函数的极值与最值练习题及答案
生活需要快乐-
.
【巩固练习】
一、选择题
1
．
（
2015
天津校级模拟）设函
数
f
(
x
)<
/p>
A.
x
2
ln
x
，则（
）
x
1
为
f
(
x
)
的极小值点
B.
x
2
为
f
(
x
)
的极大值点
2
1
C.
x
为
f
(
x
)
的极大值点
D.<
/p>
x
2
为
f
(
x
)
的极小值点
2
2
．函数
y
＝
ax
3
＋
bx
2
取得极大值和极小值时的
x
的值分别为
0
和
A
．
a
－
2
b
＝
0
B
．
2
a
－
b
＝
0
C
．
2
a
＋
b
＝
0
D
．
a
＋
2
b
＝
0
1
，则
(
)
3
x<
/p>
2
3
．函数
y<
/p>
＝
＋
x
2
－
3
x
－
4
在
[0,2]
上的最小
值是
(
)
3
64
17
1
0
A
．
B
．
C
．－
4
D
．
3
3
3
4
．连续函数
f
(
x
)
的导函数为
f
′
(
x
)
，若
(
x
＋
1)·
f
′(
x
)>0
，则下列结论中正确的是
(
)
A
．
x<
/p>
＝－
1
一定是函数
f
(
x
)
的
极大值点
B
．
x
＝－
1
一定是函数
f
(
x
)
的极小值点
C
．
x
＝－
1
不是函数
f
(
x
)
的极值点
D
．
x
＝－
1
不一定是函数
f
(
x
)
的极值点
x
3
a
2
1
x
x
1
在区间
,
4
上有极值点，
5
．
（
2015
金家庄区校
级模拟）
若函数
f
(
< br>x
)
3
2
3
则
实数
a
的取值范围是（
）
A.<
/p>
2,
10<
/p>
B.
3
10
10
17
2,
C.
,
D.
3
3
4
17
2,
4
6
．已知函数
y=―x
2<
/p>
―2x+3
在区间
[a
< br>，
2]
上的最大值为
A
．
15
，则
a
等于（
）
4
3
1
1
1
3
B
．
C
．
D
．
或
2
2
2
2
2
7
．已知函数
f
(
x
)
＝－
x
3
＋
ax
2
－
4
在
< br>x
＝
2
处取得极值，若
m
、
n
∈
[
－
1,1]
，则
f
(
m
)
＋
f
′(
n
)
的最
小值是
(
)
A
．－
13
B
．－
15
C
．
10
D
．
15
二、填空题
8
．函数
y=x+2cosx
在区间
[
1
,1]
上的最大值是
________
。
2
9.
若
f
(x)=x
3
＋
3ax
2
＋
3(a
＋
2)x
＋
1
有极大值和极小值
，则
a
的取值范围是
__
_
。
10<
/p>
．
f
（
x
）
= 1+3sin x + 4cos
x
取得最大值时，
tan x =
11
．设函数
f
(
x
)
ax<
/p>
3
x
1(
x
R)
，若对于任意
x
∈
[
－
1
，
1]<
/p>
，都有
f
(
x<
/p>
)
0
成立，则
实数
a
的值为
________
。
;.
3
.
三、解答题
12
．求下列函数的极值：
（
1
）
y
x
6
x
9
x
4
< br>；
（
2
）
y
x
2
x
。
13<
/p>
．已知函数
f
（
x
）＝
2
x
3
－
6
x
2
＋
m
在
[
－
2
，
2]
上有最大值<
/p>
3
，试确定常数
m
，并求这个
函数在闭区间上的最小值．
;.
4
2
3
2
. <
/p>
14
．已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
2
＋
ax
＋
b
在
x
＝－
1
处的切线与
x
轴平行
．
(1)
求
a
的值和函数
f
(
x
)
的单调区间；
(2)
若函数
y
＝
f
(
x
)
的图象与抛物线
y
＝
15
．
(2014
北京
)
已知
函数
f(x)
＝
xcosx
－
sinx
，
x
∈
[0
，
3
2
x
－
15
x
＋
3
恰有三个不同交点，
求
b
的取值范围．
2
π
]
2
(1)
求证：
f
(x)
≤
0
；
(2)
若
a
;.
sin
x
π
b
对
x
0
,
上恒成立，求
a
的最大值与
b
的最小值．
x
2
.
【答案与解析】
1
< br>．
【答案】
D
2
1
x
2
< br>
2
,
x
2
x
x
'
'
当
0
x
2
时，
f
(
x
)
0
；当
x
2
< br>时，
f
(
x
)
0
，
所以
x
2<
/p>
为
f
(
x
)
的极小值点，故选：
D
。
【解析】
f
(
x
)
<
/p>
'
2
．
【答案】
D
【解析】
y
′
＝
3
a
x
2
＋
2
bx
，据题意，
1
是方程
3
ax
2
＋
2
bx
＝
0
的两根
3
2
b
1
∴－
＝
，
∴
a<
/p>
＋
2
b
＝
0.
3
a
3
0
、
3.
【答案】
A
【解析】
y
′
＝
x
2
＋<
/p>
2
x
－
3. <
/p>
令
y
′
＝
x
2
＋
2
x
－
3
＝
0
，
x
＝－
< br>3
或
x
＝
1
为极值点．
当
< br>x
∈
[0,1]
时，
y
′<0.
当
x
∈
[1,2]
时，
y<
/p>
′>0
，所以当
x
＝
1
时，函数取得极小值，也为最小
值．
∴当
x
＝
1
时，
y
m
in
＝－
17
.
3
4
．
【答案】
< br>B
【解析】
x
>
－
1
时，
f
′(
x
)>0
X
<
－
1<
/p>
时，
f
′(
x<
/p>
)<0
∴连续函数
f
< br>(
x
)
在
(
－
∞
，－
1)
单减，在
(
－
1
，＋
∞)
单增，∴
x
＝－
1
为极小值点．
5
．
【答案】
D
x
3
a
2
x
x
1
【解析】
Q<
/p>
f
(
x
)
3
2
f
'
(
x
)
x
2
ax
1,
x
2
ax
1
0
有两个解，则
a
2
4
0;
故
a
2
或
a
2
;
函
x
3
a
2
1
< br>
x
x
1
在
区
间
,
4
上
有
极
值
点
可
化
为
x
2
< br>
ax
1
0
在
区
间
数
f
(
x<
/p>
)
3
2
3
1
,
4
上有解，
3
①
当<
/p>
2
a
8
时，
f
(4)
0
，即
16
4
a
1
0
，故
a
②
当
a
8
时，
f
(4)
f
< br>(
)
0
无解；
综上所述
，
2
a
6
．
【答案】
< br>C
【解析】
f
'(
x
)
2
x
2
。令
f
'(
x
)
0
，得
x=
－
1
。
'
'
'
17<
/p>
17
;
故
2
a
。
4
4
1
3
17
，故选
D
。
4
;.