导数的极值、最值及其应用(重点)
地心探险记-
导数的极值、最值及其应用
(
重点
)
适用学科
高中数学
适用区域
全国新课标
适用年级
课时时长（分钟）
高中三年级
60
知识点
1.
导数最值得定义
2.
导数极值的定义
3
导数最值极值的判断
4.
函数最值极值的应用
教学目标
理解可导函数的单调性与其
导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充
分条件
(
导数在极值点两侧异号
)
；
会求一些实际问题
(
一般指单峰函数
)
的最大值和最小值
教学重点
极值
,
最值得概念
,
辨别方法
,
以及求可导函数的极值的步骤
教学难点
对极大
,
极小的概念的理解及求可导函数的极值的步骤
教学过程
一
.
课程导入：
我们之前学过函数的图
像
,
函数的导数
,
在这基础上我们引申出我们今天要学的最值和极值
,
但是这
两个
虽一字之差但是却大不相同
,
我们
可以先从最值
,
极值的定义先了解一下
思考下面的图像的最值
,
极值分别为什
么
?
二、复习预习
本讲复习时，应注重导
数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，
从而用导
数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用
.
函数的极值
三、知识讲解
考点
< br>1
、极值的定义
1.
极大值：
一般地，设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义，如果对
x
< br>0
附近的所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)
，就
说
f(x
0
)
是函数
f(x)
的一个极大值，
记作
y
极大值
=f(x
0
)
，
x
0
是极大值点
2.
极小值：
一般地，
设函数
f
(x)
在
x
0
附近有定义，
如果对
x
0
附近的所有的点，
都有
f(x)
＞
f(x
0
)
就说
f(x
0
)
< br>是函数
f(x)
的一个极小值，记作
y
极小值
=f(x
0
)
，
x
0
< br>是极小值点
3.
极大值与极小
值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近
点的函数值比较是最大或最小
,
并不意味着
它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值
不是唯一的
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值
之间无确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
x
1
是极大值点，
x
4
是极
小值点，而
f
(
x
4
)<
/p>
>
f
(
x
1
)
（ⅳ）函数的
极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
,
而
使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
考点
2
、最值的定义
函数的最大值和最小值
:
在闭区间
a
,
b
上连续的函数
f
(
x
)
在
a
,
b
上必有最大值与最小值．
⑴在开区间
(
a
,
b
)
内连续的函数
f
(
x
)
不一定有最大值与最小
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的
极值是比较极值点附近函数值
得出的．⑶函数
f
(
x
)
在闭区间
a
,
b
上连续，是
f
(
x
)
在闭区间
a
,
b
上有最大
值与最小值
的充分条件而非必要条件．
(4)
函数在其定义区间上的最大值
、最小值最多各有一个，而函
数的极值可能不止一个，也可能没有一个
< br>
考点
3
、求最值极值的步奏
1.
求函数
f(x)
的极值的步骤
: (1)
确定函数的定义区间，求导数
f
′
(x)
(2)
求方
程
f
′
(x)=0
的根
(3)
用函数的导数为
0
的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列
成表格。检查
f
′
(x)
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f(x)
在这个根处取得极大值；如果
左负右正，那么
f(x)
在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则
f(x)
在这个
根处无极值
2.
利用导数求函数的最值步骤
:
⑴求
f
(
x<
/p>
)
在
(
a
,
b
)
内的极值；⑵
将
f
(
x
)<
/p>
的各极值与
f
(
a
)
、
f
(<
/p>
b
)
比较得出
函
数
f
(
x<
/p>
)
在
a
,
b
上的最值
四、例题精析
考点一
求函数的极值
【例题
1
】
【题干】
求列函数的极值：
（
1
）
y
(
x
< br>1
)
2
(
x
2
)
2
；
（
2
）
y
2
x
2
x
2
1