自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法
盛开的牡丹-
自然数的
1
至
n
幂的求和公式的递进推导法
(
连载一
)
《自然数平方和公式推导及其应用》
（
/s/blog_
）
发表以来
,
得到了数学爱
好者的好评。其实，那是自然数平方
和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方
和以及自然数立方和公式与偶数、
奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。
如何
由二
项式定理推导自然数的
n
次幂的求和公式才是该数学问题的完美
思路，
其研
究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理
论意义，
比如它完全可以代
表等差数列
N
项的高次幂求和的思路与方法。
1
.
自然数的
1
至
n
次幂的求和的递进推导关系
1.
1
自然数的
1
次幂的求和
即
s=1+2+3+...+n
实际上是一个等差为
1
的等差数列求和
,
公
式为
s=n(n+1)/
2
1.2
自然数的
< br>2
次与二次以上幂的求和
s
=1
+2
+3
+...+N
(n
≥
2)
不是一个等差
数列，也
n
n
n
n
不是一个等比数列，
但通过二项式定理的展开式，
可以转化为按等差数列，
由低
次幂到高次幂递进
求和。
怎样转化为等差数列、
怎样由低次幂递进到高次幂这才<
/p>
是研究思路的重点。
当
n
为
奇数时，由
1
n
+2
< br>n
+3
n
+...+N
n
与
s=N
n
+(N-1)
n
+(N-2)
< br>n
+...+1
n
相加得
:
2s=N
n
+[1
n
+(N-1)
n
]+[2
n
+(N-2)
n
]+[3
n
+(N-3)
n
]+...+[(N-1)
n
+(N-N-1)
n
]+N
n
<
/p>
=
N
+N
+N<
/p>
+...+N
加或减去所有添加的二项式展开式数
n
n
n
n
=(1+N)N
n
减去所
有添加的二项式展开式数。
<
/p>
当
n
为偶数时，由
1
n
+2
n
+3
n
+...+N
n
与
s=N
n
+(N-1)
n
+(N-2)
n
+...+1
n
相加得
:
2s=N
n
+[1
n
+(N-1)
n
]+[2
n
+(N-2)
n
]+[3
n
+(N-3)
n
]+...+[(N-1)
n
+
(N-N-1)
n
]+N
n
=2
N
+2[(N-2)
+(N-4)
+(N-6)
+...0
或
1]
加或减去所有添加的二项式展开式
n
n
n
n
数
又当
n
为偶数时，由
1
n
+2
n
+3
n
+...+N
n
与
s=N
n
+(N-1)
n
+(
N-2)
n
+...+1
n
相加得
:
2s=
[N
n
+1
n
]+[(N-1)
n
+2
n
]+[(N-2)
n
+3
n
]+...+[(N-N-1)
n
+
(N-1)
n
]
=2[
(N-1)
+(N-3)
+(N-5)
+...0
或
1]
加或减去所有添
加的二项式展开式数
,
合
n
n
n
并
n
为偶数时
2S
的两个计算结果，可以得到
s=N
n
+(N-1)
n<
/p>
+(N-2)
n
+...+1
的计算
公式。
其中，
所有添加的二项式展开式数，
按
下列二项式展开式确定，
如此可以顺利进行自然
数的
1
至
n
幂的求和公式的递
进推导。
1.2.1
自然数的
2
次幂的求和
自
然数的
2
次幂的求和是自然数的二次以上幂的求和公式推
导的基础，它是自然数偶数次幂的开始和代表。
命
s=1
2
+2
2
+3
2
+…+N
2
,
则有
2s=(N
2
< br>+1
2
)+[(N-1)
2
+2
2
]+(N-2)
2
+3
2
]+…+{[N
-(N-1)]
2
+N
2
}
=
(N-1)
2
+2N+(N-3)
2<
/p>
+2
×
2(N-1)+(N-5)
2
+2
×
3(N-<
/p>
2)
+…+(N
-1)
2
+2N
[N-(N-1)]
=2[(N
-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5)
2
+…+1
或
0](
其中
N
为偶数时取
1,N
为奇数时取
0) <
/p>
+2N+2
×
2(N-1)+2
×
3(N-
2)+…+2N
[N
-(N-1)]
= 2[(N-1)
2
+(N-3)<
/p>
2
+(N-5)
2
+…+1
或
0]
+2N(1+2+
3+…+N)
-2[2
×
1+3
×
2+…+N (N
-1)]
=2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5
)
2
+…+1
或
0]+N
2
(1+N)
-2[1-
1+2
×
(2-1)+3
×
(3-
1)+…+N (N
-1)]
=2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5
)
2
+…+1
或
0]+N
2
(1+N)
-2(1+
2
2
+3
2
+
…+N
2
-1-2-3-
…
-N)
即
4s=2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5
)
2
+…+1
或
0]+N
2
(1+N)+N(1+N)…………………………
…….(1)
同理：
2s=N
2
+[1
2
+ (N-1)
2
]+[2
< br>2
+(N-2)
2
]+[3
2
+(N-3)
2
]…+{(N
-1)
2
+[N-(N-
1)]
2
}+N
2
=2N
2
+(N-2)
2
+2(N-1)
+(N-4)
2
+2
×
2(N-2)+(N-6)
2
+2
×
3(N-
3) +…+(N
-2
)
2
+2(N-1)[N-(N-1)]
=2[(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6
)
2
+…+1
或
0](
其中
N
为偶数时取
0,N
为奇数时取
1)
+2(N-1)+2
×
2(N-2)+2
×
3(N-
3)+…+2(N
-1)
[N-(N-1)]+2N
2
=2[(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+1
或
0]+2N
2
+2N(1+2+3+…+N
< br>-1)-2[1
2
+2
2
+3
2
+…+ (N
-1)
2
+N
2
- N
2
]
=2[(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+1
或
0]+4N
2
+N
2
(N-1)
-2[
1
2
+2
2
+
3
2
+…+ (N
-1)
2
+N
2
]
4s=2[(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+1
或
0]+4N
2
+N
2
(N-
1)……………………
………………….(2)
由
(1)+
(2)
得
: 8s=2[(N-1)
2
+(N-3)
2
+(N-5)
2
+…+1
或
0]+N
2
(1+N)+N(1+N)
+2[(N-2)
2
+(N-4)
2
+(N-6)
2
+…+1
或
0]+4N
2
+N
2
(N-1)
即
8s=2s+2N
2
+N
2
(1+N)+N(1+N)+N
2
(N-1)
s=N(N+1)(2N+1)/6
1.2.2
自然数的
2
次以上幂的求
和
从自然数的立方和开始探讨自然数的
2
次以
上幂的求和的递进规律，从而总结自然数的的
n
次幂的求和公式。
1.2.2.1
自然数的立方求和
命
s=1
3
+2
3
+3
3
+…+N
3
,
则有
2s=N
3
+[1
3
+[(N-1)
3
]+[2
3
+(N-2)
3
]+[3
3
+(N-3)
3
]+…+[(N
-1)
3
+(N-N+1)
3
]+N
3
=N
3
+[N
3<
/p>
-3(N-1)
2
-3(N-1)]+[
N
3
-3×
2(N-2)
2
-3×
2
2
(N-2)]+[N
3
-3×
3(N-3)
2
-3×
3
2
(N-
3)]+…+[N
3
-3(N-
N+1)(N-1)
2
-3(N-N+1)
2
(N-1)]+
N
3
=(N+1)N
3
-3(N-1)
2
-
3(N-1)-3×
2(N-2)
2
-
3×
2
2
(N-2)-3×
3(N-3)
2
-3×
3
2
(N-
3)+…
-3(N-N+1)(N-1)
2
-3(N
-1)(N-N+1)
2
=(N+1)N
3
-[3(N-1)<
/p>
2
+3(N-1)]-[3×
2(N-2
)
2
+3×
2
2
(N-2)]-[3×
3(N-3)
2
+3×
3
2
(N-
3)]+…
-[3(N-N+1)(N
< br>-1)
2
+3(N-1)(N-N+1)
2
]
=(N+1)N<
/p>
3
-3N(N-1)-3×
2N(N-2
)-3×
3N(N-
3)+…
-3N(
N-1)(N-N+1)
=(N+1)N
3
-3N[(N-1)+2(N-2)+3(N-
3)
+…+(N
-1)(N-N+1)]
=(N+1)N
3
-3N[N+2N+3N+...+(N
-1)N-1
2
-2
2
-3
2
-...-(N-1)
2
]
=(N+1)N
3
-3N
2
[1+2+3+...+(N-1)]
(
自然数的一次幂
)+3N[1
2
+2
2
+3
2
+...+(N-1)
2
](
自然数的二次
幂
)
<
/p>
=(N+1)N
3
-3N
3
(N-1)/2+(N-1)N
2
< br>(2N-1)/2
即
s=N
2
(N+1)
2
/4
< br>1.2.2.2
自然数的
4
次幂
求和
命
s=1
4
+2
4
+3
4
+…+N
4
,
则有
2s=N
4
+[1
4
+[(N-1)
4
]+[2
4
+(N-2)
4
]+[3
4
+(N-3)
4
]+…+
[(N
-1)
4
+(N-N+1)
4
]+N
4