由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
是非只为多开口-
自然数平方和公式
Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n
+1)(2n+1)/6
怎么推导？
利用
(n+1)³
< br>-n³
=3n²
+3n+1
即可
1³
-0
³
=3×
0²
+3×
< br>0+1
2³
-1³
=3×
1²
+3×
1+
1
3³
-2³
=3×
2²
+3×
2+1
4³
-3³
=3×
3²
+3×
3+1
……
(n+1)³
-n³
=3n²
+3n+1
∴
(n
+1)³
＝
3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)
……
S
n=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6
设
S=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 =
3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面
n
个
式子相加得：
(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2]
+3*[1+2+....+n] +n
所以
S=
(1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] =
(1/6)n(n+1)(2n+1)
方法
1
：由
（
n+1
）
^3-n^3=3n^2+
3n+1,
利用叠加法可得
3(1^
2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=
（
n+1
）
^3-1.
由此等式可得
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1
)/6.
方法
2:
由组合数性质可得
:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1
),
即
2×
1/2+3×
2/2+4×
3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1
)/6
整理得
(1^2+2^2+3^2+...+n^2)
-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3,
所以
1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n
)=...
1
+2
+3
+…+n
=n(n+1)(2n+1)/6
，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出
其直接的推导过程。其实
，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
2
2
2
2
设：
S
=1
+2
+3
+…+n
另设：
S
1
=1
+2
+3
+…+n
+(n+1)
+(n+2)
+(n+3)
+…+(n+n)
，此步设题是解
题
的
关
键
，<
/p>
一
般
人
不
会
这
么
去
设
想
。
有
了
此
步
设
题
，
第
一
：
S
1
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+
3)
2
+…+(n+n)
2
中
的
1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=S
，
(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
可
以
展
开
为
(n
2
+2n+1
2
)+(
n
2
+2×2n+2
2
)
+( n
2
+2×3n
+3
2
)+…+( n
2
+2×nn+n
2
)=n
3
+2n(1+2+3+…+n)+ 1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
，即
< br>S
1
=2S+n
3
+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
< br>
第二：
S
1
< br>=1
2
+2
2
< br>+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
可以写为：
S
1
=1
2
+3
2
+5
2
…+ (2n
-1)
2
+2
2
+4
2
+6
2
…+(2n)
2
，其中
：
2
2
+4
2
+6
2
…+
(2n)
2
=2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
)=4S……………………………………..(2)
1
2
+3
2
+
5
2
…+(2n
-1)
2
=(2×1
-1)
2
+(2×2
-1)
2
+(2×3
-1)
2
+…+
(2n
-1)
2
=
(2
2
×
1
2
-
2×2×1+1)
(2
2
×n
2
-
2×2×n+1)
2
+(2
2
×2
2
-
2×2×2+1)
2
+(2
2
×3
2
-
2×2×3+1)
2
+
…+
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
=2
2
×1
2
+2
2
×2
2
+2
2
×3
2
+…+2
2
×n
2<
/p>
-
2×2×1
-
2×2×2
-
2×2×3
-
…
-
2×2×n+n
<
/p>
=2
2
×(1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
)-
2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-
4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3
)
由
(2)+
(
3)
得
S
1
=
8S-
4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)<
/p>
由
(1)
与<
/p>
(4)
得：
2S+
n
3
+2n(1+2+3+…+n) =8S
< br>-
4(1+2+3+…+n)
+n
即：
6S=
n
3
+2n(1+2+3+…+n)+
4(1+2+3+…+n)
-n
=
n[n
2
+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n
+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S=
n(n+1)(2n+1)/ 6
2
：