a
1
1
,
a
3
a
2
3
,
,
a
n
< br>a
n
1
2
n
3
逐项累加有
a
n
a
1
1
3
2
n
3
而
a
n
n
< br>2
2
n
3
。
注
：在运用累加法时
,
要特别注意项数
,
计算时项数容易出错
.
变式练习：<
/p>
已知
{
a
n
}
满足
a
1
1
,
a
n
1
a
n
(1
< br>
2
n
3)(
n
1)
(
n
1)
2
n
2
2
n
1
，
从
2
1
,
求
{
a
n
}
的通项公式。
n
(
n
1
)
二、
a
n
1
< br>
a
n
f
(
n
)
型
数列，
（其中
f
(
n
)
不是常值函数
)
此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为
a
n
1
f
(
n
)
，
从而就有
a
n
a
a
a
2
f
(1),
3
f
(2),
,
n
f
(
n
1)
a
1
a
2
a
n
1
将上述
n
1
个式子累乘，变成
a
n
f
(1)
f
(2)
f
(
n<
/p>
1)
，进而求解。
a
1
例
2.
已知数列
{
a
n
}
中
a
1
1
2<
/p>
n
3
,
a
n
a
n
1
(
n
2)
< br>，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
3
2
n
1
解：
当
n
2
时，
a
a
< br>2
1
a
3
3
a
4
5
2
n
3
,
,
,
,
n
,
将这
n
1
个式子累乘，得到
a
1
5
a
2
7
a
3
9
a
n
1
< br>2
n
1
a
n
1
3
1
1
1
3
，从而
a
n
，当
n
1
时，
2
(2
n
1)(2
n
1)
3
4
n
1
a
1
(2
n
1)(2
n
1)
1
1
1
< br>a
a
，所以
< br>。
1
n
2
2
4
n
1
3
4
n
1
注：在运用累乘法时
< br>,
还是要特别注意项数
,
计算时
项数容易出错
.
变式练习：
在数列<
/p>
{
a
n
}
中
,
a
n
>0,
a
1
2,
na
n
2
(
n
1)
a
n
1
2
a
n
1
a
n
,
求
a
n<
/p>
.
提
示
：
依
题
意
分
解
因
式
可
得
[(
n
1)
a
n
< br>1
na
n
](
a
n
1
a
n
)
0
，
而
a
n
>0,
所
以
，即
(
n
1)
a
n
1
na
n
0
a
n
1
n
。
a
n
n
1
三、
a
n
1
pa
n
q
型数列
此类数列
解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求
解，构造的办
法有两种，一是待定系数法构造，设
a
n
1
m
p
(
a
n
m
)
，展开整理
a
n
1
pa
n
pm
m
，比较系数
有
pm
m
b
，所以
m
b
，所以
a
b
是等比
n
p
1
p
1
数列，公比为
p
，首项为
a
1
b
。二是用作差法直接构造，
a
n<
/p>
1
pa
n
q
,
p
1
a
n
pa
n
1
q
< br>，两式相减有
a
n
1
a
n
p
(
a
n
a
n
1
)
，所以
a
n
1
<
/p>
a
n
是公比为
p
的等比数
列。
例
3.
在数列
{
a
n
}
中
，
a
1
1<
/p>
，当
n
2
时，有
a
n
3
a
n
1
2
，求
{
a
n
}
的通项公式。
解法
1
：
设
a
n
m
3(
a
n
1
< br>
m
)
，即有
< br>a
n
3
a
n
1
2
m
对比<
/p>
a
n
3
a
n
1
2
，得
m
1
，于是得
a
n
1
3(
a
n
< br>1
1)
，即
< br>a
n
1
3
a
n
1
1
所以数列
{
a
n<
/p>
1
}
是以
a
1
1
2
为首项，以
3
为公比的等比数列
则
a
n
2
3
n
1<
/p>
1
。
解法
2
：
由已知递推
式，得
a
n
1
3
a
n<
/p>
2,
a
n
3
a
n
1
2,(
n
2)
，
上述两式相减，得
a
n
1
a<
/p>
n
3(
a
n
a
n
1
)
，即
a
n
1
a
n
3
a
n
a
n
1<
/p>
因此，数列
{
a
n
1
a<
/p>
n
}
是以
a
2
a
1
4
为首项，以
3
为公比的等比数列。
所以
a
n
1
a
n
4
3
n
<
/p>
1
，即
3
a
n
2
a
n
4
3
n
< br>1
，
所以
a
n
2
3
n
1<
/p>
1
。
变式练习：
已知数列
a
n
满足
a
1
1
,<
/p>
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
).
求数列
a
n
的通项公式
.
*
注：根据题设特征恰当地构造辅助数列
,
利用基本数列可简捷地求出通项公式
.