(教材专用)质数,合数,分解质因数
魔法回廊-
数论
(
四
)
质数、合数、分解质因数
【专题知识点概述】
一、质数与合数的概念
1.
质数：
一个数除了
1
和
它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做
素数
2.
合数：
一个数除了
1
和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数
3.
质因数：
如果一个质数是某个数的
约数，那么就说这个质数是这个数的质因数
二、质数和合数的一些性质和常用结论
1. 0
和
1
既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，
即，
0
和
1
，质数，合数。
2.
最小的质数是
2
，最小的合数是
4
。
3.
常用的
100
< br>以内的质数：
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
，
23
，
29
，
31
，
37
，
41
，
43
，
47
，
53
，
59
，
61
，
67
，
71
，
73
，
79
，
83
，
89
，
97
其中
2
是唯一的偶数，
5
是唯一个位上数字是
5
的数，其
余的数字个位只为
1
，
3
，
7
，
9
4.
部分特殊数的分解：
111
3
37
1001
7
11
13
11111
41
271
< br>10001
73
137
1995
3
5
<
/p>
7
19
1998
2
3
3
<
/p>
3
37
2007
3
3
223
2008
2
2
2
<
/p>
251
2007
< br>
2008
4015
5
11
73
10101
3
7
13
37
5.
唯一分解定理：
任何一个大于
1
的自然数
n
都可以唯一分解成几个质数乘积的形式，
并且分解
的形式是唯一的。
【典型例题】
例
1
、两个质数的和是
49
，这两个
质数的积是多少？
解：因为两个质数的和
49
是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有
2
是质数，于是另一个质数是
49
－
2=47
，从而得到它们的积是
< br>2
×
47=94
。
例
2
、有三张卡片，上面
分别写着
2
、
3
、
4
三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺<
/p>
序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。
解：
由于
2+3+4=9<
/p>
是
3
的倍数，
所
以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数，
末尾数字不能是
2
和
4
，只能排
3.
所以用
2
、
3
、
4
三个数字排出两位质数有
23
和
43.
取一张卡片排
出的质数有
2
和
3.
所以最后排出的质数有
2
、
3
、
23
、
43
这四个。<
/p>
例
3
、
360
这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？
解：
360=2
×
2
×
2
×
3
×
3
×
< br>5=2
3
×
3
< br>2
×
5
，所以
< br>360
有（
3+1
）×（
2+1
）×（
1+1
）
=24
个因数。
< br>因数的和是：
（
1+2+2
2<
/p>
+2
3
）×（
1
+3+3
2
）×（
1+5
）
=1170
例
4
、筐里共有
96
个苹果，如果不一次全拿出，
也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿
完时，又正好不多不少，有多少种不同
的拿法？
解：每次拿的个数都是
96
的因数（除
96
和
1
之外）
，这样问题转化为求
96
的因数个数，将
96
分解
质因数，得
96=2
×
2<
/p>
×
2
×
2
×
2
×
3
，除去
96
和
1
之外，
96
的因数有
1
0
个：
2
、
3
、
4
、
6
、
8
、
12
、
16
、
24
、
32
、
48.
有
10
种不同拿法。
【精英班】例
5
、
504
乘一个自然数
a
，得到
一个平方数，求
a
的最小值和这个平方数。
解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。
5
04=2
3
×
3
2
×
7=2
2
×
3
2
×（
2
×
7
）
，还
少（
2
×
7
）
，使得
504
×
a
是个平方数，所以所求的
a
的最小
值是
2
×
7=14
；这个平方数是
504
×
14=7
056
。
【竞赛班】例
6
、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明
理由。
14
，
33
，
35
，
30
，
75
，
39
，
143
，
169.
解：
14=2
×
7
，
33=3
×
11
，
35=5
×
7
，
30=2
×
3
×
5
，<
/p>
75=3
×
5
×
5
，
39=3
×
13
，
143=11
×
13
，
169=13
×
13.
这八个数分解质因数后共有质因数<
/p>
18
个（包括相同的）
，其中：质因数<
/p>
2
有两个，质因数
3
有
4
个，质因数
5
有
4
个，质因数
7
有
2
个，质因数
11
有
2
个，质因数
1
3
有
4
个。相同的质因数应该
平均分摊在两个乘积里，因此可以分为：
（<
/p>
1
）
（
14
，
75
，
33
，
169
）和（
3
0
，
35
，
3
9
，
143
）
或（
2
）
（<
/p>
14
，
75
，<
/p>
39
，
143
）
和（
30
，
35
，
33
，
169
）
.
【课后分层练习】