自然数约数的个数及所有约数的和
斯卡布罗集市曲谱-
自然数约数的个数及所有约数的和
我们知道：一个数ɑ，如果能被数
b
整除，
b
就是ɑ的约数。
自然数
(
除了
1
以外
)
按照约数的多少
，可以分成质数与合数两类：质数只有
1
和它自己
两个约数；合数除了
1
和它自己以外，还有其它的约
数；
上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知
，在这些人们耳熟能详的知识
中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数
一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以
12
为例，
分解
质因数得到
12
＝
2
< br>2
×
3
。
在构成
12
的约数时，
质因数
2
，
可以取
2
个
(
即
2
2
＝
4)
、
1
个
(
即
< br>2
1
＝
2)
或者不取
(
即
2
< br>0
＝
1)
，有
< br>3
种方法，
“
3
”比质因数
2
的幂指数“
2<
/p>
”多
1
；对于质因数
3
，可以取
1
个
< br>(
即
3
1
＝
3)
或者不取
(
< br>即
3
0
＝
1)
，有
2
种方法，
“
2
”比质因数
3
的幂指数“
1
”多
1
。所以，总共可以组成
3
×
2
＝
6
个约数，分别是
2
2
×
3
1
＝
4
×
3
＝
12
，
< br>2
1
×
3
1
＝
2
×
3
＝
6
，
2
0
×
3
1
＝
1
×
3
＝
3
，
2
< br>2
×
3
0
＝
4
×
1
＝
4
，
2
1
×
3
0
＝
2
×
1
＝
2
，
2
0
< br>×
3
0
＝
1
×
1
＝
1
。
推广到一般：如果一个数
N
＝ɑ
i
b
j
„
c
k
，其中，ɑ、
b
、„、
c
是
N
的质因数，
i
、
j
、„、
k
是这些质因数的幂指数。
N
的约数的个数等于：
(i
＋
1)(j
＋
1)
„
(k
＋
1)
以
360
为例，
360
＝
2
3
×
3
2
×
5
。质因数
2
、
3
、
5
的幂指数分别是
3
、<
/p>
2
、
1
，所以<
/p>
360
的约
数有
(3
＋
1)(2
＋
1)(1
＋
1)
＝
24
个。
检验：
360
的约数有
360
、
180
、
120
、
90
、
72
、
60
、
45
、
40
、
36
、
30
、
24
、
20
、
18
、
15
、
12
、
10
、
9
、
8
、
6
、<
/p>
5
、
4
、
3
、
2
、
1
，共
24
个。
二、约数的总和
仍
以
12
为例，
12
＝
2
2
×
3
。根据上面所说的
12
的约数的构成
，这些约数的总和等于：
2
2
×
3
1
＋
2
1
×
3
1
＋
2
0
×
3
1
＋
2
2
×
3
0
＋<
/p>
2
1
×
3
0
＋
2
0
×
3
0
，
化简后得到：
(2
2
＋
2
1
＋
2
0
)(3
1
＋
3
0
)
。
所以，
12
的约数总和等于：
(4
＋
2
＋
1)(3
＋
1)
＝
28
。
检验：
12
的约数有
< br>12
、
6
、
4
、
3
、
2
、
1
，
12
＋
6
＋
4
＋
3
＋
2
＋
1
＝
28
。
推广到一般，如果一个数
N
＝ɑ
i
b
j
„
c
k
，
其中ɑ、
b
、„、
c
< br>是
N
的质因数，
i
、
j
、„、
k
是这些质因数的幂指数。
N
的约数总和等于：
(
ɑ
i
＋ɑ
< br>i-1
＋ɑ
i-2
＋„＋ɑ＋<
/p>
1)(b
j
＋
b
j-1
＋
b
j
-2
＋„＋
b
＋
1)
„
(c
k
＋
c
k-1
＋
c
k-2
＋„＋
c
< br>＋
1)
这个结果可以化简：
由恒等式
(x
－
1)(x
n-1
＋
x
n-2
＋„＋
x
＋
1)
＝
x
n
－
1
推知，
(x
－
1)(x
n
＋
x
n-1
＋„＋
x
＋
1)
＝
x
n
＋
1
－
1
，
1
x
n
<
/p>
1
1
于是，<
/p>
(x
＋
x
＋„＋
x
＋
1)
＝<
/p>
。所以，
x
1
a
i
1
1
b
j
1
1
c
k
< br>1
1
N
的约数总和等于：
×
ׄ×
a
1
b
1
c
1
n
n-1
仍以
360
为例。
360
＝
2
3
×
3
2
×
5
，
360
的约数总和是：
2
3
1
1
3
2
1
1
5
1
1
< br>1
×
×
＝
15
×
13
×
6
＝
1170
。
2
1
3
1
5
<
/p>
1
检验：
36
0
的约数前面已经给出，
360
＋
180
＋
120
＋
90
＋
72
＋
60
＋
45
＋
40
＋
36
＋
30
＋
24
＋
20
＋
18
＋
15
＋
12
＋
10
＋
9
＋<
/p>
8
＋
6
＋
5
＋
4
＋
3
＋
2
＋
1
＝
1170
。
三、完全数
一个数的所
有约数中，也包括这个数自己，除此之外，其余的约数都小于这个数，称为
这个数的真约
数。
如果一个数的真约数之和正好等于这个数，这个数就叫做
完全数。如，
6
的真约数有
3
、
2
、
1
，
3
＋
2
< br>＋
1
＝
6
，
所以
6
就是一个完全数，
而且是最小的完全数。
更大的完全数有
28
、
496
、
812
8
、„„
早在两千多年以前，欧几里
得就曾经给出了偶完全数的计算公式：
2
n-1
(2
n
< br>－
1)
式中，
n
是大于
1
的自然数，并且
2
n
－
1
必须是
质数。这样就产生了另一个要求：式中
的
n
不能是合数。因为：
如果
n
是偶合数，设
n
＝
2m
，
2
n
－
1
＝
2
2m<
/p>
－
1
＝
(2
m
＋
1)(2
m<
/p>
－
1)
，
2
n
－
1
等于两个数
的积，
2
n
－
1
就是合数，这是不允许的；
如果<
/p>
n
是奇合数，设
n
＝
pq
，
(p
、
q
为奇数
)
，
2
n
－
1
＝
2
pq
－<
/p>
1
＝
(2
p
)
q
－
1
。根据前面引用过
的恒等式
< br>x
n
－
1
＝
(x
－
1)(x
< br>n-1
＋
x
n-2
＋„＋
x
＋
1)
可得
2
pq<
/p>
－
1
＝
(2
p
)
q
－
1
＝
(2
p
－
1)[(2
p
)
q-1
＋
(2
p
)
q-2
＋„＋
(
2
p
)
＋
1)
]
2
n
－
1
等于两个数的积，
2
n
－
1
就是合数，同样是不允许的。
所以
n
只能是质数。
上面所说的
4
个完全数
6
、
28
、
496
、<
/p>
8128
，就是当
n
分别取前
4
个质数
2
、
3
、
5
< br>、
7
时
得到的。
第
1
个质数是
2
，当
n
＝
2
时，
2
n
< br>－
1
＝
2
2
－
1
＝
4
－
1
＝
3
，
3
是质数，所以第
1
个完全数是
2
n-1
(2
n
－
1)
＝
2
2-1
(2
2
－
1)
＝
2
×
(4
－
1)
＝
6
；
< br>
第
2
个质数是
3
，当
n
＝
< br>3
时，
2
n
－
1
＝
2
3
－
1
＝
8<
/p>
－
1
＝
7
，
7
是质数，所以第
2
个完全数是
2
n-1
(2
n
－
1)
＝
2
3-1
(2
3
－
1)
＝
4
×
(8
－
< br>1)
＝
28
；
< br>
第
3
个质数是
5
，当
n
＝
< br>5
时，
2
n
－
1
＝
2
5
－
1
＝
32
－
1
＝
31<
/p>
，
31
是质数，所以第
< br>3
个完全
数是
2
n-1
(2
n
－
1)
＝
2
5-1
(2
5
－
1)
＝
16
×
(32
－
1)
＝
496
；
2