(完整)初中数学“最值问题”_集锦
山根断-
最值问题” 集锦
•
平面几何中的最值问题
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
01
•
几何的定值与最值
⋯
⋯
⋯<
/p>
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
07
•
最短路线问题
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
14
•
对称问题
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
18
•
巧作“对称点”妙解最值题
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
22
•
数学最值题的常用解法
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
26
•
求最值问题
< br>⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
29
•
有理数的一题多解
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
34
•
4
道经典题
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
37
•
平面几何中的最值问题
在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在
一起，统称
最值问题．如果把最值问题和生活中的经
济问题联系起来，可以达到最经济、
最节约和最高效率．下<
/p>
面介绍几个简例．
在平面几何问题中，
当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、
图形的面
积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
（
1
）
应用几何性质：
①
三角形的三边关系：两边之和大于
第三边，两边之差小于第三边；
②
两点间线段最短；
③
连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④
定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：
①
运用配方法求二次三项式的最值；
②
运用一元二次方程根的判别式。
在直线
L
上取一点
P
，使
PA+PB
最小。
分析：在直线
L
上任取一点
P
'
，连结
A P
'
，
BP
'
，
1
在△
ABP
'
中<
/p>
AP
'
+BP
'>
AB
，如果
AP
'
+BP
'
＝
AB,
则
P
'
必在线段
AB
上，而线段
AB
与直线
L
无
交点，所以这种思路错误。
取点
A
关于直线
L
的对称点
A
'
，则
AP
'
＝
AP
，
在△
A
'
BP
中
A
'
P
'
+B
'
P
'>
A
'
B,
当
P
'
移到
A
'B
与直线
L
的交点处
P
点时
A
'
P
'
+B<
/p>
'
P
'
＝
A
'
B
，所以这时
PA+PB
最小。
1
已知
AB
是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，
ABDC
是内接半圆的梯形，试问
R
．由于
AB
∥
CD
，必
分析
本例是求半圆
AB
< br>的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为
有
AC=BD
．若设
CD=2y
，
AC=x
，那么只须求梯形
ABDC
的半周长
< br>u=x+y+R
的
2
2
2
最大值即可．
解
作
DE
⊥
AB
于
E
，则
x
=BD
=AB
·<
/p>
BE
＝
2R
·
(R-y)
＝
2R
< br>-2Ry
，
所以
所以求
u
的最大值，只须求
-x
+2Rx+2R
最大值即可．
-x
2
+2Rx+2R
2
=3R
2
-(x-R)
2
≤
3R
2<
/p>
，
上式只有当
x=R
时取等号，这时有
2
2
所以
和
120
°．
2y=R=x
．
所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点
C
，
D
，
这时，梯形的底角恰为
60
°
2 .
如图
3
－
92
是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为
最大面积，使得窗户透光最好？
8
米
(m)
，怎样才能得出
分析与解
设
x
表示半圆半径，
y
表示矩形边长
AD
，则必有
2x+2y+
π
x=8
，
2
若窗户的最大面积为
S
，则
把①代入②有
即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积
最大．
3.
已知
P
点是半圆上一个动点，试问
P
在什么位置时，
< br>PA+PB
最大
（
图
3
－
93
）
？
分析与解
因
为
P
点是半圆上的动点，当
P
近于
A
或
B
时，显然
PA+PB
渐小，在极限
状况
（
P
与
A
重合时
）
等于
AB
．因此，猜想
P
在半圆弧中点时，
PA+PB
取最大值．
设
P
为半圆弧中点，连
PB
，
PA
，延长
AP
到
C
，使
PC=PA
，连
CB
，则
CB
是切线．
为了证
PA+PB
< br>最大，我们在半圆弧上另取一点
P
′，连
P
′
A
，
P
′
B
，延长
AP
′到
C
′，
使
P
′
C
′
=BP
′，连
C
′
B
，
CC
′，则∠
P
′
C
′<
/p>
B=
∠
P
′
BC=
∠
PCB=45
°，
所以
A
，
B
，
C
′，
C
四点共圆，所以∠
CC
′
A=
∠
CBA=90
°，
所以在△
ACC
′中，
AC
>
AC
′，
即
PA+PB
>
P
′
A+P
′
B
．
4
如图
3
－
94
，在直角△
< br>ABC
中，
AD
是斜边上的高，
M
，
N
分别是△
ABD
，△
ACD
的内心，直
线
MN
交
AB
，
AC
于
K<
/p>
，
L
．求证：
S
△
ABC
≥
2S
△
AKL
．
3
证
连结
<
/p>
AM
，
BM
，<
/p>
DM
，
AN
，<
/p>
DN
，
CN<
/p>
．
因为在△
ABC
中，∠
A=90
°，
AD
⊥
BC
于
D
，
所以
∠
A
BD=
∠
DAC
，∠
ADB=
∠
ADC=90
°．
因为
M<
/p>
，
N
分别是△
ABD
和△
ACD
的内心，所以
∠
1=
∠<
/p>
2=45
°，∠
3=
∠
4
△
ADN
∽
△
BDM
，
所以
又因为∠
MDN=9
°
0 =
< br>∠
ADB
，所以
△
MDN
∽
△
BDA
，
所以
∠
BA
D=
∠
MND
．
由于∠
BAD=
∠
LCD
，所以
∠
MND
∠
=
LCD
，
所以
D
，<
/p>
C
，
L
，
N
四点共圆，所以
∠
ALK=
∠
NDC=4
°
5
．
同理，∠
AKL=
∠
1=45
°，所以
AK=AL
．因为
△
AKM
≌
△
ADM
，
所以
AK=AD=A
．
L
而
而
从而
所以
S
<
/p>
△
ABC
≥
S<
/p>
△
AKL
．
5.
如图
3
－
95
．已知在正三角形
ABC
内
（
包括边上
）
有两点
P
，
Q
．求证：<
/p>
PQ
≤
AB<
/p>
．
证
设过
P
，
Q
的直线与
AB
，
AC
分别交于
P
1
，
Q
1
，连结
P
1
C
，显然
，
PQ
≤
P
1
Q
1
．
因为∠
AQ
1
P
1
+
∠
P
1
Q
1
C=180
°，
所以∠
AQ
1
P
1
和∠
P
1
Q
1
C
中
至少有一个直角或钝角．
若∠
AQ
1
P
1
≥
90
°，则
PQ
≤
P
1
Q
1
≤
AP
1
≤
AB
；
若∠
P
1
Q
1
C
≥
90<
/p>
°，则
PQ
≤
P
1
Q
1<
/p>
≤
P
1
C
．
同理，∠
AP
1
C
和∠
BP
1
C
中也
至少有一个直角或钝角，不妨设∠
BP
1
C
≥
90
°，
则
P
1
C
≤
BC=AB
．
对于
P
，<
/p>
Q
两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，
PQ
≤
AB
．
4
6.
设△
ABC
是边长为
6
的正三角形，过顶点
A
引直线
l
，顶点
B
，
C
到
l
的距离设为
d
1
，
d
2
，求
<
/p>
d
1
+d
2
的最大值
(1992
年上海初中赛题
)
．
=AB
，连
B
′
C
，则过顶点
A
的直线
l
或者与
BC
相交，或者与
< br>B
′
C
相交．以下分两种情况讨
论．
(1)
若
l
与
BC
相交于
D
，则
所以
只有当
l
⊥
BC
时
，取等号．
(2)
若
l
′与
B<
/p>
′
C
相交于
D
′，则
所以
上式只有
l
′⊥
B
′
C
时，等号成立．
7.
如图
3
－<
/p>
97
．已知直角△
AOB
中，直角顶点
O
在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长
AO
，
BO
分别与单位圆交于
C
，
D
．试求四边形
ABCD
面积的最小值．
解
设⊙
O
与
AB
相切于
E
，有
OE=1
，从而
即
AB
≥
2
．
当
AO=BO
时，
AB
有最小值
2
．从而
5
所以，当
AO=OB
时，四边形
ABCD
面积的最小值为
几何的定值与最值
6
•
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素
间的某些几
何性质或位置关系不变的一类问题
，解几何定值问题的基本方法是：分清问题
的定量及变量，运用特
殊位置、
极端位置，直接计算等方法，
先探求出定值，
再给出证明．
几何中的最值问题是指
在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量
（
如线段长
度、角度
大小、图形面积
）
等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
1
．特殊位置与极端位置法；
2
．几何定理
（
公理
）
法；
3
．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这
是由
于这
类问题具有很强的探索性
（
目标不明确
）
，解题时需要运用动态思维、数形
结合、特殊与
一
般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．
【例题就解】
【例
1
】
如图，已知
AB=10
，
P
是线段
AB
上任意一点，在
AB
的同侧分别以
AP
和
PB
为边作
等边△
APC
和等边△
BPD
，则
CD
长度的最小值为
思路点拨
如图，作
CC
′⊥
AB
于
C<
/p>
，
DD
′⊥
AB
于
D
′，
DQ
⊥
CC
′，
CD
2
=DQ
2
+CQ
2
，
DQ=
1
AB
一常数，当
CQ
越小，
CD
越小，
本
例也可设
AP=
x
，则
PB=
10 x
，从代数角度探求
CD
的最小值．
注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与
极端位置是
指：
（
1
）
中点处、垂直位置关系等；
（
2
）
端点处、临界位置等．
【例
2
】
如图，圆的半径等于正三角形
ABC
的高，此圆在沿底边
AB
滚动，切点为
T
，
圆交
⌒
AC
、
BC
于
<
/p>
M
、
N
，则对于
所有可能的圆的位置而言
，
MTN
为的度数（
）
A
．从
30
°到
60
°变动
B
．从
60
°到
90
°变动
D
．保持
60
°不变
思路点拨
先考虑当圆心在正三角形的顶点
C
时，
其弧的度数，
< br>再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值
问题，一般都是
置于动态背景下，
动
与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑
当变
化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，
研究的
量取得定值与最值．
【例
3
】
如图，已知平行四边形
ABCD
，
AB=
a
，
BC=
b
（
a
>
b
）
，
P
为
AB
边上的一动点，
直线
DP
交
CB
的延长线于
Q
，求
AP+BQ
的最小值．
思路点拨
设
AP=
x
，把
AP
、
BQ
分别用
x
的代数式表示，
运用不等式
a
2
b
2
2ab
（
当
a
b
时取
且仅当
等号
）
来求最小值．
C
．保持
30
°不变
例
4
】
如图，已知等边△
ABC
内接于圆，在劣弧
AB
上取异于
A
、
的点
M
，设直线
7
AC
与
BM
相交于
K
，直线
CB
与
AM
相交于点
N
，证明：线段
AK
和
BN
的乘积与
M
点的选择无
关．
思路点拨
即要证
AK
·
BN
是一个定值，在图形中△
ABC
的边长
是一个定值，说明
AK
·
BN
与
AB
有关，从图知
AB
为
△
ABM
与△
ANB
的公共边，作一个大胆的猜想，
AK
·
BN=AB
，
从而我们的证明目标更
加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为
【例
5
】
已知△
XYZ
是直角边长为
1
的等腰直角三角形
(
∠
Z=90
°
)
，它的三个顶点
分别在
等腰
Rt
△
ABC(
∠
C=90
°
)
的三边上，求△
ABC
直角边长的最大可能值．
思路点拨
顶点
Z
在斜边上或直角边
CA(
或
CB)
上，当顶点<
/p>
Z
在斜边
AB
上时，取
xy
的
中
点，
通过几何不等关系求出直角边的最大值，
当顶点
Z
在
(AC
或
CB)
上时，设
CX=
x
，
CZ=
y
，
建立
x
，
y
的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．
2
注：数形结合法解几何最值问题，
即适当地选取变量，
建立几何元素间的函数、
方程、
不等式等关系，再运用相应的
代数知识方法求解．常见的解题途径是：
(1)
利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)
构造二次函数求几何最值．
学力训练
1
．如图，正方形
ABCD
的边长为
< br>1
，点
P
为边
< br>
BC
上任意一点
(
可与
B
点或
C<
/p>
点重合
)
，
分别过
B
、
C
、
D
作射线
AP
的垂线，垂足分别是
B
′、
C<
/p>
′、
D
′，则
BB
′
+CC
′
+DD
′的最
大值为
，最小值
为
．
2
．如图，∠
AOB=45
°，角内有一点
P
，
PO=10
，在
角的两边上有两点
Q
，
R(
均不同于
点
O)
，
则△
PQR
的周长的最小值为
．
3
．如图，两点
A
、
B
在直线
MN
外的同侧，
A
到
MN
的距离
AC=8
，
B
到
MN
的距离
BD=5
，
CD=4
，
P
在直线
MN
上运动，则
PA PB
的最大值等于
．
4
．如图
，
A
点是半圆上一个三等分点，
⊙
O
的半径为
1
，则
AP+BP
的最小值为
( )
A
．
1
B
．
2
C
2
B
点是弧
AN
的中点，
P
点是直
径
MN
上一动点，
2
5
．如图，圆柱的轴截面
ABCD
是边长为
4
的正方形，动点
P
从
A
点出发，沿看圆柱的
侧面移动到
BC
的中点
S
的最短距离是
( )
A
．
2 1
2
B
．
2 1 4
2
C
．
4 1
2
D
．
6
．如图、已知矩形
ABCD
，
R
，
P
户分别是
DC
、
BC
上的点，
E
，
F
分别是
AP
、
RP
的中点，
8
当
P
在
BC
上从
B
向
C
移动而
R
不动时，那么下列结论成立的是
( )
A
．线段
EF
的长逐渐增大
B
．线段
EF
的长逐渐减小
C
．线段
E
F
的长不
改变
D
．线段
EF
的长不能确定
7
．如图，点
C
是线段
AB
上的任意一点
(C
点不与
A
、
B
点重合
)
，分别以
< br>AC
、
BC
为边
在直线
AB
的同侧作等边三角形
ACD
和等边三角形
BCE
，
AE
与
CD
相交于点
M
，
交
BD
与
CE
相
于点
N
．
(1)
求证：
MN
∥
AB
；
(2)
若
AB
的长为
l0cm
，当点
C
在线段
AB
上移动时，是否存在这样的一点
C
，使线段
MN
的长度最长
?
若存在，请确定
C
点的位置并求出
MN
的长；若不存在，请说明理
由．
< br>
(2002
年云南省中考题
8
．如图，定长的弦
ST
在一个以
AB
为直径的半圆上滑动，
M
是
ST
的中点，
P
是
S
对
AB
作垂线的垂足，求证：不管
ST
滑到什么位置，∠
SPM
是一定角．
9
．已知△
ABC
是⊙
O
的内接三角形，
BT
为⊙
O
的切线
，
B
为切点，
P
为直线
AB
上一点，
过点
P
作
BC
的平行线交直线
BT
于点
E
，交直线
AC
于点
F
．
(1)
当点
P
在线段
AB
上时
(
如图
)
，求证：
PA
·
PB=PE
·
PF
；
(2)
当点
P
为线段
BA
延长线上一点时，第
(1)
题的结论还成立吗
?
如果成立，请证明，
如果
不成立，请说明理由
10
．如图，已知；边长为
4
的正方形截去一角成为五边形
ABCDE
，其中
< br>AF=2
，
BF=l
，
在
AB
上的一点
P
，使矩形
PNDM
有最大面积，则矩形
PNDM
的面积最大值是
( )
A
．
8
B
．
12 C
25
2
D
．
14
9
11<
/p>
．如图，
AB
是半圆的直径，
线段
CA
上
AB
于点
A
，线段
DB
上
AB
于点
B
，
AB=2
；
AC=1
，
BD=3
，
P
是半圆上的一个动点，则封闭图形
ACPDB
的最大面积是
（
）
A
．
2 2
B
．
1 2
C
．
3 2
D
．
3
2
12
．如图，在△
ABC
中，
BC=5
，
AC=12
，
AB=13
< br>，在边
AB
、
AC
上分别取点
D
、
E
，使线
段
DE
将△
ABC
分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．
13
．如图，
ABCD
是一个边长为
1
的正方形，
U
、
V
分别是
AB
、
CD
上的点，
AV
与
DU
相
交于
点
P
，
BV
与
CU
相交于点
Q
．求四边形
PUQV
面积的最大值．
14
．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水
．已知每个
喷水器的喷
水区域是半径为
l0
米的圆，问如何设计
（
求出两喷水器之间的距离和矩形的长、
宽
）
，才能使
矩形花坛的面积最大
?
15
．某
住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场
（
平面
图如图所示
）
．其中，正方形
MNPQ
与四个相同矩形
（
图中阴影部分
）
的面积的和为
800
平方
米．
（
1
）
设矩形的边
AB=
x
（
米
）
，
AM=
y
（
米
）
，用含
x
的代数式表示
y
为
．
（
2
）
现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为
2100
元；在四个相同
的矩
形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为
105
元；在四个三角形区域上铺设草
坪，平均每平方
米造价为
40
元．
①
设该工程的总造价为
S
（
元
）
，求
S
关于工的函数关系式．
②
若该工程的银行贷款为
235000
元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务
?
若
能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．
③
若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金
73000
元，问能否完成该工程的建设
任务
?
若<
/p>
能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．
（
镇江市中考题
）
16
．某
房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地
ABCD
，
E
边长和方向如图，欲在这块地
上建一
座
地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积
（
精确到
2
1m
）
．
10
参考答案
11
幟册
id
[≡^]
«
1
5
C
lM
）
C
i
+
OMOH
BMP
为
ABeI
中鮒
CD
雌劭邪
Rl
⅛
D
M
日胡妣
Clt
期
⅛
βf
阳肌硝
< br>=
齣
ft}=
舞归乎
：
,
AP
十
KI=
卄牛卄
*
7
j-
⅛
^
z
∙
y=2∕J
二
< br>绘灶弓
即产厠
,
上靖槪
船
AA∕
⅛
MQ
斛财幟
前
F
JU V
Z≡=ZC=ZCAδ
-<
/p>
ZK+ZABK√AMK=ZMAi÷ZΛBK,A
ZK^Z≡=ZMBSZ≡=
皿测也附
磅叙
AMIM
临
）
< br>M
锄懈駄
M
删球
那
山圖馬
Z
蛾
上凉
貯肿訓训观仏脳邮曲
（
X
肚
ZGi
丄必討
+
爲
=IHI
Cm
和
CN
≤
⅛
的
©
（
2
）
卿
J
⅛
2
槌筋伪域⑶上胡牌也不械醴
CA
上殺
α
⅛
c
鬥谢
YflEY
壯
CA
于
It
能加脛<
/p>
AX
兀斛
ZgFIKZW
測
Y
痢萌三做
JhHyiho
痛
2
卅
-i,
∣
2=H
J
.
O
⅛
CXZψy+（
< br>⅛
fc
2jO
l
=l
∖
W 5Λ
⅛
H^1=I10
⅛
<
/p>
j
⅛
JJ
∣
f
∣∣
Δ=
16J
f-M
（
i?-
Λ
Jr
氏
冋叫以
曲占邸靭二丰产势
和）伽
抽駄
d
晰
12
CO
毓
團
=
u
⅛
I
E
H
⅛
E
¾
≡l
⅛
≡
7
-
0
建
甘
6
嘉
診
二
5
一
畫
0
罢
< br>衣
羯
_
“
童
+
T
置
湧
)
7
當
锂
袞
⅛
謬
丄
i
警
≡
自
7+
d
援
邑
畫
毂
l
⅛
旨
≡
巽
⅛
≡<
/p>
一
≡
誇
二
«
£
Ξ
一
≤
≡
⅛
w
½
g
0
d
凿
二
M
τ
*
・
≡
J
3
盏
需
≡
⅛
碧
≡
-
誥
< br>二
言
二
l
+
l
畀
S
l
⅛
≡
尋
T
π
4
直
曩
1
g
d
言
≡
⅛
-
< br>g
兰
g
冒
-
-
一
-
£
W
-
早
g
-
r
j
4
H
*
.
)
1
+
⅛
⅛
盍
遥
杳
务
P
< br>丁
)
V
l
JL
≡
⅛
⅛
≡
π
曙
α
S<
/p>
3
・
⅛
ffl<
⅛
UV
l
.. A[∕.
⅛
'
< br>DlI
：
・
5
11
LTV
=
S
沖
,S
少
]v≈
S<
/p>
iflo
.'*A
=
S
LIVJf
+$$
逊
、
作
PEl
ΛD f E
»
QFXKTF
»
jjt
PΓ
»
QF
J
=
=
ς
∣
⅝
t∣mIr
7
T
(JttJ)
* ft
AI^tl
DV
6
»
J∣~~
+
4
∙
L
a.
0
=
=DE-
rΛE=
l
t
⅛
J=-
^T
t
l
¢
5
y=
(l-
fl
⅜⅜}
-
⅛)
T
(H
fl
)(l-
⅛⅜
(]-
α)+(l
-6)
X
2-
ff
^A
,
i
lw
--
1
(Ip)(IT)]
_ S+bK∕4P)
_
2(β
⅛
S)
t
十
⅛
i
)
丈
23+6)
—
,
—
卩
~2ai 2~a~^i
2(fl+i)(2^α
-
⅛
)
4U
+
⅛
)(2^'d-
⅛
)
W
怆
+b)(2r
∙
6)
窑胃丰<
/p>
⅛
+
恳号昭仅当
m>
时成立戒毗彩
PUQ
皿枳牆大償是
Z
*■
⑴<
/p>
⅛
BΛΛ Mf
个綱曲
< br>⅛
MW
⅛
位置
< br>MBCDHiW
邸
It
圮设辭边
歩
AD=
J
米肩
PQ=ΛD=
J
JM
RtAOEQ
F
t
Q
£
=
√Q.Q
-QF
=J
⅛
-
1
t4)
=
4,
√W
-7>
：
,
K
心更
OIQJNaE=
祚乔
7,
A
B=
?Q
ft
=I
Σ
C
i
r
√4O0
7.Λ
OIfiK
S=2ι√SF7(0<2<20)
t
χVf =
4?
(IoO-
I
≡)
=
-(2
1
i-
400)
+4θQ
.Λ
32j
虫
'
-40
WBt
9
才耐
:
成
时厂
10
叔米
)
浮
才
*
大为
4W,
从而
,
舲要袖谿是两个姒制
邸为
O
s
a=√4
00
-
(U)
J
T)□M(
米
),
矩砸边长
ADuH)
⑵
MR=
2
诲觴綁
量
1
i
j
Z
U
B
JtiH
I.
Ii
(l)y=
5
< br>-
γτ
1
-
(0<ι<20^)ι
I
乃
(T
S=2I
⅛
Gr+ 1D5 X4j)
τ40X4X
J
^^τ∕6≡0
-
80)ψ
,
=20(WJ
4
≡≡χ8o=≡
1
-
¾
-
2
3≡>≡..
-.
m
fi
^ma≡m
⅜
4
⅛
s≡2^
+≡>J≡∣A
侧严響
*1
+≡
MoMoO
舟
3
冃熾
m
講诙
皿分肋严
Iih
尸辄
< br>t
⅞
廿林斛
< br>滋駆款
β≡
⅛
10
和忧
|
附歸跋的师
JmI
为比
5
亲和隔
酬觸的三解戏
≡M
⅛⅛
1^≡*<
「正
於跚≡为
侏旧个朋
s≡
肚昨絶删为酬釈糊枷嗣三解曲般馳
mu*.
14
H.
jj
啣
1
⅛
B
C
应删办
加絶
竝鯉級
< br>BQE
粧抽
*
黑助
I I
*
t
ISAJfim>=4
卄
2
沖赭鮎
D
确躺筋
F
在崩上的
Wit
IF(I
I
20-
∣ι)t
(0≤ι≤30)*S≡(100
-
ι)[M
< br>-
(20-
∣j)]=
-
∣?+J
卄
MoO
*
尹
-
5)716
卞
!!
t
f -
KtS
z=5.)=2y-
γx
¾
lj
⅛
t
5
πi
Λ≡7n^X
⅛⅛⅛
F
蚪
E
或
Be
上的辭点胖大毓輾
Jt
馳血讳溺皿；播
龊
FGI
帖
,
lλIHλ
COHn
1
•
最短路线问
题
通常最短路线问题是以
“平面内连结两点的线中，
直线段最短”为原则引申出来的．
人
们在
生产
、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所
< br>
求的最短路
线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平
面上，而允许走的路程限于凸多面
体表面，那么所求的最
短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短
路线是曲线段；但允许上述哪种情
况，它们都有一个共同点：当
研究曲面仅限于可展开为
平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面
和棱柱面
等，将它们展开在一个平面上，两点间的最
短路线则是连结两点的直线段．
这里
还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似
看成圆球）
上
A
、
B
二点之间的最短路线如何求呢
？我们用过
A
、
B
两点及地球球心
O
的平
面截
地球，在地球表
面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上
做研究，以后中学会详讲．
在求
最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两
点之间直线
段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变
为一个和它等价的
问题，再设法解决，是
数学中一种常用的重要思想方法．
例
1
如下图，侦察员骑马从
A
地出发，去
B
地取情报．在去
B
地之前需要先饮一次马，
请你在图中
标
出
来
．
t
A
、
B
两点之间不
超过半个圆周的弧线就是所求的
A
、
B
两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问
题本讲不
解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．
作点
A
关于河岸的对称点
A
′，即作
AA
′垂直于河岸，
与河岸交于点
C
，且使
AC=A
′
C
，
连接
A
′
B
交河岸于一点
P
，这时
P
点就是饮马的最好位置，连接
PA
，此时
PA
＋
PB
就是侦察员应
选择的最短路线．
证明：设河岸上还有异于
P
点的另一点
P
′，连接
P
′
A
，
P<
/p>
′
B
，
P
′
A
′．
∵
P
′
A+P
′
B
＝
P
′
A
′
< br>+P
′
B
>
A
′
B=PA
′
< br>+PB=PA+P
，
B
而这里不等式
P
′
A
′＋
P
′
B
>
A
′
B
成立的理由是连接两点的折线段大
于直线段，
所以
PA+PB
是最短路线．
此例利用对称性把折线
APB
化成了易求的另一条最短路线即直线段
A
′
B
，所以这种方
法也叫
做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．
例
2
如图一只壁虎要从一面墙壁
α
上
A
点，爬到邻近的另一面墙壁
以沿许多路径
到达，但哪一条是最近的路线呢？
上的
B
点捕蛾，
16
< br>
β
它可
解：我们假想把含
B
点的墙
β
顺时针旋转
90
°（如下页右图），使它和含
A
点的墙
α
处在
同一平面上，此时
β
转过来的位
置记为
β′，
B
点的位置记为
B
′，则
A
、
B
′之间最
短路线应
该是线段
AB
′，设这条线段与墙棱线交于一点
P
，那么，折线
4PB
就是从
A
点沿
着两扇墙面走到
B
点的最短路线．
证明：在墙棱上任取异于
P
点的
P
′点，若沿折线
AP
′
B
走，也就是沿在墙转
90
°后
的路
线
AP
′
B
′走都比直线段
APB
′长，所以折线
APB
是壁虎捕蛾的最短路线．
由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可
以把不同
平面转成同一平面，此时，把处在同
一平面上的两点连起来，所得到的线段还原
到原始的两相邻平
面
上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．
例
3
长方体
ABCD
—
A
′
B
′
C
′<
/p>
D
′中，
AB=4
，
A
′
A=2
′，
AD=1
，有一只小虫从顶点
D
′
出发，
沿长方体表面爬到
B
点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（
1
））
解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含
D
′、
B
两点的两个相邻的
面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上
D
′
B
间的最短路线就是连结这两
点的直线段，这样，从
D
′点出发，到
B
点共有六条路线供选择．
①
从
D
′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达
B
点，将这两个面摊开在一个平面
上（上
页图（
2
）），这时在这个平面上
D
′、
B
间的最短路线距离就是连接
D
′、
B
两点
的直线段，它是
直角三角形
ABD
′的斜边，根据勾股定理，
<
/p>
D
′
B
2
=D
′
A
2
+AB
2
=
（
1+2
）
2
＋
4
2
=25
，∴
D
′
B=5
．
②
容易知道，从
D
′出发经过后侧面再进入下底面到达
B
点的最短距离也是
5
．
③
从
D
′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达
B
点．将这两个面摊开在同一平
面上，
2
2
2
同理求
得在这个平面上
D
′、
B
两点间的最短路线（上页图（
3
）），有：
D
′
B
＝
2
+
（
1+4
）
=29
．
④
容易知道，从
D
′出发经过后侧面再进入右侧面到达
B
点的最短距离的平方也是
29
．
⑤
从
D
′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达
B
点，将这两个平面摊开在同一
平面上，同理可求得在这个平面上
D
′、
B<
/p>
两点间的最短路线（见
图），
17
D
′
B
2
=
（
2+4
）
2
+1
2
=37
．
⑥
容易知道，从
D
′出发经过上侧面再进入右侧面到达
B
点的最短距离的平方也是
37
．
比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从
D
′点出发，经过上底面
然后进入前侧面到达
B
点（上页图（
2
）），或者经过后侧面然后进入下底面到达
B
点的
路线是最
短路线，它的长度是
5
个单位长度．
利用例
2
、例
3
中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决
一些类似
的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上
A
和
B
两点之间的最短路线问题（下
左图），同样可以把
A
、
B
两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面
（下右
图），连接
A
、
B
成线段
AP1P2B
，
P1
、
P2
是线段
AB
与两条侧棱线的交点，则折线
AP1P2B
就是
AB
间的最短路线．
圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条
曲线称为螺旋线．因为
它具有最短
的
性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输
粉机的螺旋道，旋风除
尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面
例题．
例
4
景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，
如下左图，如果将金线的起
点固定在
A
点，绕一周之后终点为
B
点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？
解：将上左图中圆柱面沿母线
AB<
/p>
剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方
形卷成上页
左图中的圆柱面时，
A
′、
B
′分别与
A
、
B
重合），连接
AB
′，再将上页右图
还原成上页左图的形
状，
则
AB
′在圆柱面上形成的曲线就是连接
AB
且绕一周的最短线路．
圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．
例
5
有一圆锥如下图，
A
、
B
在同一母线上，
< br>B
为
AO
的中点，试求以
A
为起点，以
B
为终点
且绕圆锥侧面一周的最短路线．
解：将圆锥面沿母线
AO
剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面
时，
A
′、
18
B
′分别与
A
、
B
重合）
，在扇形中连
AB
′，则将扇形还原成圆锥之后，
AB
′所
成的曲线为所求．
例
6
如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的
A
点爬到桶内的
B
点去寻找
食物，已
知
A
点沿母线到桶口
C
点的距离是
12
厘米，
B
点沿母线到桶口
D
点的距离是
8
厘米，而
C
、
D
两
点
之间的（桶口）弧长是
15
厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎
么走？路程总长是多少？
B
点在里面，不
便于作图，设想将
BD
延长到
F
，使
DF
＝
BD
，即以直线
CD
为对称轴，作出点
B
的对称点
F
，
用
F
代替
B
，即可找出最短路线了．
分析
我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于
解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长
BD
到
F
，使
DF=BD
，即作点
B
关于直线
CD
的对称
点
F
，连结
AF
，交桶口沿线
CD
于
O
．
因为桶口沿线
CD
是
B
、
F
的对称轴，所以
< br>
OB
＝
OF
< br>，而
A
、
F
之间的最短线路是直线段
AF
，又
A
F=AO
＋
OF
，那么
A
、
B
之间的最短距离就是
AO
＋
OB
，故蚂蚁应该在桶外爬到
< br>
O
点
后，转向桶内
B
点爬去．
延长
AC
到
E
，使
CE=DF
，易知△
AEF
是直角三角形，
AF
是斜边，
EF=CD
，根据勾股定
理，
2
2
2
2
2
2
< br>AF
=
（
AC+CE
）
+EF
＝（
12
＋
8
）
＋
15<
/p>
＝
625=25
，解得
< br>
AF=25
．
即蚂蚁爬行的最短路程是
25
厘米．
例
7 A
、
B
两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上
架一座小木
桥，使它垂
直于河岸．请
你在河的两岸选择合适的架桥地点，使
A
、
B
两个村子之间路程
最短．
分析
因为桥垂直于河岸，所以最短路
线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，
于是想到要
把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定
< br>
值．因此，从
A
点作河岸
的垂线，并在垂线上取
AC
等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，
找出
B
、
C
两点
之间的最短路线，
问题就可以解决．
解：如上图，过
A
点作河岸的垂线，在垂线上截取
AC
的长为河宽，连结
BC
交河岸于
D
点，作
DE
垂直于河岸，交对岸于
E
点，
D
、
E
两点就是使两村行程最短的架桥地
点．即
两村的最短路程是
19