二项分布与超几何分布的区别
火星500-
专题
:
超几何分布与二项分布
[
知识点
]
关键是判断超几何分布与二项分布
判断一个随机变量是否服从超几何分布
,
关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征
:
一个总体
(
共有
N
个
)
内含有两种不同的事物
A
(
M
个
)
、
B
(
N<
/p>
M
个
)
,
任取
n
个
,
其中恰有
X
个
A
.
符合该条件的即
k
n
k
C<
/p>
M
C
N
M
可断定是超几何分布
,
按照超几何分布的分布列
P
(
X<
/p>
k
)
（
k
0,1,2,
,
m
）
进行处理就可以了
.
n
< br>C
N
二项分布必须同时满足以下两个条件
:
①在一次试验中试验结果只有
A
与
A
这两个
,
且事件
A
发生的
概率为
p
,
事件
A
发生的概率为
1
p
；②试验可以独立重复地进行
,
即每次重复做
一次试验
,
事件
A
发生的
概率都是同一常数
p
,
事件
A
发生的概率为
1
p
.
1
、
(2011
•
北京海淀一模
)
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，
每一件一等品都能通过检测，
每一件
二
等品通过检测的概率为
2
.
现有
10
件产品，其中
6
件是一等品，
4
件是二等品
.
3
(
Ⅰ
) <
/p>
随机选取
1
件产品，求能够通过检测的概
率；
(
Ⅱ
)
随机选取
3
件产品，其中一等品的件数
记为
X
，求
X
的分布列；
(
Ⅲ
)
随机
选取
3
件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率
.
【解析】
（Ⅰ）设随
机选取一件产品，能够通过检测的事件为
A
„„„„„„„„„„
1
分
事件
A
等于事件
< br>
“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”
„„„„„
2
分
6
4
2
1
3
„„„„„„„„„„
4
分
10
10
3
15
(
Ⅱ
)
由题可知
X
可能取值为
0
,1,2,3.
3
0
2
1
C
4
C
6
C
4
C
1
3
P
(
X
0)
3
,
P
(
X
1)
<
/p>
3
6
,
C
10
30
C
10
10
p
(
A
)
1
2
0
3
C
4
C
6
1
< br>C
4
C
1
P
(
X
2
)
3
,<
/p>
P
(
X
3)
3
6
.
„„„„„„
8
分
C
10
2
C
10
6
故
X
的分布列为
0
1
2
3
X
„„„„„
9
分
1
3
1
1
P
30
10
2
6
(
Ⅲ
)
设随机选取
3
件产品都不能通过检测的事件为
B
„„„„„
10
分
事件
B
等于事件“随机选取
3
件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，
P
(
B
)
1
1
3
1
(
)
.
„„„„„
13
分
30
3
810
< br>2
、
(2011
•
深圳一模
)
第
26
届世界大学生夏季运动会将于
2011
年
8
月
12
日到
23
日在深圳举行
,
为了搞好
接待工作，组委会在某学院招募了
12
名男志愿者和
18
名女志愿者。将这
< br>30
名志愿者的身高编成如右
所示的茎叶图（单位
:cm
）
：若身高在
175cm
以上（包括
175cm
）定
义为
“高个子”
，身高在
175cm
以下（不包括
175cm
）定义为“非高个子”
,
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”
.
< br>（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取
5
人
,
再从这
5
人中选
2
人，那么至少有一人是“高个子”的概
率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选
< br>3
名志愿者，用
表示所选志愿
者中能担
任“礼仪小姐”的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望<
/p>
.
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图，有“高
个子”
12
人，
“非高个子”
18
人，„„„„
1
分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
< br>5
1
，
„„„„„„
2
分
30
6
1
1
所以选中的“高个子”有
12
2
人，
“非高个子”有
18
3
人．„„„„
3
分
6
6
第
1
页
共
8
页
用事件
A
表示
“至少有一名
< br>“高个子”
被选中”
，
则它的对
立事件
A
表示
“没有一名
“高个子”
被选中”
，
<
/p>
2
3
7
7
C
3
则
P
(
A
)
1
2
1
．„„
5
分
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
．„
6
分
10
10
10
C
5
（Ⅱ）依题意，
的取值为
0,1,
2,
3
．
„„„„„„
7
分
3
2
C
8
C
1<
/p>
14
28
4
C<
/p>
8
P
(
0
)
3
，
P
(
1
)
，
3
C
12<
/p>
55
C
12
55
1
C
2
12<
/p>
C
3
1
4
C
8
4
P
(
2
)
，
．
„„„„„„„
9
分
< br>
P
(
3
)
3
3
C
12
55
C
12<
/p>
55
因此，
的分布列如下：
3
0
1
2
14
28
12
1
p
55
55
55
55
„„
10
分
E
0
14
28
12
1
1
2
3
1
．
„
„„„
12
分
55
55
5
5
55
3
、
(
2011
•
广州二模
)
某地区对
12
岁儿童瞬时记忆能力进行调查
,
瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记
忆能力
.
某班学生共有
40
< br>人
,
下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果
.
例如表中听觉记忆能力为中等
,
且视觉记忆能力偏高的学生为
3
人
.
视觉
视觉记忆能力
偏低
中等
偏高
超常
听觉
偏低
0
7
5
1
听觉
b
中等
1
8
3
记忆
a
偏高
2
0
1
能力
超常
0
2
1
1
由于部分数据丢失，只知道从
这
40
位学生中随机抽取一个
,
视觉记忆能力恰为中等
,
且听觉记忆能力为<
/p>
中等或中等以上的概率为
2
.
5
（Ⅰ）试确定
a
、<
/p>
b
的值；
（Ⅱ
）从
40
人中任意抽取
3
人
,
设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常
的学生人数为
,
求随
机变量
的分布列
.
【解析】
（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆
能力为中等或中等以上的学生共有
(10
a
)
人
.
记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件
A
，
10
a
2
，解得
a
6
，从而
b
40
< br>(32
a
)
< br>
40
38
< br>
2
.
40
< br>5
3
（Ⅱ）由于从
40
位学生中任意抽取
3
位的结果数为
C
40
,
其中具有听觉记忆
能力或视觉记忆能力偏高或
则
P
(
A
)
超常的学生
共
24
人
,
从
40
位学生中任意抽取
3
位
,
其中恰有
k
位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏
k
3
k
高或超常的结果数为
C
24
，所以从
40
位学生中任意抽取
3
位
,<
/p>
其中恰有
k
位具有听觉记忆能力或视
C
16
k
3
k
C
24
C
16
(
k
0,1,2,3)
.
的可能取值为
0
、
1
、
2
、
3.
觉记忆能力偏高或超常的概率为
P
(
k
)
3
C
40<
/p>
0
3
1
2
2
1
3
0
C
24
C
16
C
24
C
16
C
24
C
16
C
24
C
16
14
72
552
253<
/p>
P
(
1)
P
(
2)
P
(
3)
< br>
因为
P
(
0)
,
,
,
，
3
3
3
3
C
40
247
C<
/p>
40
247
C
4
0
1235
C
40
1235
所以
的分布列为
0
1
2
3
14
72
552
253
P
247
2
47
1235
1235
4
、
(2011
•
北京朝阳一
模
)
在某校教师趣味投篮比赛中
,
比赛规则是
:
每场投
6
个球，至少投进
4
个球且最
第
2
页
共
8
页
<
/p>
后
2
个球都投进者获奖；否则不获奖
.
已知教师甲投进每个球的概率都是
2
．
3
（Ⅰ）记教师甲在每场的
6
次投球中投进球的个
数为
X
，求
X
的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
< br>（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，
6
个球中恰好投进了<
/p>
4
个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师
乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
【解析】
（Ⅰ）
X
的所有可能取值为
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
< br>5
，
6
.
依条件可知
X
~
< br>B
(6
，
2
).
3
2
P
(
X
k
)
C
3
< br>
k
6
k
1
3
0
6
k
(
k
0,
1,
2,
3,
4,
5,
6
)
1
2
3
4
5
6
所以
X
的分布列为：
X
P
192
64
729
729
1
2916
(0
1
< br>
1
12
2
60
3
160
4
240
5
192
6
64)
=
4
.
所以
EX
7
29
729
2
2
或因为
X
~
B
(6
，
)
，所以
EX
6
4
.
即
X
的数学期望为
4
．
< br>
3
3
1
2
2
4
1
2
5
2
6
32<
/p>
2
1
.
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件
A
，
则
P
(
A
)<
/p>
C
4
(
)
(
)
C
4
(
)
(
)
3
3
3
3
3<
/p>
81
32
.
<
/p>
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为
81
2
4
2
A
4
A
4
2
C
4
2
（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事
件
B
，则
P
(
B
)
.(<
/p>
此处为
会更好
!
因为样本空
6
4
A
6
5
C
6
5
2
间基
于
:
已知
6
个
球中恰好投进了
4
个球
)
即教师乙在这场比赛中获奖的概率为
.
5
2
32
32
显然
，所以教师乙在
这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．
5
80
81
5
、
(2011
•
北京石景山一模<
/p>
)
为增强市民的节能环保意识，
某市面向
全市征召义务宣传志愿者
.
从符合条件的
500
名志愿者中随机抽样
100
名
志愿者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①
、②
位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）
，再根据频
率分布直方图估计这
500
名志愿者中年龄在
[30
，）
35
岁的人数；
（Ⅱ
）在抽出的
100
名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取
20
人参加中心广场的宣传活动，从这
20
人中选取
2
名志愿者担任主要负责人，
记这
2
名志愿者中“年龄低于
30
岁”的人数为
X
，求
X
的分布列
及数学期望．
频率
分组
组距
频数
频率
（单位：岁）
20,25
5
0
.
050
25,
30
0
.
200
①
30,35
35
②
35,
40
30
0
.
300
40,
45
10
0
.
100
20
25
30
35
40
45
年龄
岁
100
1
.
00
合计<
/p>
0
.
35
；
【解
析】
（Ⅰ）
①处填
20
，②处填
第
3
页
共
8
页
1
729
12
729
60
729
160
729
240
729
的人数为
0.35
< br>
500
175
人．„
6
分
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取
20
人
,
则其中“年龄低于
30
岁”的有
5
人，<
/p>
“年龄不低于
30
岁”的有
15
人．
„„„„
7
分
故
X
的可能取值为
0
，
1
，
2
；
2<
/p>
C
15
21
P<
/p>
(
X
0)
2
，
C
20
38
1
1
2
C
15
C
5
15
C
5
2
分
< br>
P
(
X
1)
2
，
P
(<
/p>
X
2)
2
，„„
11<
/p>
20
25
30
35
40
45
年龄
岁
<
/p>
C
20
38
C<
/p>
20
38
所以
X
的分布列为：
0
X
1
2
21
15
2
P
38<
/p>
38
38
21
1
5
2
1
1<
/p>
2
．
„„„„
13
分
∴
EX<
/p>
0
38
38
38
2
补全频
率分布直方图如图所示
.
500
名志
愿者中年龄在
30
,
35
< br>频率
组距
6
、
< br>(2011
•
北京朝阳二模
)<
/p>
为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，
要求产品在
进入市场前必
须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售
.
已知某产品第一轮检测不合格
的概率为<
/p>
1
1
，第二轮检测不合格的概率为
，两轮检测是否合格相互没有影响
.
6
10
（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
<
/p>
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利
40
元；如果产品不能销售，则每件产品亏损
80
元（即获
利
-
80
元）
.
已知一箱中有产品
4
件，记一箱产品获利
X
元，求
X
的分布列，并求出均值
E
(
X
)
.
【解析】
（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件
A
，则
P
(
A
)
1
(1
)
(1
所以，该产品不能销售的概率为
1
6
1
1
< br>)
.
10
4
1
.
„„„„„„„„„„„„„„
4
分<
/p>
4
（Ⅱ）由已知，可知
X
的取值为
320,
200,
80,
40,160
.
„„„„„„„„„
5
分
1
1
1
3
3
3<
/p>
1
P
(
X
320)
(
)
4
，
P
(
X
200)
C
4
(
)
，
4
256
4
4
64
1
3
27
3
3
27
2
< br>3
1
P
(
X
80)
C
4
(
)
2
(
)
2
，
P
(
X
40)
C
4
(
)
< br>
，
4
4
128
4
4
64
3
81
P
(
X
160)
(
)
4
.
„„„„„„„„„„„
„„„
10
分
4
256
所以
X
的分布列为
X
P
-
320
-
200
-
80
40
160
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
„„„„„„„„„„„„„„
11
分
E
(
X
)
320
1
1
27
27
81
40
，
故均值
E
(
X
)
为
40
.
„„
12
分
200
80
40
160
256
64
128
64
256
7
、
(2011
•
北京丰台二模
)
张先生家住
H
小区，他在
C
科技园区工作，从家开车到公
司上班有
L
1
，
L
2
两条
路线（如图）
，
L
1
路线上有
A
1
，
A
2
，
A
3
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
1
；
L
2
路线上有
B
1
，
B
2
< br>2
第
4
页
共
8
页