(完整版)高次方程及解法
元宝塔-
高次方程及解法
江
苏
省
通
州
高
级
中
< br>学
徐
嘉
伟
一般地，
我们把次数大于
2
的整式方程，
叫做高次方程。
由两个
或两个以上高次方程组成的方程组，
叫做高次
方程组。
对于一元五次
以上的高次方程，
是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次
以下的高次
方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“
1
判根法”
、
“常数项约数法”
、
“倒数方程求根法”
、
“双
二次方程及推广
形式求解法”
等方法，
将一元五次以下的高次方程消元、
换元、
降次，
转化成一次或二次方程求解。
一、
1
判根法
在一个一元高次方程中，
如果各项系数之和等于零，
则
1
是方程
的根；
如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，
则
-1
是方程的根。
求出方程的
1
的根后，将原高次方程用长除法或因式分解
法分别除
以（
x-1
）或者（
x+1
）
,
降低方程次数后依次求根。
“
1
判根法”
是解一元高次方程最简捷、
最快速的重要方法，
一定要熟练掌握运用。
例
1
解方
程
x
4
+2x
3
-9x
2
-2x+8=0
解：
观察方程
,
因为各
项系数之和为
:1+2-9-2+8=0(
注意
:
一定把
常数项算在偶数项系数当中
< br>),
根据歌诀“系和零
,+1
根
”
,
即原方程中
可分解出因式
(x-1),
(x
4<
/p>
+2x
3
-9x
2
-2x+8)
(x-1)= x<
/p>
3
+3x
2
-6
x-8
观察方程
x
3
+3x
2
-6x-8=0<
/p>
，
偶次项系数之和为：
3-8=-5
；
奇次
项系数之和为：
1-6=-5
，根据歌诀“偶等奇，根
< br>-1
”
，即方程中含
元二次方程
x
2
+2x-8=0
< br>有（
x+4
）
（
x-2
）
=0,
原高次方程
有因式（
x+1
）
，
（
x
3
+3x
2
-6x-8
）
(x+1)=x<
/p>
2
+2x-8
，对一
x
4
+2x
3
-9x
2
-2x+8=0
可分解因
式为：
(x-1)
(x+1)(x-2)(x+4)=0,<
/p>
即
:
当
(x-1
)=0
时
,
有
x
1
=1;
当
(x+1)
＝０时，有
x
2
=
-1;
当
(x-2)
=0
时，有
x
3
=2;
当
(x+4)=0
时，有
x
4
=-4 <
/p>
点拨提醒
：
在运用
“
1
判根法”
解高次方程时，
一定注意把
“常
数
项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法
根据定理
:
“
如果整系数多项式
a
n
x
n
＋
a
n-1
x
n-1
+
+a
1
x+a
0
可分
解出因式
P
x-
Q
,
即方程
a
n
x
n
＋
a
n-1
x
n-1
+
+a
1
x+a
0
=0
有有理数根
Q
P
（Ｐ、
Q
是互质
整数）
，那么，Ｐ一定是首项系数
a
n
的约数，
Q
一
定是常数项
a
0
的约数”
，
我们用
“常数项约数”
很快找到求解方程的
简捷方法。
“常数项约数求根法”分为两种类型：
第一种类型
：首项系数为
1
。对首项
（最高次数项）系数为
1
的
高次方程，
直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程
值为零的约数，就是方程的根。
依次用原方程除以带根的因式，逐次
降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。<
/p>
例
1
解方程
x
4
+2x
3
-4x
2
-
5x-6=0
解：
第一步
：首先列出
“常数项”
-6
的所有约数
1
、
2
、
3
、
< br>
6
第二步
：
将这些约数逐一代入原方程验算，
确定原方程中所含的
“带根”
因式。
< br>根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项
系
数
和
，
排
除
1
根
，
f(2)=16+16-16-10-6=0
f(-3)=81-54-36+15-6=0,
所以原方程中含有因式（
x-2
）
（
x+3
）
第三步
：用长除法将原方程降次。
（
< br>x
4
+2x
3
< br>-4x
2
-5x-6
）
(x-2)
(x+3)=
x
2
+x+1
第四步
：解一元二次方程
x
2
+x+
1=0
b
b
2
4
a
c
1
1<
/p>
2
4
1
1
1
3
i
x=
=
< br>2
a
2
2
1
3
i
1
3
i
,
x
2
=
,
x
3
=2
x
4
= -3
x
1
=
2
2
第二种类型
，首项系数不为
1
。对首项系数不为
１的高次方程，
首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方
程的常数项列出公约数。
特别注意此时代入方程验算的值一定是
而
不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐ
x
－Ｑ）
，其余的解法步骤同
Q
P
首项系数为１的解法步骤相同。
例２
解方程３
x
3
-
２
x
2
＋９
x
-6
＝０
解：将原方程化为
３（
x
3
-
x
< br>2
＋３
x
-
２）＝０
此时，
“常数
项”为
< br>-2
，它的约数为
1
，
2
，根据“
1
判根法”排除
1
，这<
/p>
时，代人原方程验算的只能是
=
，或
= -
2
2
Q
3
3
P
2
3
2
< br>2
2
2
8
8
2
2
2
=3
0=0
f
(
)
=3<
/p>
3
2
3
3
3
3
3<
/p>
27
27
<
/p>
3
Q
P
2
3
所以原方程中有因
式（
3
X
-2
）
。
（
3x
3
-<
/p>
２
x
2
＋９
x
-6
）
(3x -2)=
x
2
+3
解方程式
< br>x
2
+3=0
x=
3<
/p>
i
3
i
3
i
，
x
1
=
，
x
2
=-
2
2
2
3
i
3
i
2
原方程的解为
x
1
=
，
x
2
= <
/p>
，
x
3
=
2
2
3
三、倒数方程求根法
1
、定义：
系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程
。
如
a x
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e=0,
其中，
a
e
,
b
d
或者
a= -e,b= -d
2
、性质
：倒数方程有三条重要性质：
（
1
）倒数方程没有零根
；
（
2
）如
果
a
是方程的根，则
也是方程的根；<
/p>
（
3
）
奇数次倒数方程必有一个根是
-1
或者
1
，
分解出因式
(x
+1)
或
(x-1)
后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。
3
、倒数方程求解方法
：
如果
a x
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e=0
是倒数方程，由于倒数方程没有
零根，
即
x
0,
所以，
方程两边同除以
x
2
得：
a(x
2
< br>+
令
x+
=y,
x
2
+
1
x
1
=y
2
-2,
即原方程变为：
2
x
1
1
)+b(x+
)+e=0,
x
x
2
1
a
ay
2
+by+(e-2a)=0,
解得
y
值，再由
x+
=y
，解得
x
的值
。
例
1
解方程
2 x
4
+3x
3
-16x
2
+3x+2=0
解
：
1
x
x
2
0
方
程
两
边
同
除
以
x
2
得
：