管理学中的数学方法
引起糖尿病的原因-
引论：数学规划（
Mathematical
Programming
）简介
数学规划
研究的是在变量（决策变量
decision
variables
）
x
1
,
x
2
,
,
x
n
满足一些等式和不等式限制的条件下，求函数
f
(
x
1
,
x
2
,
< br>
,
x
n
)
（也可为多个，称为
目标函数
ob
jective function
）
的最大值（或最小值）的问题，其中约束条件往往用
约束函数
（
constraint
function
）
g
i
(
x
1
< br>,
x
2
,
,
x
n
)
…
0
，
i
1,2,...,
m
h
j
(
x
1
,
x
2<
/p>
,
,
x
n
)
0
，
j
1,2,...,
k
来表示。有时也可写成集合约束的形式，令
< br>R
{
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
g
i
(
x
1
,
x
2
,
< br>,
x
n
)
…
0,
i
1,
2,...,
m
;
h
j
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n<
/p>
)
0,
j
1,
2,...,
k
}
，
称
R
为
可行集
或
可行域
（
feasible regi
on
）
，
R
中
的点称为
该数学规划的
可行点
或
可行解
（
feas
ible solution
）
.
上述数学规划常被记为
min
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
or
max
< br>f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
(
P
)
g
i
(
x
1
,
x
< br>2
,
,
x
n
)
…
0
,
i
1,
2
,...,
m
h
(
x
,
x
,
,
x<
/p>
)
0,
j
1,
2,...,
k
n
j
1
2
数学规划的分类：
可行域（决策变量
）
：无约束优化，约束优化
离散最优化，连续最优化，
整数规划，混合整数规划
函数（目标、约束）性质：线性规划，非线性规划，
二次规划（目标函数是二次函数，约束函数是线性函数）
单目标规划，多目标规划
其他：动态规划，随机优化，模糊优化
例
1.
投资问题
1
资金
10
亿，投资于
8
中证券，期望收益率分别为
r
i
,
i
1
,2,...,8
，
投资最低期望收
益率为
r
0
，证券收益率的协方差矩阵
为
A
，
由<
/p>
Markowitz
投资组合理论，投资组合（
< br>portfolio
）
x
(
x
1
,
x
2
,...,
x
8
)
T
的风险是
V
(
x
)
x
A
x
，于是，使该组合投资风险最小的数学规划模型为：
T
min
V
(
x
)
x
T
A
x<
/p>
r
1
x
1
r
8
x
8
…
10
r
< br>0
x
1
x
2
x
8
10
x
i
…
0,
i
1,
2,...,8
这是一个二次规划。
例
2.
投资问题
2
资金
10
亿，可建
8
个工厂，分别需投资
c
i
,<
/p>
i
1,2,...,8
，
投资时间内的收益分别为
a
i
,
i
<
/p>
1,2,...,8
，求最佳的投资方案。
0,
不投资
决策变量：
x
1
,...,
x
8
1
，
投资
< br>0
1
决策变量的处理方法：转
为整数，
加入约束条件
x
i
(
x
i
1)
0,
i
1
,2,...,8
约束条件：
c
1
x
1
c
8
x
8
„
10
目标函数：
(1)
max
<
/p>
a
x
总收益最大
i
i
i
1
8
8
8
(2)
max
a
i
x
i
c
i
x
i
总利润最大
i
1
i
1
8
a
x
i
i
i
1
< br>(
3
)
m
a
x
利润率最大
8
c
i
x
i
i
1
这是一个整数规划
例
3.
仓库选址
n
个市场，位置分别为
(
p
i
,
q
i
),
i
1
,2,...,
n
，
对某种指定
货物的需求量分别为
b
i
,
i
1,2,...,
n
现在要建
m
个仓库，第
j
个仓库可存储该指定货物
a
j
个单位，
j
1,2,...,
n
请确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程的乘积之和为最小。
决策变
量：
(
x
j
,
y
j
),
j<
/p>
1
,2,...,
m
，仓库的位置
z
ij
，仓库
j
到市场
i
的运输量，
i
<
/p>
1,...,
m
,
j
1,...,
n
目标函数：
z
j
1
i
1
< br>m
n
ji
d
ji
其中
d
ji
(
x
j
p
i
)
2
(
y
j
q
i
)
2
为仓库
j
到市场
i
的距离
约束条件：仓库容量
m
z
i
< br>
1
n
j
i
,
„
a
,
j
j
1,
2
,
...<
/p>
m
市场需求
z
j
1
j
i
,
=
b
,
i
i
< br>1,
2
,
...
n
运输量非负
z
ij
…
0
，
i
1,...,
< br>m
,
j
1,...,
n
m
n
min
z
ji
d
ji
j
< br>1
i
1
n
z
ji
„
a<
/p>
j
,
j
1,
2,...,
m
i
1
m
z
ji
=
b
i
,
i
1,
2,...,
n
j
1
z
…
0,
i
1,...,
m
,
j
1,...,
n
ij
(<
/p>
P
)
这是一个非线性规划。
数学规划的标准形式：
min
f
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
(
P
)
g
i
(
x
1
,
x
2
< br>,
,
x
n
)
…
0,
i
1,2,...,
n
min
f
(
x
)
x
< br>(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
T
g
i
(
x
)
…
0,
i
1,2,...,
n
定义：给定
(
P
)
，若
x
(
x
1<
/p>
,
,
x
n
)
T
R
使得对任意的
x
(
x
1
,
,
x
n
)
T
< br>R
有
f
(
x
)
…
f
(
x
)
，则称
x
为
(
P
)
的
最优解
（
optimal solut
ion
）
，
f
(
x
)
为
(<
/p>
P
)
的最优值，最优解集记为
R
.
*
第
1
章
无约束优化问题
一、数学基础
1.
n
维欧式空间
称分量为实数的全体
n
维列向量的集合
R
n
{
x
|
x
(
x
1
,
x
2
< br>,...,
x
n
)
T
,
x
j
< br>
R
,
j
1
,2,...,
n
}
为
n
< br>维欧式空间。
向量的坐标
令
e
1
(1
,0,0,
,0,0,0)
T
R
n
e
2
(0,1
,0,
,0,0,0)
T
R
n
e
n<
/p>
1
(0,0
,0,
,0,1
,0)
T
R
n
< br>
e
n
(0,0,0,
,0,0,
n
)
T
R
n
称
e
1
,
e
2
< br>,
,
e
n-1
,
e
n
为
R
中的
坐标系
，
坐标原点为
0
(0,0,0,
,0,0
,0)
R
.
由于
x
<
/p>
(
x
1
,
x
2
,...,
x<
/p>
n
)
T
n
T
n
x
e
j
j
1
n
j
，故可以将
R
中的向量
x
n
视为坐标系中的点，
x
j
为点
x
在坐标轴
e
j
上的
坐标
（
j
1,2,...,
n
）
，
这样，我们可以通过坐标定义
R
中的向量之间的运算。
向量的运算
设
R
，
x
(
x
1
,
x
2
,...,
x
n
)
T
R
n
，
y
(
y
1
,
y
2
< br>,...,
y
n
)
T
R
n
< br>，定义
（
1
）向量加法：
n
x
y
<
/p>
(
x
1
y
1
,
x
2
y
2
,
,
x
n
y
n
)
T
R
n<
/p>
（
2
）向量减
法：令
y
(
y
1
,<
/p>
y
2
,
y
n
)
R
，则
T
n
x
< br>
y
x
(
y
)
(
x
1
y
1
,
x
2
y
2
,
,
< br>x
n
y
n
)
T
R
n
（
3
）数与向量的乘积：
运算性质：
x
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
T
R
n
< br>
（
4
）向量的乘法（内积）<
/p>
：
n
x
y
x
j
y
j
R
T
j
1
（
1
）加法结合律：
(
x
y
)
z
x
(
y
z
)<
/p>
（
2
）加法交
换律：
x
y
y
x
<
/p>
（
3
）乘法（内积）交换律：
x
T
y
y
T
x
（
4
）乘法分配率：
x
T
(
y
z
)
x
T
y
x
T
z
向量的长度
称
||
x
||
x
x
T
x
j
1
n
2
j
R
为
R
n
中向量
x
的
长度（模）
Cauchy-Schwarz
不等式：若
x
,
y
R
n
，则
|
x
T
y
|
„
||
x
||
||
y
||
证明：考虑关于实变量
t
R
的一元二次函数
||
x
||
2
t
2
2(
x
T
y
)
t
||
y
||
2
t
< br>t
2
2
t
x
j
t
2
x
j
y
j
t
< br>
y
2
j
j
1
j
1
j
1
(
x
j
t
< br>y
j
)
2
…
0
j
1
n
故其判别式
(
2
x
y
)
4||
x
||<
/p>
||
y
||<
/p>
„
0
，
从而
(
x
y
)
„
||
x
||
||
y
||
，即
T
2
2
2
T
2
2
2
|
x
T
y
|
„
||
x
||
||
y
||
.
练习：利用
Cauchy-Schwarz
不等式证明三角形不等式：
||
x
y
||
„
||
x
||
||
y
||
提示：利用向量长度的定义与向量的运算性质。
向量的夹角
由
Cauchy-Schwarz
不等
式，若
x
,
y
R
,
x
<
/p>
0,
y
0
，
n
x
T
y
则
1
剟
||
x
||
||
y
||
1
，故可令
x
T
y
arccos
[0,
]
，
||
x
||
||
y
||
称
为向量
x
,
y
R
n
的
夹角
，则有
x
T
y
||
x
||
||
y
||
cos
.
x
T
y
0
cos
0
< br>
为锐角
x
< br>T
y
0
cos
0
2
，此时称向量
x
,
y
互相垂直
< br>x
T
y
0
cos
0
为
钝角
R
n
中点
x
0<
/p>
的
邻域
0
n
若
0
，称
N
(
x
0
)
{
x
|
||
x
x
0
||
}
为点
x
R
的
邻域
。
2.
多元函数的导数：梯度与海赛
（
Hesse
）矩阵
n
元实值函数
f
(
x
)
，
x
(
x
1
,...,
x
n
)
T
R
n
，
f
(
x
)
R
T
< br>f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
,
,
,
称向量
f
(
x
)
< br>
为
f
(
x
)
x
x
x
1
2
n
在
x
处的
梯度向量
（
gradient
）
，它可以被理解为多元函数
f
(
x
)
在
x
处的一阶导数。
2
f
(
x
)
x
2
1
2
f
(
x
)
< br>
称矩阵
< br>2
f
(
x
)
x
2
x
1
2
f
(
x
)
< br>x
x
n
1
2
f
(
x
)
2
f
(
x
)
x
1
x
< br>2
x
1
x
n
2
2
f
(
x
)
f
(
x
)
2
< br>
x
2
x
2
x
n
为
f
(
x
)
2
2
f
< br>(
x
)
f
(
x
)
2
x
n
x
2
x
n
在
x
处的
海赛矩阵
，它可以被理解为多元函数
f
(
x
)
在
x
处的二阶导数，
2
f
(
x
)
也常常被简记为
H
f
(
x
)
x
x
i
j
n
<
/p>
n
若
f
(
x
)
的每个分量函
数在
x
处都连续，则称
f
(
x
)
在
< br>x
处
一阶连续可微
。
2
若
f
(
x
)
的每个分量函数在
x
处都连续，则称
f
(
x
)
在
x
处
二阶连续可微
。
2
若
f
(
x
)
在<
/p>
x
处二阶连续可微，则
f
(
x
)
是对称阵。