圆锥体体积公式的证明
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圆锥体体积公式的证明
证明需要几个步骤来解决：
1)
圆柱体的微分单元是三棱柱
,
而圆锥体的微分单元是三棱锥。
所以
,
只
要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的
1/3
，即
可知题目所求正确。
2
）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：
(
上图中
,
第二个
“
等底等高
”
的
“
高
”
是横着的，而
“
底
< br>”
是竖着的。
)
现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自
的体积都是图中三棱柱的体积的
1/3.
证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。
3
）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个
原理：
祖暅原理。
注释：祖暅原理
祖暅
原理
也就是“等积原理”。它
是由我国南北朝杰出的数学家
、
祖冲之
(429-500)
< br>的儿子祖
暅
(gèng)首先
提
出来的。
祖暅原理
的内容是：夹在两个平行平
面间
的两个几何体，被平行于这两个
平行平面的任何平
面所截，如果
截得两个截面的面积总相等，那
么
这两个几何体的体积相等。
<
/p>
在西方，直
到
17
世纪，才由意
大利数学家卡瓦列里（
Cavalieri.B
,1589-1647)
发现。
于
16
35
年
出版的《连续
不可分几何》中，
提出了等积原
理，所以西方人把它称之为
“卡
< br>瓦列里原理”。其
实，他的发现
要比我国的祖暅晚
1100
多年。
祖暅原理
的思想
我们都知
道“点动成线，线动成面，面动
成体”这句话，直线由点构成，
点的多少表示直线
的长短；面由
线构成，也就是由点构成，点的
多少表示面积的大小；几何体由
面构成，就是由线
构成，最终也
就是由点构成，点的多少也表示
了体积
的大小，要想让两个几何
体的体积相等，也
就是让构成这
两个几何体的点的数量相同，祖
暅原理就运用到了它。
两个几何
体夹在两平行平面中间，可以理
解为这两个几何体平行面间的的
高度相等。两平行
面之间的距离
一定，若视距离为
一条线段，那
么这个距离上就有无数个点，过
一个点，可以画出
一个平行于两
平行面的截面，若两几何体在被
< br>过每一点的平行截面截出的截面
面积两两相等，则
说明两
几何体
在同一高度下的每两个截面上的
点的数量相同。有无数个
截面，
同一高度每两个几
何体的截面上
的点的数量相同，则说明，这两
个几何
体所拥有的点数量相同，
那么也就是说，它
们的体积相同
。所以
我们可以用这种思想来理
解祖暅原理。
这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个
立体的
体积就相等。
所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的
截面（三
角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：
等底等高的三棱锥，体积都相等：
三棱柱
的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：