赞美梅花的诗词-

平方和公式：

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)( 2n+1)/6

立方和公式：

1^ 3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

首先给出网上的推导：

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2* (2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+... +n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^ 2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n )+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/ 2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

......

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有

(n+1)^4-1=4 *(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3 +...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1) ^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n

=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

平方和的经典题目：

立方和的另类推导：

(1)