自然数的平方和公式的推导方法总结
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自然数的平方和公式的推导方法总结
自
然
数
的
平
方
和
就
是
1
2
2
2
3
2
< br>
n
2
(
n
N
)
，
它
的
结
果
是
1
n
(
n
1)(2
n
1)
。对于这一
结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法一
6
一总结如
下，与大家共享。
方法一：设数
列
{
a
n
}<
/p>
，其中
a
n
<
/p>
1
2
2
2
n
2
，则
1
2
1
{
< br>a
n
}
的一阶差数列记为
{
a
1
n
}
，其中
a
n
a
n
1
a
n
(
n
1)
，首项为
a
1
4
；
2
{
a
n
}<
/p>
的二阶差数列记为
{
a
< br>n
}
，其中
< br>2
1
2
2
2
a
n
a
1
n
1
a
n
(
n
2)
(
n
1)
，首项为
a
1
5
；
3
{
a
n
}
的三阶差数列记为
{
a
n
}
，其中
3
2
2
3
a
n
a
< br>n
1
a
n
(2
n
5)
(
2
n
3)
2
，
首项为
a
1
2
；
于是我们可知数列
{
a
n
}
为三阶等差数列。于是我们
应用下面方法求可求出数列
{
a
n
}
的通项。
2<
/p>
2
2
2
2
2
a
n
a
1
2
(
a
2
a
1
2
)
(
a
3<
/p>
a
2
)
(
a
n
a
n
1
)
3
3
3
1
=5+
a
1
a
2
a
n
1
=5+2+2+
„„
+2=
2
C
n
1
5
< br>(
n
2)
2
1
亦知当
n
1
时亦有
a
n
2
C
n
1
<
/p>
5
，
2
1
*
故有
a
n
2
C
n
1
< br>5,
n
N
1
1
1
1
1
1
1
a
1
n
a
1
(
a
2
a
1
)
(
< br>a
3
a
2
)
(
a
n
a
n
1
)
1
1
1
1
1
2
< br>2
=4+
a
1
2
a
2
a
< br>n
1
=
4
2(
C
0
C
1
<
/p>
C
2
C
n
2
)
5
C
n
1
2
1
=
2
C
n
1
5
C
n
1
4<
/p>
(
n
2)
2
1
亦知当
n
1
时亦有
a
1
2
C
5
C
n
n
1
< br>n
1
4
。
2
1
故有
a
1
n<
/p>
2
C
n
1
5
C
n
1
4,
n
< br>N
*
a
n
a
1
(
a
2<
/p>
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
n
a
n
1
)
1
1
=1+
< br>a
1
a
1
a
2
n
1
3
2
1
=
2
C
n
1
5
C
n
1
4
C
n
< br>1
1
3
2
1
知当
n
1
时亦有
a
n
2
C<
/p>
n
5
C
4
C
1
n
1
n
1
1
3
2
1
故有
a
n
2
C
n
5
C
4
C
,
n
N
*
< br>1
n
1
n
1
1
1
5
3
2
1
=
n
(
n
1)(2
n
1)
。
6
=
(
n
1)(
n
2)(
n
3)
(
n
1)(
n
2)
4(
n
1)
1
< br>
m
点评：在上面的推导方法中，首先对组合数
C
n
的定义进行了推广，规定
< br>
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1)
,
n
m
m
。
这样的推广对于组合数的性质并无影响
。
C
n
<
/p>
n
!
0,
n
m
m
m
1
m
1
< br>即
C
n
（下文中所用的组合数都
是推广后的组合
C
n
C
n
1
对于
<
br> <
br>n
k
n
时仍成立。
数）于是我们有
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
C
0
C
1
C
2
C
n
2
C
n
1
；
C
0
C
1
C
2
C
2
C
n
1
。
另外，
此种证法关键在于发现数列
{
a
n
}
是一个三阶等差数列，
从而应用组合数<
/p>
性质导出其通项。
如果我们将这一问题稍做推广，
就会得到
k
阶等差数列
{
a
n
}
通
项公式的一般形式，即
k
1
k
1
r
r
其中
a
1
r
表示数
列
{
a
n
}<
/p>
的
r
a
n
a
1
k
C
n
1
a
1
C
n
1
a
1
C<
/p>
n
1
a
1
,
r
1,2,3,
,
k
。
阶差数列的首项。
如果进一步推广，
就会发现，
数列
{
a<
/p>
n
}
为
k
阶等差数列的一个充要条件是数列
{
a
n
}
的通项是一个关于
n
的
k
次多项式。于是我们应用这一
结论，就会得到证法二。
证法二：
设数列
{
a
n
}
，其中
a
n
1
2
2<
/p>
2
n
2
，则由（
1
）知数列
{
a
n<
/p>
}
是一个
3
阶等
差数列，所以设
a
n
An
3
Bn
2
Cn
< br>D
。
又因
a
1
1
,
a
2
5,
a
3
14,
a
4
30<
/p>
，于是
A<
/p>
B
C
D
1
8
A
4
B
2
C
D
5
1
1
1
<
/p>
解得
A
,
B
,
C
,
D
0
3
< br>2
6
27
A
9
B
3
C
D<
/p>
14
64
A
16
B
4
C
D
30