函数的极值和最值(讲解)
惠茹的故事-
函数的极值和最值
考纲要求】
1.
2.
3.
4.
掌握函数极值的定义。
了解函数的极值点的必要条件和充分条件
.
会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
会求给定闭区间上函数的最值。
知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数
f
(
x
)
在点
x
=
x
0
及其附近有定义，
(1)
若对于
x
0
附近的所有点
，都有
f
(
x
)
f
(<
/p>
x
0
)
，则
f
(
x
0
)
是函数
f
(
x
)<
/p>
的一个极大值，记作
y
极大值
=
f
(
x
0
)
；
.
(2 )
若对
x
0
附近的所有点，都有
f
(
x
)
f
(
x
0
)
，则
f
(
x
0
)
是函数
f
(
x
)
的一个极小值，记作
y
极小值
=
f
(
x
0
)
极大值与极小值统称极值
.
在定义中
，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函
数值
< br>.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①
确定函数的定义域；
②
求导数
f
③
求方程
f
(
x
)
；
(
x
)
=
0
的根；
④
检查
f
'(
x
)
在方程根左右的值的符号，如果左
正右负，则
f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右
正，则
f(x)
在这个根处取得极小
值
.(
最好通过列表法
)
要点二、函数的最值
1.
函数的最大值与最小值定理
若函数
y
=
f
(
x
)
在闭
区间
［
a
,
b
］
上连续，则
f
(
x
)
在
［
a
,
b
］
上必有最大值和最小值；在开区间
(
a
,
b
)
内连
续
的函数
f
(
x
)<
/p>
不一定有最大值与最小值
.
如
f
(
x
)
=
1
(
x
0)
.
x
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
第
1
页
共
8
页
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.
通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数
y
=
f
(
x
)<
/p>
在闭区间
［
a
,
b
］
有定义，在开区间
(
a
,
b
)
内有导数，则求函数
y
= <
/p>
f
(
x
)
在
［
a
,
b
］
上的最
大
值和最小值的步骤如下：
(1)
求函数
f
(
x
)<
/p>
在
(
a
,
b
)
内的导数
f
(
x
)
；
(2)
求方程
f
(
x
)
=
0
在
(
a
,
b
)
内的根；
(3)
求在
(
a
,
b
)
内使
f
(
x
)
=
0
的所有点的函数值和
f
(
x
)<
/p>
在闭区间端点处的函数值
f
(
a
)
，
f
(
b
)
；
(4)
比较上
面所求的值，其中最大者为函数
y
=
f
(
x
)
在闭区间
［
a
,
b
］
上的最大值，最小者为函数
y
=
f
(
x
)
在闭区间
［
a
,
b
］
上的最小值
.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
例
1.
已知函数
f
(
x
)
=
mx
3
+<
/p>
3
x
2
-
3
x
,
m
点
M
(1,
f
(1))
处的切线方程；
【解析】
f
'(
x
)
=
3
mx
2
+
6
x
-
3,
m
因为
f
(
x
)<
/p>
在
x
=
-
1
处取得极值
所以
f
'(
-
1)
=
3<
/p>
m
-
6
-
3
=
0
所以
m
=
3
。
又
f
(1)
=
3,
f
'(1)
=
12
所以
f
(
x
)
在点
M<
/p>
(1,
f
(1))
处的切线方程
y
-
3
=
12(
x
-
1)
即
12
x
-
y
-
9
=
0
.
举一反三：
【变式
< br>1
】设
a
为实数，函数
f
(
x
)
=
e
x
-
2
x
+
< br>2
a
,
x
(
1
)
求
f
(
x
)
的单调区间与极值；
(
2
)
求证：当
a
R
.
若函数
f
(
x
)<
/p>
在
x
= -
1
处取得极值，试求
m
的值，并求
f
(
x
)
在
R
.
R
．
ln2
-
1
且
x
0
时，
e
x
x
2
-
2
ax
+
1
．
R
知
f
(
x
)
=
e
x
-
2,
x
R
．
解析】
(
1
)
由
f
(
< br>x
)
=
e
x
-
2
x
+
2
a
,
x
令
f
(
x
)
=
0
，得
x
=
ln 2
．于是当
x
变化时，
f
(
x
),
f
(
x
)<
/p>
的变化情况如下表：
第
2
页
共
8
页
x
f
(
x
)
f
(
x
)
故
f
< br>(
x
)
的单调递减区间是
(
-
(
-
, ln 2)
－
单调递减
ln2
0
(ln2,
+
)
+
单调递增
2(1
-
ln2
+
a
)
,
ln2)
，单调递增区间是
(ln2,
+
)
，
f
(
x
)<
/p>
在
x
=
ln
2
处取得极小值，极小值为
f
(ln2)
=
e
ln
2
-
2ln2
+
2
a
=
2
(1
-
ln2
+
a
).
(
2
)
证明：设
g
(
x
)
=
e
x
-
x
2
+<
/p>
2
ax
-
1
，
x
R
于是<
/p>
g
(
x
)
=
e
x
-<
/p>
2
x
+
2
a
，
x
R
由
(<
/p>
1
)
知当
a
ln2
-
1
时，<
/p>
g
(
x
)
最小值为
g
(ln2)
=
2(1
-
ln2
< br>+
a
)
0.
R
，都有
g
(
x
)
0
，
所以
g
(
x
)
在
R
内单调递增．
于是对任意
x
于是当
a
ln2
-
1
时，对任意
x<
/p>
(0,
+
)
，都
有
g
(
x
)<
/p>
g
(0)
．
(0,
+
),
g
(
x
)
0
．
x
-
2
ax
+
1
．
而
g
(0)
=
0
，从而对任意
x
即
e
-
x
+
2
ax
-
1
0
，故
e
<
/p>
【变式
2
】函数
f
(
x
)<
/p>
的定义域为区间
(a
，
< br>b)
，导函数
f
'(
x
)
在
(a
，
b)
内的图如图所示，则函数
f
(
x
)
【答案】由极小值的定义，只有点
B
是函数
f
(
x
)
的极小值点，故选
A
。
类型二：利用导数解决函数的最值问题
高清课堂：函数的极值和最值
394579
典型例题三
】
例
2.
已知函数
f
(
x
)<
/p>
=
(
x
2
-
mx
+
m
)
e
x
,
其中
m
R
。
(
1
)
若函数
f
(
x
)<
/p>
存在零点，求实数
m
的取值范围；
(
2
)
当
m
0
时，求函数
f
(
x
)<
/p>
的单调区间；并确定此时
f
(
x
)
是否存在最小值，
如果存在，求出最
小
值，如果存在，请说明理由。
【解析】
(
1
)<
/p>
因为函数
f
(
x
)
存在零点，则
< br>x
2
-
mx
+
m
=
0
有实根，
第
3
页
共
8
页
=
m
2
-
4
m
0
，即
m
(
2
)
当
m
0
或
m
4
0
时，函数定义域为
R
f
(
x
)
=
(2
x
-
m
)
e
x
+
(
x
2
-
mx
+
m
)
e
x
=
(
x
2
+
2
x
-
mx
)
e
x<
/p>
=
x
(
x
+
2
-
m
)<
/p>
e
x
由
f
由
f
由
f
(
x
) <
/p>
=
0
，则
x
=
0
或
x
=
m
-
2
(
x
)
0
，则
x
<
/p>
0
或
x
m
-
2
(
x
)
0<
/p>
，则
m
-
2
x
0
列表如下：
x
f
'(
x
)
f
(
x
)
所以
f
(<
/p>
x
)
在
(
-
又知当
x
(
-
,
m
-
2)
+
增
m
-
2
0
极大值
(
m
-
2,0)
-
减
0
0
极小值
(0,
+
)
+
增
<
/p>
,
m
-
2)
，
(0,
+
)
上单调增，在
(
m
-
2,0)
上单调减。
m
-
2
且
→
-
时，
f<
/p>
(
x
)
0
；
x
0
且
→+
时，
f
(
x
)
0
；
0
，所以
f
(
x
)<
/p>
存在最小值
f
(0)
=
m
.
而
f
(0)
=
m
举一反三：
【变式】已知函数
f
(
x
)
=
ax
2
+
1
(
a
0
),
g
(
x
)
=<
/p>
x
3
+
bx
.
(1)
若曲线
y
=
f
(
x
)
与曲线
y
=
g
(
x
)<
/p>
在它们的交点
(1,
c
< br>)
处具有公共切线
,
求
a
,
b
的值
;
(2)
当
a
2
=
4
b
时
,
求函数
f
(
x
)
+
g
(
x
)
的单
调区间
,
并求其在区间
(
-
【解析】
(1)
由
(
1
，
c
)
为公共切点可得
:
f
(
x
)
=
ax
2
+
1(
a
0)
,
则
f
(
x
)
=
2
ax
,
k
=
2
a
,
,
-
1
］
上的最大值
.
第
4
页
共
8
页