元二次方程的四种解法
马勃牛溲-
一元二次方程的解法
（
1
）一元二次方程的概念
一、考点、热点回顾
1
、一元二次方程必须同时满足的三个条件
:
(1)
(2)
(3)
2
、一元二次方程的一般形式
:
二、典型例题
例
1
：判断下列方程是否为一元二次方程：
①
x
2
x
1
②
x
2
1<
/p>
③
x
2
2
x
3
y
0
④
x
2
< br>
3
(
x
1
)(
x
4
)
⑤
ax
2<
/p>
bx
c
0
⑥
mx<
/p>
2
0
（ｍ是不
为零常数）
例
2
：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项
.
(5)
(
x
2
)
2
3
(6)
(
x
3
)(
x
3
)
0
例
3
：当
m
________
时，关于
x
的方程（
m+2
）
x
|m|
+3mx+1=0
是一元二次方程。
三、课堂练习
1
、下列方程中，关于
x
的一元二次方程是（
）
A
.3(
x
1)
2
2(
x
1
)
B
.
1
1
2
0
x
2<
/p>
y
C
.
ax
2
bx
c
0
< br>D
.
x
2
2
x
x
2
1
2
、
用换元法解方程
(x
2
＋
x)
2
＋
(x
2
＋
x)
＝
6
时，
如果设
x
2
＋
x
＝
y
，
那么
原方程可变
形为（
）
A
、
y
2
＋
y
－
6
＝
0
B
、
y
2
－
y
－
6
＝
0
<
/p>
C
、
y
2
－
y
＋
6
＝
0
D<
/p>
、
y
2
＋
y
＋
6
＝
0
3
、已知两数的积是
12,
这两数的平方和是
25,
以这两数为根的一元二次方程是
___________.
2
4
、已知关于
x
的一元二次方程
x
(
k
1
)
x
6
<
/p>
0
的一个根是
2
，求
k
的值．
四、课后练习
1.
将方程
3
x
< br>(
x
1
)
5(
x
2)
化成一元二次方程的一般形式，得
；
其中二次项系数是
；一次项系数是
；常数项是
.
2.
方
程
(<
/p>
k
4)
x
2
5
x
2
k
3
0
是
< br>一
元
二
次
方
程
，
则
k
就
满
足
的
条
件
是
.
3.
已知
m
是方程
x
2
-x-2=0
的一个根，则代数式
m
2
-m=_____________
4.
在一幅长
80cm
，宽
50cm
的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形
挂图，如果要使整个挂图的面积是
5400cm
2
，设金色纸边的宽为
xcm
，则
x
满足
的方程是（
）
（
A
）
x
2
130
x
1400
<
/p>
0
（
B
）
x
2
65
x
350
0
（
C
）
x
2
130
x
1400
0
（
D
）
x
2
65
x
350
0
2
5
．关于
x
的方程
(
m
3
)
x
nx
< br>m
0
，在什么条件下是一元二
次方程？在什么
条件下是一元一次方程？
（
2
）
--
直接开方法
一、考点、热点回顾
1
、了解形如
x
2
=a(a<
/p>
≥
0)
或
(x<
/p>
＋
h)
2
= k
(k
≥
0)
的一元二次方程的解法
——
直接
开平方法
小结：如果一个一元二次方程具有
(
x
m
)
2
n
(
n
0
)
的形式，那么就可以
< br>用直接开平方法求解。
（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的<
/p>
左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）
【复习回顾】
1.
< br>方
程
(
k
4)
x
2
5
x
2<
/p>
k
3
0
是
一
元
二
次
方
程
，
则
k
就
满
足
的
条
件
是
.
2.
若（
a+1
）
x
2
+(x-1)
2
=0
二次项的系数为
-2
,
则
a=
二、典型例题
例
1
：解下列方程：
（
1
）
x
2
＝
2
（
2
）
4x
2<
/p>
－
1
＝
0
例
2
、解下列方程：
⑴<
/p>
(
x
1
)
2
2
⑵
(
x
1
)
2
4
0
⑶
12
(
3
x
)
2
3
0
推荐例
3
：用直接开平方法解下列方程
（
1
）
1
2
2
2
3
x
1
15
0
（
2
）
x
3
4<
/p>
2
x
1
（
3
）
x
2
2
ax
a
< br>2
b
0
4
三、课堂练习
1.
< br>若方程（
x-4
）
2
=m-6
可用直接开平方法解
< br>，则
m
的取值范围是（
）
A
．
m
＞
6
B
．
m
≥
o
C
．
m
≥
6
D
．
m=6
2.
方程（
1-x
）
< br>2
=2
的根是（
）
、
3
、
-3
2
、
1+
2
2
、
2
+1
3.
方程
(3x
－
1)
=
－
5
的解是
。
4.
用直接开平方法解下列方程：
<
/p>
(1)4x
2
=9
；
(2)
（
x+2
）
2
=16
(3)(2x-1)
2
=3;
(4)3(2x+1)
2
=12
2
四、课后练习
1
、
4
的平方根是
________
______
，方程
x
2
4
的解是
_______
_________.
2
、方程
x
1
1
的根是
_________
，方程
4
< br>
x
1
1
的根是
____________.
3
、
当
x
取
___
_
___
时，
代数式
x
2
5
的值是
2
；
若
x
2
81
0
，
则
x
＝
_________.
4
、关于
x
的方程
3
x
2
k
1
0
若能用直接开平方法来解，则
k
的取值范围是
（
）
A
、
k
＞
1
B
、
k
＜
1
C
、
k
≤
1
D
、
k
≥
1<
/p>
5
、解下列方程：
< br>2
1
2
（
1
）
x
2
0
（
2
）
5
x
4
6
3
9
2
< br>2
（
3
）
x
5
x
5
7
（
4
）
2
6
x
128
0
（<
/p>
5
）
0.5
y<
/p>
2
2
2
2
0
（
6
）
x
1
4
x
< br>2
3
2
6
、已知一个等腰三角形的两边是方程
4
(
x
1
0
)
2
0<
/p>
的两根，求等腰三角形的
面积
（
3
）
--
配方法
一、考点、热点回顾
1
、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（
x
＋<
/p>
h
）
2
=
k
（
n
≥
0
）形式的过程，
进一步理解配方法的意义；<
/p>
2
、填空：
（
1
）
x
2
+6x+ =(x+ )
2
；
(2)x
2
-2x+ =(x-
)
2
；
(3)x
2
-5x+
=(x- )
2
；
(4)x
2
+x+ =(x+
)
2
；
(5)x
+px+ =(x+
)
；
3
、将
方程
x
2
+2x-3=0
化为
(x+h)
2
=k
的形式为
；
小结
1<
/p>
：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1
、把常数项移到方程右边；
2
、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平
方；
3
、利用直接开平方法解之。
小结
2
：当一元二次方程二次项系数不为
1
时，用配方法解方程的步骤：
①二次项系数化为
1
；②移项；③直接开平方法
求解．
2
2
二、典型例题
例１
:
将下列各进行配方：
⑴
x<
/p>
2
＋
10x
＋<
/p>
_____
＝
（
x
＋
_____
）
2
2
⑵
x
2
－
6x
＋
_____
＝
< br>（
x
－
_____
）
⑶
x
2
< br>－
5
2
2
x
＋
_____
＝（
x
－
____
）
⑷
x
2
+
b
x
＋
_____
＝（
x
＋
___
）
4
例２
:
解下列方程：
（
1
）
x
2
4
x
3
0
< br>（
2
）
x
2
3
x
1
0
推荐例
3
：用配方法解下列关于
x
的方程：
（
1
）
x
1
10
x
1
9
0
（
2
）
x
2
6
ax
9
a
2
4
b
2
0
例
4
：例
1
解方程：①
2
x
2
< br>
5
x
2
0
②
3
x
2
4
x
1
0
< br>例
5
、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离
h
（
m
）与抛
出后小球运
动的时间
t(s)
有如下关
系：
h
24
t
5
t
2<
/p>
。经过多少秒后，小球离上抛点的高度
是
16m
？
推荐例
6
：求证：对任意实数
x
，代数式
x
2
4
x
4
.
5
的值恒大于零。<
/p>
2
三、课堂练习
1.
完成下列配方过程：
（
1
）
x
2
+8x+ =(x+
)
2
（
2
）
x
2
-x+ =(x-
)
2
（
3
）
x
2
+ +4=(x+
)
2
（
4
）
x
2
- +
9
4
=
（
x-
）
2
2.<
/p>
若
x
2
-mx+
49
25
=(x+
< br>7
5
)
2
，则
m
的值为（
）
.
A.
7
5
7
14
14
5
C.
5
D.
-
5
3.
用配方法解下列方程：
(1)x
2
-6x-16=0
< br>；
(2)x
2
+3x-2=0
；
(3)x
2
+2
3
x-4=0
；
(4)x
2
-
2
3
x-
2
3
=0.
4.
已
知
直
角
三
角
形
的
三
边
a
、
b
、
c
，
且
两
直
角
边
a
< br>、
(a
2
+b
< br>2
)
2
-2(a
2
+b
2
)-15=0
，求斜边
c
的值。
5.
用配方法解方程
2y
2
-
5
< br>y=1
时，方程的两边都应加上（
）
A.
5
5
5
2
B.
4
C.
4
D.
5
16
+b
2
+2a-4b+5=(a+
)
2
+(b-
)
2
7.
用配方法解下列方程：
(1)2x
2
+1=3x
；
(2)3y
2
-y-2=0
；
(3)3x
2
-4x+1=0
；
(4)2x
2
=3-7x.
8.
若<
/p>
4x
2
-(4m-1)x+m
2
+1
是一个完全平方式，求
m.
四、课后练习
b
满
足
等
式