作差法
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作差法
蚄羈膁蒃薆羆莁
1
< br>袆薂节肇聿袂袃
衿膁芃袈聿螂膅
内容概述
作差法常指作差比较法，它是一种常用的比较两个数（式）大小的方
法，其理论基础是
a
>
b
a
－
b<
/p>
>0
，
a
<
b
a
－
b
<0
，
a
=
b
a
－
b
=0
，其步骤是：
（
1
）作差；
（
2
）变形；
（
3<
/p>
）定号，得出结论
.
其中变形是关键，
变形的目的是
为了判断差值的符号。这里面蕴含着化归与转化思想，
芄螄螇蕿袄蚆罿
但是其实作差法还是一种常见的消元方法
，比如初中学过的解二元一
次方程组就常用作差法进行消元。
而
在数列问题中我们也常常用到作差法，
当我
们遇到与前
n
项和有关问题时，
可以将和式少写或者多写<
/p>
1
项，
再将二者整体相
< br>减，
只剩下第
n
项或
n
+1
项，
这样就得到相
应的递推关系式，
从而问题转化为已
知递推关系求数列通项问题
,
这就是我们熟悉的和通公式。
2
大小
<
/p>
解：
(
x
²
+
y
²
+1)
-
2(
x
+
y
-
1)=(
x
²
-
2
x
+1)+(
y
²
-
2
y
+1)+1=(
x
-
1)
²
+(
y
-
1)
²
+1
≥
1
＞
0
薃莅蚈螂肄芆薇
所以
(
x
²
+
y
<
/p>
²
+1)
-
2(
x
+
y
-
1)
＞
0<
/p>
袅蒇罿羃螇螀芈
即
x
²
+
y
<
/p>
²
+1
＞
2(<
/p>
x
+
y
-
1)
蚀葿
螁羄薈蝿莂
评析：在利用作差法比较两个数（式）的大小时，关键是将作差后的式子转化
成能应用已知条件判断符号的因式
.
转化的方法一般为因式分解法和配方法
.
转化的结果常
常为：①常数；②常数和几个平方和的形式；③几个因式的积
.
肂蚅袄蝿芁羁螆
羀
羄蒄蒇芀芁莆
芅衿肀蚃膆袈莀
螈薁薂蚇蚇螀膂
< br>例题示范
例
1
（人教
A
版必修
3 P75B
组第一题（
3
）
）比较大小<
/p>
(
x
²
+
y
²
+1)
与
2(
x
+
y
-
1)
的
例
2
（人教
A
版选修
1
-
1P99B<
/p>
组题改编）证明：
e
x
< br>
1+
x
螃羅芆螁莄袇蒈
解：
设
f
(
x
)=
e
x
-
(1+
x
),
则
f
(0)=0,<
/p>
且
f
'(
x<
/p>
)=
e
x
-
1
蒆荿膁膂肄莇蒁
当
x
＞
0
时
，
f
'(
x
)
＞
0
，
f<
/p>
(
x
)
在区间<
/p>
[0,
＋∞
)
上
单调递增
.
芇蚂肁薄膆羂蚂
当
x
＜
0
时，
f
'(
x
)
＜
0,
从而
f
(
x
)
在区间（－∞
,0]
上单调递减，
罿膄肅荿膈螄袇
所以
f
(
x
)
＞
f
(0)=0,
即
f
(
x
)=
e
x
-
(1+
x
)
0
，即
e
x
1+
x
评析：证明函数不等
式通常要把不等式恒成立问题，通过构造差函数，转化为
利用导数求函数最值或值域问题
．
肃蒆膇虿蚃膃肆
羇肆膀蒂蚄艿莀<
/p>
例
3
：
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S<
/p>
n
，
a
1
=1
，
a
n
0
，
a
n
a
n
< br>1
S
n
1
，其
中
为常数
.
证明：
a
n
2
a
n
<
/p>
；
腿蚁薅肅
肈袀袁
解：
由题设，
a
n
a
n
1
S
n
1,
a
n
1
a
n
2
S
n
1
1
两式相减得
a
n
1
(
a
n
< br>2
a
n
)
a
n
1
，而
a<
/p>
n
1
0
，
a
n
2
a
n
膁蒃薆羆莁肄芃
节肇聿袂袃蚄羈
评析：当题目的已知条件是
S
n
与
a
i
之间的递推关系时，宜采用作差法．该
方
（
）
法实质上是公式
a
n
S
n
S
n
的变形应用，但就是这种小小的变形，却使我们解
1
n
1