一元二次方程经典难题复习巩固(学生)
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经典专题系列
一元二次方程
一、
导入：
《
借锤子
》
有一个人想挂一张画。他有钉子，但没有锤子。邻居有锤子。于是他决定到邻居那儿去借
锤子。
就在这时候他起了疑心：要是邻居不愿意把锤子借我，
那怎么办？昨天他对我只是漫不经心地打招呼，也
许他匆匆忙忙，也许这种匆忙是他装出
来的，其实他内心对我是非常不满的。什么事不满呢？我又没有做
对不起他的事，是他自
己在多心罢了。要是有人向我借工具，我立刻就借给他。而他为什么会不借呢？怎
么能拒
绝帮别人这么点儿忙呢？而他还自以为我依赖他，仅仅因为他有一个锤子！我受够了。
于是他迅速跑过去，按响门铃。邻居开门了，还没来得及说声“早安”
< br>，这个人就冲着他喊道：
“留着你的
锤子给自己用吧，你
这个恶棍！
”
大道理：消极的思想造
成错误的行为，积极的心态可以避免一切不必要的麻烦和错误。
二、
知识点回顾
（
1
）
一元二次方程的概念和方程
1
、一元二次方程概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是
2
的整式方程叫做一元二次方程。
2
、一元二次方程的一般形式：
，它的特征是：等式左边十一个关于未知数
x
< br>的二次多项式，等式右边是零，其中
叫做二次项，
叫做二次项系数；
叫做一次项，
叫做一次项系数；
叫做常数项。
（
2
）一元二次方程的解法
1
、直接开平方法
:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直
接开平方法适用于解
形如
(
x
a
)
b
的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
x
a
是
b
的平方根，当
b
0<
/p>
时，
2
x
a
b
，
x
a
b
，当
b<0
时，方程没有实数根。
2
、配方法
:
配方法的理论根据是完全平方公式
a
2
ab
b
(
a
b<
/p>
)
，把公式中的
a
看做未知数
x
，并用
x
代
替，则有
x
2
bx
b
(
x
< br>b
)
。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为
1
，再同时加上
1
次项的系数的
1
2
2
2
2
2
2
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一半的平方，最后配成完全平方公式
3
、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
<
/p>
一元二次方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
的求根公式：
公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为
a
，一次项的系数为
b
，常
数项的系数为
c
。
4
、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次
方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把
方程右边化为
0
，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里
指的是分
解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。
5
、韦达定理
利用韦达定理去了解，
韦达定理就是在一元二次方程中，
二根之和
=
，
二根之积
=
也
可以表示为
,
。利用韦达定理，可以求出一元二
次方程中的各系数，在
题目中很常用。
2
（
3
）一元二次方程根的判别式<
/p>
根
的
判
别
式
：
一
元
二
次
方
程
ax
bx
c
<
/p>
0
(
a
0
)
中
，
叫
做
一
元
二
次
方
程
2
ax
2
bx
c
0
(
a
< br>
0
)
的根的判别式，通常用“
”来表示，即
b
2
4
ac
。
I
当△
>0
时，一元二次方程有
实数根；
II
当△
=0
时，一元二次方程有
实数根；
III
当△
<0
时，一元二次方程
实数根。
（
4
）一元二次方程根与系数的关系
如果方程
ax
bx
c
0
(
a
0<
/p>
)
的两个实数根是
x
1
，
x
2
，
那么
x
1
x
2
2
b
c
，
x
1
x
2
。
也就是说，
a
a
对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系
数除以二次项系数所得的商的相反
数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。<
/p>
2
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三、
专题讲解
专题
1
含字母系数的一元二次方程
2
ax
bx
c
0
(
a
0
)
的方程叫一元二次方程，其中
a
、
b
、
c
分别为二次项系数、一次<
/p>
相关知识：形如
项系数、常数项。
【
1
】
解关于
x
的方程
a
(
x
x
1)
a
(
x
1)
(
a
1)
x
1
、
解关于
x
的一元二次方程
3
< br>x
2
ax
a
0
2
、
解关于
x
的一元二次方程
abx
(
a
< br>b
)
x
a
b
0
3
、
解关于
x
的一元二次方程
(2
x
3
x
2)
a
(1
x
)
b
ab
(1
x
)
3
2
2<
/p>
2
2
2
2
4
4
3
3
2
2
2
2
2
2
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专题
2
含有绝对值符号的一元二次方程
【例
2
】解方程：
x
|
2
x
1|
4
<
/p>
0
1
、
解方程
：
x
|
x<
/p>
|
1
0
2
、解方程
2
x<
/p>
3
|
x
|
1
0
3
、解方
程
x
2
a<
/p>
|
x
|
3
a
0
2
2
2
2
2
专题
3
一元二次方程的有理根
【例
3
】设
a
为任意的有理
数，
b
为何值时，方程
2
x
(
a
< br>
1)
x
(3
a
4
a
b
)
0
的根是有理数？
4
2
2
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1
、
设
a
为有理数，求当
b
为何值时，关于
x
的方程
x
3(
a
1)
x
(2
a
a
b
)
0
的根是有理数？
2
、
已知关
于
x
的方程
x
4(
m
1
)
x
3
m<
/p>
2
m
2
k
0
对于任意有理数
m
均有有理数根，试求
k
的
值？
3
、
m
为有理数，求问
k
为何值时，关于
x
的方程
x
4
mx
4
x
3
m
2
m
2
k
0
的根为有理数？
2
2
2
2
2
2
专题
4
一元二次方程的判别式
2
【例
4
】
设方程①：
x
2
x
m
0
无实根，判断方程②：
x
2
mx
1
2(
m
<
/p>
1)(
x
1)
0
的根的
2
2
2
情况。
5