小学数学思想方法的梳理
dnf染色剂-
小学数学思想方法的梳理（一）
王永春（课程教材研究所）
数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程
< br>度要高一些，
而数学方法的实践性更强一些。
人们实现数
学思想往往要靠一定的
数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。
因此，二者是
有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵
魂，
那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的
“
灵魂深处
”
。
《数学课程标准》在总体目标中明确提出：
“
学生能获得适应未来的社会
生活和进一步发展所必
需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应
用技能。
”
这一总体目标贯穿于小学和初中，这充分说明了数学思想方法的重要
< br>性。
在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数<
/p>
学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是
小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。
同时，
也能为初中数学思想方法的学
习打下较好的基础。在小学阶段，数学思想方法主要有符号
化思想、化归思想、
类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、
一一对应思
想、
模型思想、
数性结合思
想、
演绎推理思想、
变换思想、
统计与
概率思想等等。
为了使广大
小学数学教师在教学中能很好地渗透这些数学思想方法，笔
者把这些思想方法比较系统地
进行概括和梳理，
明晰这些思想方法的概念，
整理
它们在小学数学各个知识点中的应用，并就如何教学提出一些建议。
一、符号化思想
1
、符号化思想的概念。
数学符号是数学的语言，数学世界时一个符号化的世界
，数学作为人们
进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用：
因为数
学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数<
/p>
学的普及和发展；
国际通用的数学符号的使用，
< br>使数学成为国际化的语言。
符号
化思想是一般化的思想方
法，具有普遍的意义。
2
、如何理解符号化思想。
《数学课程标准》
比较重视培养
学生的符号意识，
并把符号意识作为数学
与代数的内容之一给出
了诠释。
那么，
在小学阶段，
如何理解
这一重要思想呢？
下面结合案例做简要解析。
第一、从具体情境中抽象出数学量关系和变化规律、从
特殊到一般的探
索和归纳过程。
如通过几组具体的两个数相加，
交换加数的位置和不变，
归纳出
加法交
换律，并用符号表示：
a+b=b+a
。再如在长方形上拼摆单
位面积的小正方
形，探索并归纳出长方形的面积公式，并有符号表示：
< br>S=ab
。这是一个符号化的
过程，同时也是一个模型化
的过程。
第二、理解并运用
符号表示数量关系和变化规律。这是一个从一般到特
殊、
从理论
到实践的过程。
包括用关系式、
表格和图像表示情境中数量间的
关系。
如假设一个正方形的边长是
a
，
那么
4a
就表示该正方形的周长，
a2
表示该正方
形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一
个解释和应用模型的过程。
第三、会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符
号表示出来，
但数学符号不是唯一的，
可以丰富多彩。
如
一辆汽车的行驶时速为
定值
80
千米，
那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既
可以用表格的形式表示，
也可以用公式
s=80t
表示，还可以用图象表示。即这些
1
符号是可以相互转换的。
<
/p>
第四、能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指定完
成符号化后的下一步工作，
就是进行数学的运算和推理。
能
够进行正确的运算和
推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。
3
、符号化思想的具体应用。
数学的发展经历了几千年，数学符号的规范和统一也是
经历了比较漫长
的过程。
如我们现在通用的算术中的十进制计数
符号数字
0~9
于公元
8
世纪在印
度产生，
经过了几百年才在全世界通用，<
/p>
从通用至今也不过几百年。
代数在早期
主
要是以文字为主的演算，直到
16
、
1
7
世纪韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家
逐步引进和完善了代数
的符号体系。
符号在小学数学中的应用如下表。
知识领域
知识点
具体应用
应用拓展
数
与
数的表示
阿拉伯数字：
0~9
代
数
中文数字：
—
、
+
百分号：
%
‰
负号：
—
用数轴表示数
数的运算
+
、
—
、
×
、<
/p>
÷
、
（）
、
〔〕
大括号：
｛｝
a2(
平方
)
、
b3(
立方
)
数的大小关
=
、
≈
、＞、＜
≤
、
≥
、
≠
系
运算定律
加法交换律：
a+b=b+a
<
/p>
加
法
结
合
律
：
a+b+c=a+(b+c)
乘法交换律：
ab=ba
乘
法
结
合
律
：
(ab)c=a(bc)
乘
法
分
配
律
：
a(b-c)=ab-ac
a(b+c)=ab+ac
方程
ax+b=c
数量关系
时间、速度和路程：
S=vt
数量、单价和总价：
a=np <
/p>
正比例关系：
y
／
x=k
反比例关系：
xy=k
用表格表示数量间的
关系
用图象表示数量间的
关系
空
用字母表示
长度单位：
km
、
m
、
2
dm
、
cm
、
mm
面积单位：
km2
、
< br>m2
、
形
dm2
、
cm2
、
mm2
、
hm2(
公
顷
)
体积单位：
m3
、
dm3
、
cm3 <
/p>
容积单位：
L
（升）
、
mL
（毫升）
质量单位：
t
、
kg
、
g
用符号表示
用字母表示点：三角
△
ABC
线段
图形
形
ABC
用符号表示角：∠
AB
射线
c
、
直线
1
、∠
2
、∠
3
、∠
4
l
两线段平行：
AB
∥
CD
◇
ABCD
两线段垂直：
AB
⊥
CD
用字母表示
三
角形面积
：
S=1
／
公式
2ab
平
行
四<
/p>
边
形
面
积
：
S=ah
梯
形
面
积
：
S=1
／
2
（
a+b
）
h
圆周长：
C=2πr
圆面积：
S=πr2
长
方
体<
/p>
体
积
：
V=ab
c
正方体积：
V=a3
圆柱体
积：
V=sh
圆锥体积：
V=1
／
3sh
统计与
统计图与统
用统计图表述和分析
概率
计表
各种信息
可能性
用分数表示可能性的
大小
4
、符号化思想的数学。
符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一，教
师和学生无时无
刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点。
（
1
< br>）在思想上引起重视。
《数学课程标准》把培养学生的符号意识作为必
学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。因此，教师在日常教学中
应给予足够的重视。
（
2
）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设
计
中，要明确符号的具体应用，并纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在
探索中归纳和理解教学符号化的模型，并进行解释和应用。
(3)
引导学生认识符号的特
点。数学符号是人们在研究现实世界的数量关
系和空间形式的过程中产生的，
它来源于生活，
但并不是生活中真实的物质存在，
而是一种抽象概括。如数字
1
，它可以表示现实生活中任何数量
是一个的物体的
个数，
是一种高度的抽象概括，
具有一定的抽象性。
一个数学符号一旦产生并被
3
间
与
图
计量单位
广泛应用，
它就具有明确的含义，
就能进行精确地数学运算和推
理证明，
因而它
具有精确性。
数学能够
帮助人们完成大量的运算和推理证明，
但如果没有简捷的
思想和
符号的参与，
它的工作量及难度也是很大的，
让人望而生畏。<
/p>
一旦简捷的
符号参与了运算和推理证明，数学的简捷性就体现出来
了。如欧洲人
12
世纪以
前基本上有罗
马数字进行计数和运算，
由于这种计数法不是十进制的。
大数的
四
则运算非常复杂，严重阻碍了数学的发展和普及。直到
12<
/p>
世纪印度数字及十进
制计数法传入欧洲，
才使得算术有了较快发展和普及。
数学符号的发展也经历了
从各
自独立到逐步规范、
统一和国际化的过程，
最明显的就是早期的
数字符号从
各自独立的埃及数字、
巴比伦数字、
中国数字、
印度数字和罗马数字到统一的阿
拉伯数字。
数学符号经历了从发明到应用再到统一的逐步完善的过程，
并促
进了
数学的发展；反之，数学的发展也促进了符号的发展。因而，数学和符号是相互
促进发展的，而且这种发展可能是一个漫长的过程。
（
4
）
符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应用贯穿于数
学学习的整个过程中，
学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，
并通过一
定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。
小学数学思想方法的梳理（二）
王永春（课程教材研究所）
二、化归思想
1
、化归思想的概念。
人们面对数学问题，
如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，
往往
需要解决的问题不断转化形式，
把它归结
为能够解决或比较容易解决的问题，
最
终使原问题得到解决，这
种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识
呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们
在学习数学、
理解和掌握数学的过程中，
却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的
知识、
把繁难的知识转化为简单的知识，
从而逐步学会解决各
种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化
归思想也是
攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2
、化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、
具体的、
基本的知识的基础上，
把未
知化为已知、把复杂化为简单、
把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划
为常规，从而解决各种问题。因此，应用
化归思想时要遵循以下几个基本原则：
（
1
）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从
而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，
< br>应用于生活。
学习数学
的目的之一就是要利用数学知识解
决生活中的各种问题，
《课程标准》特别强调
的目标之一就是培
养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（
2
）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学
习数学的过
程，
就是一个不断面对新知识的过程；
解决疑难问题的过程，
也是一个面对陌生
问题的过程
。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，
又是一个创新的过程
；
与
《课程标准》
提倡培养学生的探索
能力和创新精神是一
4
致的。因此
，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（
3
）
简单化原则，
即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，
复杂的问题未必都不会解决，
但解决的过程可能比较复杂。
因此，
把复杂的问题
转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，
也不失为一种上策。
（
4
）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。苏雪的特点之一便
是它
具有抽象性。
有些抽象的问题，
直接分析解决难度较大，
需要把它转化为具
体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。
因而，直观化是中小学生经
常应用的方法，也是重要的原则之一。
3
、化归思想的具体应用。
学生面对的各种数学问题，
可以简单的分为两类：
< br>一类是直接应用已有知识
便可顺利解答的问题；另一种陌生的知识或者不能直接应
用已有知识解答的问
题，
需要综合地应用已有知识或创造性地解
决问题。
如知道一个长方形的长和宽，
求它的面积，只要知道长
方形公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；如
果不知道平行四边形的面积公式，
通过割补平移变换把平行四边形转化为长方
形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是
第二类问题。对于广大中小学生来
说，
他们在学习数学的过程中
所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，
并且要
不断地把第二
种问题转化为第一类问题。
解决问题的过程，
从某种意义上来说
就
是不断地转化求解的过程，因此，化归思想应用非常广泛。
化归思想在小学数学中应用如下表。
知识领域
知识点
应用举例
数
与
代
整数的意义，用实物操作和直观图
数
数
的
意
帮助理解
义
小数的意义：用直观图帮助理解
分数的意义：用直观图帮助理解
负数的意义：用数轴等直观图帮助
理解
四
则
运
乘法的
意义：若干个相同的数相加
算的意义
的一种简便算法
除法的意义：乘法的逆运算
整数加减法：用实物操作和直观图
帮助理解算法
< br>小数加减法：小数点对齐，然后按
四
则
< br>运
照整数的方法进行计算
算的法则
小数乘法：先按照整数乘法
的方法
进行计算，再点小数点
小数除
法：把除数转化为整数，基
本按照整数的方法进行计算，需要注意
被除数小数点与商的小数点对齐。
分数加减法：异分母加减
法转化为
同分母加减法
分数除法：转化为分数乘法
四
则
运
a+b=c
c-a=b
算各部间的
ab=c
a=c÷
b
5
< br>解方程：解方程的过程，实际就是
不断把方程转化为未知数前边的系数是
1
的过程（
x=a
）<
/p>
化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问
题等
解
决<
/p>
问
化抽象为直观：用线段图、图表、
题的
策略
图像等直观表示数量之间的关系，帮助
< br>理解。
化实际问题为数学问题
化一般问题为特殊问题
化未知问题为已知问题
空
间
与
图
形
三
角
形
通过操作把三个内角转化为平角
内角和
多
边
形
转化成三角形求内角和
的内角和
正方形的面积：转化为长方形求面
积
平行
四边形求面积：转化成长方形
面
积
公<
/p>
求面积
式
<
/p>
三角形的面积：转化为平行四边形
求面积
梯形的面积：转化为平行四边形求
面积
圆的面积：转化为长方形求面积
组合
图形面积：转化为求基本图形
的面积
正方体的体积：转化为长方体求体
体
积
公
积
式
圆柱的体积：转化为长方体求体积
圆锥的体积：转化为圆柱求体积
统计与概率
统
计
图
运用不同的统计图表述各种数据
和统计表
可能性
运用不同的方式表示可能性的大小
4
、解决问题中的化归策略。
（
1
）化抽象问题为直观问题。
数学的特点之一是它具有很强的抽象性，
这是每个
乡学好数学的人必须面对
的问题。从小学到初中，再到高中，数学问题的抽象性不断加强
，学生的抽象思
维能力在不断接受挑战。
如果能把比较抽象的问
题转化为操作或直观的问题，
那
么不但使得问题日益解决，
经过不断地抽象
→
直观
→
抽象的训练，
学生的抽象思
6
关系
简
便
计
算
方程
利用运算定律进行简便计算
维能力也会逐步提高。下面举例说明。
案例
1
：
…=
分析：此问题通过观察，可以发现一个规律：没一项都是它前面一项的。但
是对于小学和初中的学生来说，
还没有学习等比数列求和公式。
如果把一条线段
看作
1
，先取它的一半表示，再取余下的一半表示，这样不断地取下去，最终相
当于取了整条线
段。因此，上式的结果等于
1
，这样利用直观手段解决了高中生
才能解决的问题。
（
2
）化繁为简的策略。
有些
数学问题比较复杂，
直接解答过程比较繁琐，
如果在结果和数量
关系相
似的情况下，
从更加简单的问题入手，
< br>找到解决问题的方法或建立模型，
并进行
适当检验，
如果能够证明这种方法或模型是正确的，
那么该问题一半来说便得到
解决。下面举例加以说明。
案例
2
：把
186
拆分
成两个自然数的和，证明拆分才能使拆分的两个自然数
乘积最大？
187
呢？
分析：此题中的数比较
大，如果用枚举法一个一个地猜测验证，比较繁琐。
如果从比较小的数开始枚举，
利用不完全归纳法，
看看能否找到解决方法。
如从
10
开始，
10
< br>可以分成
1
和
9,2
和
8,3
和
7,4
和
6,5
和
5
。他们的积分别是９，１
６，２１，２４，２５。可以初步认为拆分成
相等的两个数的乘积最大，如果不
确定，还可以再举一个例子，如１２可以分成：１和１
１
,
２和１０
,
３和９
,
４和
８，５和７，６和６，
他们的积分别是１１，２０，２７，３２，３５，３６。
由此可以推断：
把１８６拆分成９３和９３，
９３和９３的乘积最大，
乘积是８
６４９。
适当的加以检验，
如
９２和９４的乘积为８６４８，
９０和９６的乘积
是８６４０，
都比８６４９小。
因为１８７是奇数，
无法拆分成相等的两个数，
只能拆分成相差１的两个数，
这时
它们的乘积最大。不再举例验证。
案例３：你能快速口算８５
×
85=
，
9
5×
95=
，
105×
105=
吗？
分析：
仔细观察可以看出，
此类题有些共同点，
每个
算式中的两个因数相等，
并且个位数都是
5,
< br>。
如果不知道个位是
5
的相等的
两个数的乘积的规律，
直接快
速口算是有难度的。那么此类题有
什么技巧那？不妨从简单的是开始探索，如
15×
15=225
，
25×
25=625.
，
35×
35=1225
。
通过这几个算式的因数与相应的积得特
点，可以初步发现规律是：个位数是
5
的相等的两个数相乘，积分为两部分：左
边为因数
中
5
以外的数字乘比它大
1
的数，右边为
25
（
5<
/p>
乘
5
的积）
。所
以
85×
85=7225,95×
95
=9025,105×
105=11025
，实际验证也是如此
。很多学生面对一
些数学问题，
可能知道怎么解答，
但是只要想起解答过程非常繁琐，
就会产生退
缩情
绪，或者在繁琐的解答过程中出项失误，这是比较普遍的情况。因此，学会
化繁为简的解
答策略，对于解决繁难为您提的能力大有帮助。
（
3
）化实际问题为特殊的数学问题。
数学来源于生活，
应用于生活。
与小学有关的生活
中的实际问题，
多数可以
用常规的小学知识解决；但有些生活中
的实际问题表面上看是一些常用的数量，
似乎能用常规的数学模型解决问题。
但真正深入分析数量关系时，
可能由于条件
比全面
而无法建立模型。
这时，
就需要超越常规思维模式，
从另外的角度进行分
析，找到解决问题的方法。下面举例说明。
案例
4
：某旅行团队翻
越一座山。上午
9
时上山，每小时行
3
千米，到达山
顶时，休息
1
小时。下山时，每小时行
4
千米，下午
4
时到达山底。全程共行了
7
20
千米。上山和下山的路
程各是多少千米？
分析：
由于只知道
上山和下山的速度，
不知道上山和下山的具体时间，
因此
无法直接求出上山和下山的路程，
但是知道总路程。
< br>仔细观察可以发现：
题中给
出了两个未知数量的总和以及
与这两个数量有关的一些特定的数量，
如果用假设
的方法，那么
就类似于鸡兔同笼问题。假设都是上山，那么总路程是
18
（<
/p>
6×
3
）
千米，
比实际路程少算了
2
千米，所以下山时间是
2
〔
2÷
（
4-3
）
〕小时，上山时
间是
4
小时。上山和下山的路程分别是
12
千米和
8
千米。
案例
5
：
李阿姨买了
2
千克苹果和
3
千克香蕉用了
11
元，
王阿姨买了同样
价格的
1
千克苹果和
2
千克香蕉，用了
6.5
元。每千克苹果和香蕉各多少钱？
< br>分析：此题初看是关于单价、总价和数量的问题，但是，由于题中没有告诉
苹果和
香蕉各自的总价是多少，
无法直接计算各自的单价。
认真观察，
可以发现：
题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价，<
/p>
虽然题中有苹果和香蕉各自的
单价这两个未知数，
但这二者没有直接的关系，
如果用方程解决，
也超出了
一元
一次方程的范围。
那么这样的问题在小学的知识范围内如何
解决呢？利用二元一
次方程组加减消元的思想，
可以解决这类问
题；
具体来说就是把两组数量中的一
个数量化成相等的关系，再
想减，得到一个一元一次方程。不必列式推导，直接
分析便可：
1
千克苹果和
2
千克香蕉
6.5
元，那么可得出
2
千
克苹果和
4
千克香
蕉
< br>13
元；题中已知
2
千克苹果和
3
千克香蕉
11
元。用
13
减去
11
的
2
，所以香
蕉的单价是每千
克
2
元。再通过计算得苹果的单价是每千克
2.5
元。
（
< br>4
）化未知问题为已知问题。
对于学生而言，
学习的过程是一个不断面对新知识的过程，
有些
新知识通过
某些载体直接呈现，
如面积和面积单位，
通过一些物体或图形直接引入概念；
而
有些新知识
可以利用已有知识同伙探索，
把新知识转化为旧知识进行学习，
通过
割补平移，把平行四边形转化为已知长方形求面积。这种化为知为已知的策略，
在数学学习中非常常见。下面举例说明。
案例
6
：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的
2
倍多
30
千克，这两种水果一<
/p>
共销售了
180
千克。销售香蕉多少千克
？
分析：
学生在学习列式方程解决问
题时学习了最基本的有关两个数量的一种
模型：
已知两个数量的
倍数关系以及这两个数量的和或差，
求这两个数量分别是
多少。
题中的苹果和香蕉的关系，
不是简单的倍数关系；
而是在倍数的基础上增
加了一个条件，即苹果比香蕉的
2
倍还多
30
千克。假如把
180
减去
30
得
150
，
那么题目可以转化为：
“
如果水果商店昨天销售的苹果是香蕉的
2
倍，那么这两
种水果一共销售了
150
千克。销售香蕉多少千克？
”
这时就可以列方
程解决了，
设未知数时要注意设水位
X
，
题目中求的是哪个量。
这个案例能给我们什么启示
呢？教师在教学中要学生学习什么？学生既要学习知识，
又要学习方法。<
/p>
学生不
仅要学会类型套类型的解题模式，
更重要的是理解和掌握最基本的数学模型的基
础上，
形成迁移类
推或举一反三的能力。
教师在上面最基本的模型基础上，
可以<
/p>
引导学生深入思考一下几个问题：
①
水果商店昨天销售的苹果必香蕉的
2
倍少
< br>30
千克，这两种一
共销售了
1
80
千克。销售苹果多少千克？
②
水果商店昨天销售的香蕉比苹果的多
30
千克，这两种水果
一
共销售了
180
千克。销售苹果多少
千克？
③
水果商店昨天销售的香蕉比苹果的少
30
千克，这两种水果一
共销售了
120
千克。销售苹果多少千克？
8
④
水果商店昨天销售的苹果是香蕉的
2
倍。销售的梨是香蕉的
3
倍。这三种水果一共销售了
180<
/p>
千克。销售香蕉多少千克？
⑤
水果商店昨天销售的苹果是香蕉的
2
倍，销售的梨是苹果的
2
倍。这三种水果一共销售了
120<
/p>
千克。销售香蕉多少千克？
从以上几个
问题的步数来说，
可能已经超越了教材基本的难度标准。
但笔者
今年来一直有一个理念：
“
高标准教学
，标准化考试
”
。教师们可以在课堂上大胆
探索这样的问题经过引导和启发，
学生到底能否解决？学生是否能在数学思想方
法和教学思维能力上得到更好的发展？是否贯彻了《课程标准》提倡的
“
不同的
人在教学上得到不同的发展
”
的理念？
（
5
）化一般问题为特殊问题。
数
学中的规律一般具有普遍性，
但是对于小学生而言，
普遍的规律
往往比较
抽象，
较难理解和应用。
如果
举一些特殊的例子运用不完全归纳法加以猜测验证，
也是可行的解决问题的策略。下面举
例说明。
案例
7
：任意一个大于
4
的自然数，拆成两个自然数之和，怎样拆
分使这两
个自然数的乘积最大？
分析
：
此问题如果运用一般的方法进行推理，
可以设这个大于
4
的自然数为
N
。<
/p>
如
果
N
为
偶
数
，
可
设
N=2K(K
为
任
意
大
于
2
的
自
然
数
)
；
那
么
< br>N=K+K=(K-1)+(K+1)=(K-
2)+(K+2)…,
因为
K2>K2-1>K2-
< br>4>…,
所以
K×
K>(K-1)×
(K+1)>(K-
2)×(K
+2)>…,
所以把这个偶数拆分成两个相等的数的和，他们的积最大。
<
/p>
如
果
N
为
奇
数
，
可
设
N=2K+1(K
为
任
意
大
于
1
的
自
然
数
)
；
那
么
N=K+(K+1)=(K-1)+(K+2)=(K-
2)+(K+3)=
…,
因为
K2+K>K2+K-2>
K2+K-
6>…,
所以
K×
(K+1)>(K-1)×
(K+2)>(K
-
2)×(K+3)>…,
所以把这
个奇数拆分成两个相差
1
的数的和，它们的积最大。
仔细观察问题可以发现，
题中的自然数只要大于
4
，
便存在一种普遍的规律；
因此，
取几个具体的特殊的数，
也应该存在这样
的规律。
这时就可以把一般问题
转化为特殊的问题，仅举几个有
代表性的比较小的数（只要大于
4
）进行枚举归
纳，如
10,11
等，就可以解决问题，具体案例间前
文。
归化思想作为重要的数学思想之一，
在学习数学和解决数学问题的过程中无
所不在，对于学生而言，要学会善于运用化归
的思想方法解决各种复杂的问题，
最终达到在数学的世界里举重若轻的境界。
小学数学思想方法的梳理（三）
王永春（课程教材研究所）
三，模型思想
1
．模型思想的概念。
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事
物地特征，数量
关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规
律，法
则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。数学的模型思想是<
/p>
一般化的思想方法，
数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和
图表，
因而它
9
< br>与符号化思想有很多相同之处，
同样具有普遍的意义。
不
过，
也有很多数学家对
数学模型的理解似乎更注重数学的应用性
。
即把数学模型描述为特定的事物系统
的数学关系结构。
如通过数学在经济，
物理，
农业，
生物，
社会学等领域的应用，
所构造的数学模型。
为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显的区分开来，
本文主要从狭义的角度讨论数
学模型，
即重点分析小学数学的应用及数学模型的
构建。
2
．模型思想的重要意义。
数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些
信息进行适当的
简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析，预算，决策和控制，并
且要经
过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。如上所述，<
/p>
数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用；
因
而，
模型思想
在数学思想方法中有非常重要的地位，在数学教育
领域也应该有它的一席之地。
如果说符号化思想更注重数学抽象和和符号表达，那么模型思想更注重
数学地应用，更
通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题；当然，把
现实情境数学结构化的过
程也是一个抽象化的过程。
现行的
《数学课程标准》
对
符号化思想有明确要求，如要求学生
“
能从具体行进中抽象出数量变化和变化规
律并用符号来表示
”
，这实际上就包含了模型思想。但是，
《数学课程
标准》对第
一，
二学段并没有提出模型思想要求，
只是在第三学段的内容标准和教学建议中
明确提出了模型思想，要求在教学中
“
注重使学生经历从实际问题中建立数学模
型
”
，教学过程以
“
问题情境
—
建立模型
—
解释、应用于扩展
”
的模式展开。如果
说小学数学教育工作者中有人关注了模型思想，
多数人只是套用第三
学段对模型
思想的要求进行研究也很难做到要求的具体化和课堂教学的贯彻落实。
据了解，即将颁布的课程标准与现
行的《数学课程标准（修改稿）
》相比
有了较大变化，
在课程内容部分明确提出了
“
初步形成模型思想
”
，
并具体解释为
“
模型思想建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和
求解模型的过程包括：
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，<
/p>
用数学符号建
立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量变化
和变量规律，求出结果、并
讨论结果的意义。
这些内容的学习有
助于学生初步形成模型思想，
提高学习数学
的兴趣和应用知识<
/p>
”
。
并在教材编写中提出了
“
教材应当根据课程内容，
设计运用
数学知识解决问题的活动。这样的活用应体现
‘
问题情
境
—
建立模型
—
求解验证
’
过程，
这个过程要有利于
理解和掌握相关的知识技能，
感悟数学思想、
积累活动
经验；
要有利于提高发现和提出问题的能力、
分
析和解决问题的能力，
增强应用
意识和创新意识
”
。
这是否可以理解为：在小学阶段，从《数学课程标准》的角度正式提出了
模型
思想的基本理念和作用，
并明确了模型思想的重要意义。
这不仅
表明了数学
的应用价值，同时明确了建立模型是数学运用和解决问题的核心。
3
．模型思想的具体运用
数学的发现和发展过程，也是一个应用的过程。从这个
角度而言，伴随
着数学知识的产生和发展，
数学模型实际上也随
后产生和发展了。
如自然数系统
1,2,3…
< br>是描述离散数量的数学模型。
2000
多年前的古人用公
式计算土地面积，
用方程解决实际问题等，
实际上都是用各种数
学知识建立数学模型来解决实际问
题等，
实际上都是用各种数学
知识建立数学模型来解决数学问题的。
就小学数学
的应用来说，
大多数是古老的初等数学知识的简单应用，也许在数学家的眼里，
这根本就不是真正的数
学模型；
不过小学数学的应用虽然简单，
但仍然是现实生
10
活和进一步学习所不可缺的。小学数学中的模型如下表。
知识领域
知识点
应用举例
数
数的表示
自然数列：
0,1,2
，
….
用数轴表示数
与
数的运算
a+b=c
代
C-a=b,c-a=b
数
a×b=c(a≠0,b≠0)
c÷
a=b,c÷
b=a
方程
a+b=c
数量关系
时间、速度和路程：
s=vt
数量、单价和总价
;a=np
正比例关系
;y/x=k
反比例关系：
xy=k
用表格表示数量间的关系
用图像表示数量间的关系
空间与图<
/p>
用
字
母
表
示
三角形面积
;s=1/2ab
像
公式
平行四边形面积：
S=ah
梯形面积：
s=1/2(a+b)h
圆周长：
C=2πr
圆面积：
S=πr2
长方体面积：
v=abc
正方体体积：
V=a2
圆柱体积：
v=Sh
圆锥体积：
v=1/3sh
空间形式
用图表表示空间和平面结构
统计与概
统
计
图
和
统
用统计图表描述和分析各种信息
率
计表
可能性
用分数表示可能性的大小
4
．数学模型思想的教学。
5
．从表格中可以看出：模型
思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和
图表表达数量关系和空间形式，
这是他们的共同之处；
但是模型思想更加注重如
何经
过分析抽象建立模型，
更加重视如何应用数学解决生活和科学研究的各种问
题。
正是因为数学在各个领域的广泛应用，
不但促进
了科学和人类的进步，
也使
人们对数学有了新的认识：
数学不仅仅是数学家的乐园，
它特不应是抽象和枯燥
的代名词，
它是全人类的朋友，
也是广大中小学生的朋友。
广大教师在教学中结
合数学的应用和解决问题的数学，要注意贯
彻《数学课程标准》的理念，另一方
面要注重渗透模型思想，另一方面要教会学生如何建
立模型，比不过喜欢数学。
学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习
教材中以例题为代
表的新知识，
这个学习过程可能是一个探索的过程，
也可能是<
/p>
一个接受学习的过程；
第二种是利用基本模型区解决各种问题，<
/p>
即利用学习的基
本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问
题。
教学建模是一个比较复
杂和富有挑战的过程，这个过程大致有以下几个
11
步骤：
（
1
）
理解问题的实际问题，
明确要解决什么问题，
属于什么模型系统。
（
2
）
把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。
（
3
）建立模型，可以是数量关
系式，也可以是图标形式。
（
4
）解答问题。下面结合案例做简要分析
。
第一，学习的过程可以经
历类似于数学家建模的再创造过程，现实过程
中已有的数学模型基本上是数学家和物理家
等科学家们应用于各个领域经过艰
辛的研究创造出来的，
是的我
们能够享受现实的成果。
如阿基米德发现了杠杆定
律
;
平行的杠杆，物体到杠杆支点的距离之比，即
F
1
：
F2=L2
；
L1.
根据课程标准
的理念，
学生
的学习过程有时是一个探索的过程，
也是一个再创造的过程；
也
就
是说有些模型是可以由学生再创造的，
可以吧科学家发明的成
果再创造一次。
如
在学习了反比例关系以后，可以利用简单的学
具进行操作实验，探索杠杆定律。
再如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，<
/p>
探索长方体中含有小正方体
的个数与长方体的长、宽、高的关系，
进而归纳出长方体的体积公式，建立模型
v=abc
，这是一个
模型化的过程，也是一个再创造的过程。
第二，对于大多数人来说，在现实生活中和工作中利用数学解决各种问
题，
基本上都是根据对现实情境的分析，
利用已有的学习知识构建模
型。
这样的
模型是已经存在并且科学的，
并不是新发明的，
由学生进行再创造也几乎是不可
行的；换句
话说，有些模型由于难度较大或不便于探索，不必让学生在创造。如
两个变量成反比例关
系，
如果给出两个量数据变化的表格，
学生通过观察和计算
有可能发现者两个量的关系。
但是如果让学生动手实践操作去发现规
律，
还是有
一定难度的。再如物体运动地路程、时间和速度的关
系为
s=vt
，利用这个基本模
型可以
解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。但是由于这个模型比较抽象，
操作难度较大，
因而也不适合学生进行再创造。
教师只需要通过现实模拟或者动
画模拟，是学生能够理解模型的意义便可。
案例
1;
小明的家距学校
600
米，每天上学从家步行
10
分钟到学校。今天
早上出门
2
分钟后发现忘记带学具了，
立即回家去取。
他如果想按原来的时间赶
到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略
不计）
第三
,
应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型
进而解决各种问题。
学生学习了教材上的基础知识后，
利用已有的知识解决新的
更加复杂的各种问题，是一个富有挑战的过程，也可以是一
个合作探究的过程。
如小学生数学竞赛中有很多应用数学解决的问题，
< br>就是一个建立模型的过程；
再
如中学生和大学生组队参加
数学建模大赛，就是一个团队合作探究的过程。
解题过程如下：
（
1
）本题是日常生活中常见的行程问题，问题是要
求小明步行的速度，
是关于时间、速度和路程的问题。
（
2
）
这里需要明确所求的速度行相对应的路程和时间是什么，因为取东
西等时间忽略不计，<
/p>
因此剩余的时间就可以确定为步行的时间；
路程是从家出来
2
分钟后开始算，在回家的路程加上从家到回家的路程的和；时间是<
/p>
10
分钟减
去
2
分钟，只有
8
分钟的时间了。
（
3
）
根
据
基
本
的
关
系
< br>式
s=vt
，
可
先
求
出
s=600+(600
÷
10)×
2=720(
米
),t=10-2=8(
分钟
)
< br>。列式为：
720=8v
（
4
）
V=90,
即小明步行的速度每分钟为
90
米。
从上面的解答过程来看，小学数学的情境还是比较容易理解的，模型系
统也容易确定。
如果说此题比教材中的一般习题有难度的话，
就是路程和时间没
有直接给出，
拐了个弯。
也就是说难点
在于第二步中知道模型系统后相应的数量
12
怎么确定的找出来，
一定要注意题中每一个量是怎样诉述的，
有什么特殊的要求，
在认真读题的基础上准确的找出来或计算出来。
案例
2.;<
/p>
有一根
20
米长的绳子，要剪成
2
米和
5
米长两种规格
的跳绳，每
种跳绳各剪多少根？（要求绳子无剩余，并且每种规格的绳子至少要有一根）
分析：
此题从表面上看，
是小学数学整数乘法的一般问题，
但是由于题中有
特殊要求，无法列式解答。如果用方程，题目中涉及了两个未知数，属于二元一
次方程，
超出了小学数学的范围。
那么，
面对这
样的问题如何解决呢？在小学数
学中面对一些非常规范的问题时，
有时运用列表列举或猜测的方式是一种可行的
策略，只不过会繁琐些。
5
米跳绳
1
2
3
4
的根数
2
米跳绳
7
5
2
0
的根数
剩
余
根
1
0
1
0
数
由上表可知符号要求的答案为：
5
米和
2
米的跳绳分别减
2
根和
5
根。
此题如果用方程解决，可设
5
米和
2
米的跳绳分别剪
x
根和<
/p>
y
根，可列
方程
:5x=2y=20.
可仿照正比例关系
y=kx
图像的画法，再有方格纸的坐标系里，
通过两点（
0
,10
）和（
4,0
）画出一条直线，
就是方程
5x=2y=20.
图像。再找出图
< br>像与方程的交叉点重合的点，就是方程的解。
案例
3
：
一瓶
矿泉水满瓶为
500
毫升，
小林喝了一
些，
剩余的水都在圆柱
形的部分，高度是
16
厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过来，无水的部分高度为
4
厘米。小林喝了多少水？
<
/p>
分析
;
此题是求水的容积，有一个在建模
过程中需要假设，就是矿泉水瓶
援助部分并不是一个圆柱的形状，
这样才便于建立模型，
由于不知道圆柱的底面
积，所以无法用
容积公式直接求解。这就需要换一个思路来想，根据容积公式
v=sh.
可知如果底面积一定，容积与圆柱的高成正比，这样就把求容积问题转化
为比例
问题。
由于矿泉水瓶最上面部分形状不规则，
倒立过来以后喝的
水就相当
于圆柱形瓶子高度为
4
厘米的
水。
满瓶矿泉水就相当于这瓶水都装在圆柱形瓶子
后，高度为<
/p>
20
厘米的水。可设小林喝的水为
v
毫升，列式为：
v:500=4:(16+4)
，
V=100
小学数学思想方法的梳理（四）
王永春（课程教材研究所）
四、推理思想
1.
推理思想的概念。
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。
推理所根据<
/p>
的判断叫前提，
根据前提所得到的判断叫结论。
< br>推理分为两种形式：
演绎推理和
合情推理。
演绎推理是根据一般性的真命题
（或逻辑规则）
推出
特殊性命题的推
理。
演绎推理的特征是：
当前题为真时，
结论必然为真。
演绎推理的常用形式有：
三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从有的事实出发，凭借
13
经验和直觉，
通过
归纳和类化等推测某些结果。
合情推理的常用形式有：
归纳推<
/p>
理和类比推理。当前提为真是，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
（
1
）演绎推理。
三段论，
有两个前提和一个结论的演绎推理，
叫做三段论。
三段论是演绎推
理的一般
模式，
包括：
大前提
——
已知的一般原理，
小前提
——
所研究的特殊情
况，结论
——
根据一
般原理，对特殊情况作出判断。例如：一切奇数都不能被
2
整除
，
（
23+1
）是奇数，所以（
23+1
）不能被
2
整除。
选言推理，
分为相容选言推理
和不相容选言推理。
这里只介绍不相容选言推
理：
大前提是个不相容的选言判断，
小前提肯定其中的一个选言支，
结论则否定
其他选言支；
小前提否定除其中一个以外
的选言支，
结论则肯定剩下的那个选言
支。例如：一个三角形，
要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三
角形。这个三角形不是锐角三角形
和直角三角形，所以它是个钝角三角形。
假言推理，
假言推理的分类较为复杂，
这里简单介绍一种充分条件假言推理：
前提有一个充分条件假言判断，
肯定前件就要肯定后件，
否定后件就要否定前件。
例如：如果一个数的末尾是
0
，那么这个数能被
5
整除：这个数的
末尾是
0
，所
以这个数能被
5
整除。
这里的大前提是一个假言判断，
所以这种推理尽管与三段
论有相似的地阿芳，但它不是三段论。
关系推理，
是前提中至少有一个是关系命题的
推理。
下面简单举例说明几种
常用的关系推理：
（
1
）
对称性关系推理，
如
1
米
=100<
/p>
厘米，
所以
100
厘米
=1
米；
（
2
）
反对称性关系推理，
a
大于
b,
所以
b
不大于
a
；
（
3
）
传递性关系推理，
a>b,b>c,
所以
a>c
。关
系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较
时，把一些数按从小到
大或从大到小的顺序排列，实际上都用了关系推理。
（
2
）合情推理。
归纳推理，
是从特殊到一半的推理方法，
即依据一类事物中部分对象的相
同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推
理方法。
归纳法分为完全
归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法是更具某类事物中的每个事物或每个子类食
物都具有某种性质，<
/p>
而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。
完
全归纳法考察了所有特殊对象，
所得出的结论是可靠的。
不完全归纳法是通过观
察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，
推出该类事物具有这种性质的一般
性结论的推理方法。
< br>依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，
需要进一步证
明结论的可靠性。
数学归纳法是一种特殊的数学推理方法，
从
表面上看并没有考
察所有对象，
但是根据自然数的性质，
相当于考察了所有对象，
因而数学归纳法
实际
上属于完全归纳推理。
类比推理，
是从特殊到特殊的的推理方法，即依据两类事物的相似性，用
一类事物的性质去推测另一
类事物也具有该性质的推理方法。
依据该方法得到的
结论可能为
真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。
2.
推理思想的重要意义。
我国数学教育几十年来的主要优势或者说成果就是重视培养学生的运算
< br>能力、推理能力和空间想象能力。传统的《数学教学大纲》比较强调逻辑推理而
忽
视了合情推理；而现行的《数学课程标准》又矫枉过正，过于强调合情推理，
在逻辑推理
能力方面有所淡化。
近年来课程改革的实践证明，
二者不可偏废
。
就
学好数学或者培养人的智力而言，
逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。
据了解
《数学课程标准（
修改稿）
》在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及
作
用
“
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学
的基本思维方
14
式，
也是人们在学习生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括和清理和演绎推
理。
……
在解决问题的过程中，
合情推理有助于探索解决问题的思路，
发现结论；
演绎推理用于证明结论的正确性
”
。
数学在当今市场经济和信息化社会有比较广泛的应
用，
人们在利用数学解
决各种实际问题的过程中，
虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成，
但是
救人的思维能力构成而言，
推理能力仍然是至关重要的能力之一，
因而培养推理
能力仍然是数学教育的主要任务之一。
3.
推理思想的具体应用。
推理思想作为数学的一个重要的思想方法，
无论在小学还是在中学都有着
广
泛的应用，
尤其是合情推理作为数学发现的一种重要方法，<
/p>
在小学教学的探究学
习和再创造学习中应用更为广泛。
在小学数学中虽然没有初中类似于数学证明等
严密规范的演绎推理，
但是在很多结论的推导过程中间接的应用了演绎推理。
如
推导出平行四边形的面积公式后，
三角形面积公式的推导过程是先把两个同样
的
三角形拼成一个平行四边形，
再根据平行四边形的面积公式推
出三角形的面积公
式。这个过程实际上是应用了演绎推理，如下：平行四边形的面积等于
底乘高，
两个同样的三角形的面积等于平行四边形的面积，
所以
两个同样的三角形的面积
等于底乘高；因而一个三角形的面积就等于底乘高的积除以
2
。小学数学中推理
思想的应用如下表。<
/p>
思想方法
知识点
应用举例
找数列和
< br>图形的
找规律
规律
四则计算
法则的
整数计算
总结
加
法<
/p>
交
换
律
a+b=
b+a
加法结合律
运算定律
乘法交换律
乘法结合律
不
完
全
归
乘法分配律
纳
法
除法
商不变的规律
分数
分数的基本性质
长方形面
积公式
面积
推导
长方体体
积公式
推导
圆柱体积
公式推
体积
导
圆锥体积
公式推
导
完全归纳法
三角形内
角和的
三角形
推导
亿以内及
亿以上
类
比
推
理
整书读写法
数的读写
15
整数的运算
小数的运算
分数的运算
除法、分数和比
面积
长度、面积、体积
问题解决
鸡兔同笼
抽屉原理
三
段
论
多边形
面积
四则计算的法则：
多位数加减法与两
位
数加减法相类比，
多位
数乘多位数与
多位数
乘一位数相类比，
除数
是多位数
的除法与除
数是一位数的除法相
类比。
整数的运算法则、
顺序和定律推广到小
数
整数的运
算顺序
< br>和运算定律推广到分
数
除法商
不
变的规
律、
分数的基本性质和
比的基本性质进行类
比
与平行四
边形的
面积公式推导方法相
类比，
三角形、
梯形面
积公式的推导
，
也用转
化的方法，
把它们转化
成平行四边形推导面
积公式。
线、
面、
体之间的
类比：<
/p>
线段有长短，
用
长度单位来计量；
平面
图形有大小，
用面积单
< br>位来计量；
立体图形占
的空间有大小，
< br>用体积
单位来计量。
数量关系
相近的
实际问题的类比，
如分
数实际问题与百分数
实际问题的类比。
不同素材
的鸡兔
同笼问题的类比
不同素材
的抽屉
原理问题
的类比
多边形内
角和的
推导
正方形面
积公式
16
体积
选言推理
假言推理
关系推理
的推导
平行四边
形面积
公式的推导
三角形面
积公式
的推导
梯形面积
公式的
推导
< br>
圆面积公
式的推
导
正方体体
积公式
的推导
类似于人
教版二
年级上册数学广角中
的
“
猜一猜<
/p>
”
根据概念、
性质等
进行判断的一些问题
大小比较
、
恒等变
形、等量代换等等
4.
推理思想的教学。
就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，
《数学课程标准
< br>（修改稿）
》
指出
“
推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐
进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形
式。
……
教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察
、尝
试、估算、归类、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推
理能力；
通过实例使学生逐步意识到，
结论
的正确性需要演绎推理的确认，
可以
根据学生的年龄特征提出不
同程度的要求
”
。
< br>根据以上
《数学课程标准》
关于推理思想的理念和要求，
在小学数学教学中
要注意把握以下几点。
第一，
推理是重要的思想方法之一，
是数学的基本思维方式，
要贯穿于数学
教学的始终。
在小学数学中，
除了运算是数学的基本方法外，
推理也是常用的数
学方法。无论是低年级的找规律、总结计算法则，还是高年级的面积、
体积公式
的推导，
无不用到推理的思想方法。
< br>因而，
广大教师要牢记推理思想从一年级就
要开始渗透和
应用，是一个长期的培养过程。
第二，
合情推理和演绎推理二者不可偏废。
合情推理多用于根据特殊的事实
< br>去发现和总结一般性的结论，
演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明<
/p>
和推导新的结论。二者在数学中的作用都是很重要的。
第三，
推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机的结合。
推理能力的发
展与各领域知识的学习是一个有机的结合过程，
因而在教学过程中要给学生提供
各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、
猜想、验证等活动，去发现结论，
培养推理能力。
第四，
把握好推理思想教学的层次性和差异性。
推
理能力的培养要结合具体
17
知识
的学习，
同时要考虑学生的认知水平和接受能力。
综合现行课程
标准及其修
改稿关于
“
数学思考
”
分析段的目标要求，推理能力在小学段的要求可参考下表。
学段
推理能力教学目标
初步学会选择有用
信息进行简单的
第一学段
归纳和类比
在观察、实验、猜想、验
证等活动
中，发展合情推理能力，能进行有条理
第二学段
的思考，能比较清楚的表达自己的思考
过程
与结果
下面再结合案例谈谈几种在小学数学中应用较多的推理
思想的教学。
（
1
< br>）类比思想。无论是学习新知识，还是利用已有知识解决新问题，如果
能够把新知
识和新问题与已有的相类似的知识进行类比，
进而找到解决问题的方
法，
这样就实现了知识和方法的正迁移。
因此，
要引导学生在学习数学的过程中
善于利用类比思想，
提高解决问题的能力。
有些类比比较直接，
如有整数的运算<
/p>
定理迁移到小数、分数的运算定律，问题解决中数量关系相近的问题的类比等。
而有些类比比较隐蔽，
需要在分析的基础上才能实现。
如抽屉原理，
变式练习有
很多，
难
度较大，
解决此类问题的关键就是通过类比找到抽屉。
应用类比
的思想
方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察与联想是类比的基础。另<
/p>
外，
中学数学与小学数学教学可以类比的知识有很多，
如果打好小学数学的知识
基础和掌握类比思想，
对
于初中数学的学习会有较大的益处。
如在代数中，
与整
数的运算顺序和运算定律相类比，可以到处有理数和整式的运算顺序和运算定
律；
与分数的基本性质相类比，
可以导出分式也具有类似的
性质，
并且可以推出
它和分数一样能够进行化简和运算。
案例
1
：计算并观
察下面的算式，你能发现什么规律？
1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=
……
1+3+5+7+…+99=
分析：
此题石油从开始的奇数组成的系列加法算式，
每一组算式比前一
组多
一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，
1
是一个奇数，等于一
1
的
< br>平方；
（
1+3
）是前两个奇数
的相加，等于
2
的平方；
（
1+3+5
）是前
3
个奇
数相
加，
，
等于
3
的平方；
（
1+3+5+7
）
是前
4
个奇数相加
，
通过与前面算式进行类比，
猜想应该等于
4
的平方；
（
1+3+5+7
）＝
16
。
42=
16
，猜想正确，那么最后的算式
是前
50
个奇数相加等于
50
的平方。
因此可以归纳出一般的规律：
前
n
个奇数相
加的和等于
n
的平方。
（
2
）归纳思想。不完全归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数
学中很多去处法
则、
公式、
定律等的推导，
都是在例举
几个特殊例子的基础上得
出的。如根据
40+56
＝
56+40
，
28+37
＝
37+28
，
120+80
＝
80+120
等几个
有限的例
子，得出加法交换律。
《数学课程标准》特别强调培养
学生探索图形和数的排列
规律，探索规律的过程就是一个应用不完全归纳法的过程。
案例
2
：观察下
面的一组算式，你能发现什么规律？
14+41
＝
55
，
34+43
＝
77
，
27+72
＝
99
，
46
+64
＝
110
，
38+83
＝
121
18
分析：
通过观察版式，
能够发现这样一些规律：
所有的版式都是两位数加两
位数，
每个版式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换，
变成另一个加数。
再进一步观察，
所算式的得数有两位数也
有三位数，
它们有什么共同的规律呢？
把它们分别分解质因数发
现，每个数是者
11
的倍数。这样就可以大胆猜想并归
纳结论：两个互换个位数和十位数的两位数相加，结果是
11
的倍数。再举例验
证：
57+75
＝
132
＝
11×
12
，
69+96
＝
165
＝
11×
1
5
，初步验证猜想是正确的。那么
如
何
进
行
严
密
的
数
学
证
明
呢
？
可
高
任
意
一
< br>个
两
位
数
是
ab=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11
b=11(a+b),
从而证明了结论的正确。
（
3
）三段论。在人们的传统观念中，小学几何是实
验几何，很难在演绎推
理证明方面有所渗透。
同时，
在实践阶段，
培养学生的演绎推理能力是重要的教
学目标之一；
然而对于部分初中学生而言，
这部分知识又是学习
中的难点。
那么，
在小学高年级，
能否
进行演绎推进思想的渗透，
从而使刚升入初中的学生的演绎
推理
的初步经验呢？下面的安全也许能说明问题。
案例
3
：如下左图，两条直线相交形成
4
个角，你能说明∠
2
＝∠
4
吗？
分
析：此题在初中要根据
“
同角的补角相等
”
来证明对顶角相等，那么，在小
学阶段，如何根据已有知识
进行简单的证明呢？我们已经知道平角等于
180
度，
再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最简单的证明：
因为∠
1
和∠
2
、
∠
1
和∠
4
分别组成平角，
所以∠
1+
∠
2=180°
、
∠
1+
∠
4=180°
，
根据加减法各部分间的关系，
可得∠
2=180°
-
∠
1
、
∠
4=180°
< br>-
∠
1
，
根据等量代换，
可得∠
2=
∠
4
。
再看右上图，
在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和
，在小学阶段同样可以类似得到证明。
小学数学思想方法的梳理（五）
王永春（课程教材研究所）
五．方程和函数思想
1
、方程和函数思想的概念。
方程和函数试初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工
具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，
因此，
本文将二者放在一起进行讨论。
（
1
）
方程思想。
含有未知数的等式叫方程
，
判断一个式子是不是方程，
只需要同时满足两个
条件
;
一个是含有未知数，另一个必须是等式。如有
些小学老师经常有疑问的判
断题
;x=0
和
x=1
是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件
，都是方
程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，
可以分为一元一次方程、
一元
二次方程、<
/p>
二元一次方程、
三元一次方程等等，
这些
都是初等数学代数领域中最
基本的内容。
方程思想的核心是将问
题中未知量用数字以外的数学符号
（常用
x
、
y
等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程
模型。方程思想体现了
已之与未知数的对立统一。
(2)
函数思想。
19
设集合
ab
是两个非空数集，
如果按照某种确定的对立关系
f
，
如果对于集合
a<
/p>
中的任意一个数
x,
在集合
b
中都有唯一确定的数
y
和
它的对应，那么就称
y
是
x
的函数，记作
y=f(x)
。其中
x
叫做自变量，
x
的取值范围
a
叫做函数的定义域；
y
叫做函数或因变量，与
x
相对应的
< br>y
的值叫做函数值，
y
的取值范
围
b
叫做值
域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，
自变量只有一个与之对应的函
数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的关系，
一个变量的取值发
生了变化，
另一个变量的取值也相
应发生了变化，
中学里学习的正比例函数、
一
< br>次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实
际
现实中变量的变化而相应变化，
这样的函数是多元函数。
虽然在
中小学里不学
习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径
r
和圆柱的高的关
系
;v=
πr2 h.
半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通
过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，
从而构建函数模型。<
/p>
函数思想体
现了运动变化的、普遍性的观点。
2
．方程和函数的区别。
从小学数学到中学数学，
数与代数领域经历了从算数到方程。
算术研究具体
确定的常数以及他们之间的数量关系。
< br>方程研究确定的常数与未知的数量之间的
关系。函数研究变量之间的数量关系。<
/p>
方程和函数虽然都是表示数量关系的，
但是他们有本质的区别。
如二元一次
的不定方程中的未知数往往
是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是量
变，因此二者有本质的不同。方程必须
有未知数，未知数是常量，而且一定用等
式的形式呈现，二者缺一不可，如
2x-4=6
。而函数至少要有两个变量，两个变
量
依据一定的法则相对应，
呈现的形式可以有解析式、
图像法和列
表法等，
如集
合
a
为大小等于
1
、小于等于
10
的整数，集合
b
为小于
20
的正偶数。那么两个
集合的数之间的对应关系可以用<
/p>
y=2x
表示，还可以用如下的表格表示。
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
人们运用方程思想，
一边关注的
是通过设未知数如何找出数量之间的相等关
系构建方程并求出方程的解，
从而解决数学问题和实际问题。
人们运用函数思想，
一
般更加关注数量之间的对应关系，
通过构建函数模型并研究函数的一些性质来
解决数学问题和实际问题。
方程中的未知数往往是静态的，
而函数的变量则是动
态的。方程已经有
3000
多年的历史，而函数概念的产生不过才
300
年。
（
2
）
方程和函数的关系。
（
3
）方程和函数虽然有本质的区别，但是他们同属代数领域，也有密切的
关系。如二元一次不定方程
ax+by+c=0
和一次函数
y=kx+b
，如果方程的解在实
数范围内，
函数的定义域和值域都是实数，
那么方程
ax+by+c=0
和经过变换可转
化
为
y=-a/bx-c/b,
它们在直角坐标系里画出来的图像
是一条直线。因此可以说一
个一元一次方程对应一个一次函数
.
如果使一次函数
y=kx+b
，中的函
数植等于
0,
那么一次函数转化为
kx
+b=0,
这就是一元一次方程
.
因此
,
可以说求这个一元一次
方程的解
,
实际上就是求使函数值伪的自变量的值
,
或者说求一次函数图象与
X
轴
交点的横坐标的值
.
一般地
< br>,
就初等数学而言
,
如今令函数
值为
0,
那么这个函数就转化为含有一个
未知数的方程
;
求方程的解
,
就是求使函数值为
0
的自变量的值
,
或者说求函数图像
与
X
轴交点的横坐标的值
.
3.
方程和函数思想的重要意义
.
20
16
世纪以前
,
人们主要是运用算术和方程方法解决现实生活中的各
种实际问
题
,
方程与算术相比
,
由于未知数参与了等量关系式的够建
,
更加便于人理解问题
分析数量关系并够建模型
,
因而方程在解决以常量为主要的实际问题中发挥了重
要作用<
/p>
,
到了
17<
/p>
世纪
,
随社会的发展
,
传统的研究常量的算术和方程已经不能解决
以研究两个变
量之间的关系为主的经济
,
科技军事等领域的重要问题
,
这时函数变
产生了
.
函数为研究运动变化的数量之间的依存
,
对应关系和构建模型带来了方便
,
从而能够解决比较复杂的问
题
.
概括的说
,
方程和函数思想是中小学数学
,
尤其是中学数学的重要内容
之一
.
方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面<
/p>
,
发挥着重要的不可替代
的作用
.
4.
方程和函数思想的具体运用
. <
/p>
小学数学在学习方程之前的问题
,
都通过
算术方法解决
,
在引入方程之后
,
小
学数学中比较复杂的有关数量关系的问题
,
都可以通过方程解决
,
方程思想是小
学
思想的重要思想
,
其中一元一次方程
是小学数学的必学内容
,
在小学数学里没有学
< br>习函数的概念
,
但是有函数思想的渗透
< br>,
与正比例函数和反比例函数最接近的正比
例函数和反比
例函数是小学数学的必学内容
.
另外
,
在小学数学的一些知识中也会
渗透函数思想
,
如数与数的一一对应体现了函数思想
.
< br>方程和函数是小学数学与初
中数学衔接的纽带
.
小学数学中方程和函数思想的应用如下表
.
思想
知识点
应用举例
方法
用一元一次方程解决整数和小数
等各种
方程
问题
分
数<
/p>
,
百
分数
和
比
用一元一次方程解决分数
,
百分数和比例
方程
等各种问题
思想
例
等量代换
二
(
三
)
元一次方程思想的渗透
鸡兔同笼
用方程解决鸡兔同笼问题
一个加数不
变
,
和随着另一个加数的变化
加法
而变化
,
可表示
为
Y=KX.
渗透正比例函数思想
<
/p>
一个因数不变
,
积随着另一个因数的变化
积的变化规律
而变化
,
表示为
Y=KX.
渗透正比例函数关系
除数不变
,
商随着被除数的变化而变化
,
可
表示为
Y=XK,
渗透正
比例函数思想
,
被除数
商的变化规律
不变
,
商随着除数的变化而变化
,
可表示为
Y=XK,
渗透反比例函数思想
函数
思想
正比例关系改写成
Y=KX,
就是正比
例函
正比例关系
数
反比例函数改写成
Y=XK,
就是反比例函
反比例关系
< br>
数
等差数列
,
等比数列
,
一般数列的每一
项与
数列
序号之间的对应关系
,
都可以看作是特殊的函
数关系
.
空间与图形
长方形<
/p>
,
正方形
,
平行
四边形
,
三角形
,
梯形
21
统计图表
4
方程和函数思想的教学
.
方程和函数都是义务教育阶段重要的数学思想方法
.
用方程和函数表示数量
关系和变化规律
,
< br>不仅体现方程和函数的思想的价值
.
也有助于学生形成模
型思想
.
根据课程标准的理念
,
方程和函数思想的教学应关注以下几点
.
(1)
方程中的字
X,Y
等代表具体的未知的常数
,
< br>即未知数
,
这是代数思
想和方程
思想的基础
.
(2)
正比例关系和反比例关系等函数关系中的字母
X,Y
等代表的是
变化的量
,
即变量
,
而且这两个量是相关联的量
,
一个量的变化
,
另一个量也会随着
变化
,
这是函数思想的基础
,
要让学生体会它们的区别
.
(3)
结合具体情境
,
通过分析数量关系来理
解等量关系
,
并用方程表示
等量关系<
/p>
,
再通过解方程解决问题
,
从而认识方程的作用
.
(4)
结合简单情境
,
认识成正比例的量或反
比例的量
,
通过分析数量关
系和变化规
律建立比例关系式
,
再通过解比例解决问题
.
(5)
能根据给出的有
正比例关系的数据在方格纸上画图
,
并根据其中
一个量的值估计另一个量的值
.
下面再结合案例谈谈方程和函数思想的教学
< br>案例
1:
妈妈买了
3
千克香蕉和
2
千克苹果
,
一共花了
16
元
.
苹果的价格是香
蕉的两倍多
1
元
,
苹果和香蕉
的单价各是多少
?
分析：题目涉及的是商品的数量单价和总价的关系
,
小学数学思想方法的梳理（六）
兵团教研室杨卫平
六、何变换思想
变换是数学中一个带有普遍性的概念，
代数中有数与式的恒等变换、
几何中
有图形的变化。
在初等几何中，
图形变换是一种重要的思想方法，
它以运动变化
的
观点来处理孤立静止的几何问题，
往往在解决问题的过程中能够收到意想不到
的效果。
1
、
初等几何变换的概念
初等几何变换是
关于平面图形在同一个平面内的变换，
在中小学教材中出现
的相
似变换、合同变换等都属于初等几何变化。合同变换实际上就是相似比为
1
的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反
射（轴对称）变换等。
（
1
）
平移变换。
将平面上任一点
P
变换到
P
＇
，使得：
（
1
）射线<
/p>
PP
＇的方向一定（
2
< br>）线段
PP
＇的长度一定，则称这种变换为平移变换。也
就是说一个图形与经过平移变
换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。<
/p>
平移变换有以下一些性质；
①图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。
22
的面积公式
< br>,
长方体
.,
正方体
,
圆柱
,
圆锥的体积
公式
,
圆的周长和面积公式都渗透了函数思
想
函数的列表法与统计表都有相似之处
②在平移变换之下两点之间的方向保持不变。如任意两点
A
与<
/p>
B
，变换后
的对应点为
< br>A
＇
B
＇
，则有
AB//A
＇
B
＇
。
③在平移变换之下两
点之间的距离保持不变。如任意两点
A
和
B
，变换后
的对应点
A
＇和
B
＇
，则有
AB=A
＇
B
＇
。
在解初等几何问题时，
常利用平移交换使分散的条件集中在一起，
具有更紧
凑的位
置关系或变换成更简单的基本图形。
（
2
）
旋转变换
在同一平面内，使原点
O
变换到它的自身，其他任何点
X
变换到
X
＇
，使
得：
（
1
）
OX
＇
=OX
；
（
2
）∠
XOX
＇
=
＠
(
定角
)
；则称这样的
变换为旋转变换。
O
为旋转中心，定角＠为旋转角。当＠＞
0
时，为逆时针方向旋转；当＠＜
0
时，
为顺时针旋转。
当＠等于平角时，
旋转变换就是中心对称。
通俗的说就是一个图
形围绕一个定点在不变的情况下转动一个角度的运动，
就是旋转。
在旋转变换下，
图形的方位可能有变化。
旋转变换有以下一些性质：
①
把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。
②
在旋转变换下，
任意两点
A
和
B
，
变换后的两点为
A′
和<
/p>
B′,
则有直线
AB
和直线
A′B′
所成的角为＠
.
③
在旋转变换下
< br>,
任意两点
A
和
B
变换后的对应点为
A′
和<
/p>
B′,
则有
AB=A′B′.
在解决几何问题时旋转的作用是使原有的图形的性质得以保持
,
但通过改变
其位置
,<
/p>
组合成新的图形
,
便于计算和证明
.
(3)
反射变换
在同一平面内
,
若存在一条定直线
L,
使对于平面上的任意一点
P
及其对应点
P′,
其连
线
PP′
的中垂线都是
L,
则称这种变换为反射变换
,
也就是常说的轴对称<
/p>
,
定
直线
L
称为对称轴
,
也叫反射轴
< br>.
轴对称有如下性质
:
①
把图形变为与之全等的图形
,
因而面积和周长不变
.
②
在反射变换下
< br>,
任意两点
A
和
B,
变换后的两点为
A′
和<
/p>
B′,
则有直线
AB
和
直线
A′
和
B′
所成的角的平分线为
L.
③
两点之间的距离保持不变
,
任意两点
A
和
B,
变换后的两点为
A′
< br>和
B′,
则有
AB=A′B′.
如果一个图形沿某一条直线折叠
,<
/p>
直线两旁的部分能够互相重合
,
这个图形
就
叫做轴对称图形
.
如果一个图形沿
某一条直线折叠
,
如果它能与另一图形重合
,
那么就说这两个
图形关于这条直线对称
< br>.
轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念
,
前者是指图形之间的关系或折
叠运动
,
后者是指一个图形
.
中小学数学中的很多图形
中都是轴对称图形
,
利用这
些图形的轴
对称关系
,
可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题
.
(4)
相似变换
在同一平面内
,
图形中的任意两点
A.B,
变换后的两点为
A′B′,
也就是任意线段
AB
变换成
< br>A′B′,
总有
A′B′=K·AB(K
＞
O,
且为常数
),
则称为相似变换
.
通俗地说就是
一个图形按照一定比例放大或缩小
,
图形的形状不变<
/p>
.
其中的
k
称为
相似比或相似
系数
,
当
k=1
时
,
即为合同变换
.
相似变换有以下一些性质
:
①
两个图形的周长的比等于相似比
.
②
两个图形的面积的比的平方
.
23
③
两条直线的夹角保持不变
.
生活中的许多现象都渗透着相似变换的
思想
,
如物体和图形在光线下
的投影、
照片和图片的放大和缩小、零件的图纸等等
,
因而利用相似变换
可以解
决生活中的一些几何问题
.
2.
几何变换思想的重要意义
.
课程改革以来
,
几何的教学已经由传统
的注重图形的性质
,
周长
,
面积和体
积等的计算
,
演
绎推理能力转变为培养空间观念
,
计算能力
,
推理能力及观察
,
操作
,
实验能力并重的全面的
,
和谐的发展
.
其中推理不仅仅重视演绎推理
,
还特别强调
合情推理
.
也就是说
,
新课程的理念在几何的育人功能
方面注重空间观念
,
创新精
神
,
探索能力
,
推理能力
,
计算能力
,
几何模型等全面
,
和谐的发展
.
而图形变换作为几
何领域的重要内容和思想方法之一
< br>,
在几何的育人方面发挥着非常重要的作用
.
图
形变换来源于生活中物体的平移
,
旋转和轴对称的这些运动现象
,
因而了解图形的
变换
,
有利于我们认识生活中丰富多彩的生
活空间和形成初步空间观念
.
利用图形
变换把静止的几何问题通过运动变化
,
找到更加简捷的解决问题
的方法
.
3.
何变换思想的具体运用
.
图形变换作为空间与图形领域的重要内容之一
,
在图形的性质的认识
,
面积
公式的推倒
,
面积得计算
,
图形设计和欣赏
,
几何的
推理证明等方面都有重要的应
用
.
小学数学中几何变换思想的应用如下表
.
思想方法
知识点
应用举例
轴对称
画
简
单
的
认识轴对称图形
< br>,
画一个简单的轴对称图
轴对称图形
形
平移变换
认识平移
< br>,
判断生活中物体的运动那些是平移现象
;
把
简
单
图
< br>形
平
画出一个简单图形沿水平方向
,
竖直方向平移
移
,
后的图形
旋转变换
感
知
旋
转
判断生活中物体的运动那些是旋
转现象
现象
把
简
单
的
画
出一个简单图形顺时针或逆时针旋转
图形旋转
90°
90°
后的图形
合同变换
图
形
的
性
平行四边形
,
三角形
,
梯形和圆的面积公式<
/p>
质
,
面积的计算
的推导等都渗透了几何变换思想
图<
/p>
案
的
欣
判断一些
图案是由一些基本图形经过什
赏和设计
么变化得到的
;
利用平移
,
旋转
,
轴对称等变换
,
设计美丽的图案
把简单图形
画出长方形
,
正方
形
,
三角形等简单的图形
相似变换
放大或缩小
按照一定的比例放大或缩小的图形
4.
几何变换思想的教学
.
(1)
课程标准关于图形变换的数学要求
.
课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次
;
24