高考数学导数与函数的极值、最值
细雨湿衣看不见-
高考数学导数与函数的极值、最值
最新考纲
了解函数在某点取得极值的
必要条件和充分条件；
会用导数求函数的
极大值、极小值
(
其中多项式函数不超过三次
)
；会求闭区间上函数的最大值、最
小值
(
其中多项式函数不超过三次
).
知
识
梳
理
1.
函数的极值与导数
(1)
判断
f
(
x
0
)
是极值的方法
一般地，当函数
f
(
x
)
在点
x
0
处连续且
f
′(
x
0
)
＝
0
，
①如
果在
x
0
附近的左侧
< br>f
′(
x
)
＞
0
，右侧
f
′(
x
)
＜
0
，那么
f
(
x
0
)
是极大值；
< br>
②如果在
x
0
附近的左侧
f
′(
x
)
≤
0
，右侧
f
′(
x
)
≥
0
，那么
f
(
x
0
)
是极小值
.
(2)
求可导函数极值的步骤
①求
f
′(
x
)
；
②求方程
f
′
(
x
)
＝
0
的根；
③检查
f
′(
x
)
在方程
f
′(
x
)
＝
0
的根的左右两侧的符号
.
如果左正右负，那么
f
(
x
)
在这
个根处取得极大值；如果左负右正，那
么
f
(
x
)<
/p>
在这个根处取得极小值
.
2.
函数的最值与导数
(1)
函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上有最值的条件
如果在区间
[<
/p>
a
，
b
]
上函数
y
＝
f
(
x
)
的图象是连续
不断的曲线，那么它必有最大值和
最小值
.
< br>(2)
设函数
f
(
x
)
在
[
< br>a
，
b
]
上连续且在
(
a
，
< br>b
)
内可导，求
f
(
x
)
在
< br>[
a
，
b
]
上的最大值和最
小值的步骤如下：
①求
f
(
x<
/p>
)
在
(
a
，
b
)
内的极值；<
/p>
②将
f
(
x
)
的各极值与
f
(
a
)
，
f
(
b
)
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值
< br>.
诊
断
自
测
1.
判断
正误
(
在括号内打“√”或“×”
)
(1)
函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的
.(
)
(2)
函数的极大值不一定比极小值大
.(
)
- 1 -
(3)
对可导函数
f
(
x
)
，
f
′
(
x
0
)
＝
0
是
x
0
点为极值点的充要条件
.(
)
(4)
函数的最大值不一定是极大
值，函数的最小值也不一定是极小值
.(
)
解析
(1)
函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一
.(3)
x
0
为
f
(
x
)
的极值点的充
要条件是
f
′(
x
0
)
＝
0
，且
x
0
两侧导数符号异号
.
答案
(1)
×
(2)
√
(3)
×
(4)
√
2
.
函数
f
(
x
)
＝－
x
3<
/p>
＋
3
x
＋
1
有
(
)
A.
极
小值－
1
，极大值
1
C.
极小
值－
2
，极大值
2
B.
极小
值－
2
，极大值
3
< br>D.
极小值－
1
，极大值
3
解析
因为
f
(
x
)
＝－
x
3
＋
3
x
＋
1
，故有
y
′
＝－
3
x
2
＋
< br>3
，令
y
′
＝－
3
x
2
＋
3
＝
0
，
解得
x
＝
±
1
，
于是，当
x
变化时，
f
′
(
x
)
，
f
(
x
)
的变化
情况如下表：
x
f
′(
x
)
< br>f
(
x
)
(
－
∞
，
－
1)
－
－
1
0
极大值
(
－
1
，
1)
＋
1
0
极小值
(1
，＋
∞
)
－
所以<
/p>
f
(
x
)
的极小值为
f
(
－<
/p>
1)
＝－
1
，<
/p>
f
(
x
)
的极大值为
f
(1)
＝
3.
答案
D
3.(
选修
2
－
2P32A4
改编
)
如图是
f
(
x
)
的导函数
f
′
(
x
)
的图象，则
f
(
x
)
的极小值点的
个数为
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析
由题意知在
x
＝－
1
处
f
′(
－
< br>1)
＝
0
，且其左右两侧导数符
号为左负右正
.
答案
A
4.
函数
y
＝
2
x
3<
/p>
－
2
x
2
在区间
[
－
1
，
2]
上的最大值是
________.
2
解析
y
′
＝
6
x
2
－
4
x
，令
y
′
< br>＝
0
，得
x
＝
0
或
x
＝
3
.
8<
/p>
2
∵
f
(
－
1)
＝－
4
，
f
(0)
＝
0
，
f
3
＝－
27
，
f
(2)
＝
8,
所以最大值为
8.
答案
8
5.
函数
f
(
x
)
＝<
/p>
ln
x
－
ax
在
x
＝
1
处有极值，则常数
a
＝
________.
- 2 -
1
解析
∵<
/p>
f
′(
x
)
＝
x
－
a
，∴
f
′
(1)
＝
1
－
a
＝
0
，∴
a
＝
1
，经检验符合题意
.
答案
1
π
6.
函数
y
＝
x
＋
2cos
x
在区间
0
，
上
的最大值为
________
；最小值为
________.
2
π
π
解析
∵
y
＝
x
< br>＋
2cos
x
，
x
∈
0
< br>，
，∴
y
′＝
1
－
2sin
x
，
x
∈
< br>
0
，
，令
y
′
＝
0
，
2
2<
/p>
π
π
π
π
π
得
x
＝
6
，当
x
∈
0
，
时，
y
′
>0
，当
x
∈
，
<
/p>
时，
y
′
<0<
/p>
，故
x
＝
6
时，∴
6
2
6
π
π
π
π
y
最大
＝
y
极大
＝
6
＋
< br>3
，又
x
＝
0
时，
y
＝
2
；
x
＝
2
时，
y
＝
2<
/p>
，∴
y
最小
＝<
/p>
2
.
π
π
答案
6
＋
3
2
考点一
用导数解决函数的极值问题
【例
1
】
求下列函数的极值：
(1)
f
(
x
)
＝
x
2
－
< br>2
x
－
4ln
x
；
3
(2)
f
(
x
)
＝
ax
3
－
3
x
2
＋
1
－
a
(
a
∈
R
且
a
≠
0).
解
(1)
f
(
x
)
的定义
域为
(0
，＋∞
)
，
4
2
（
x
－
2
）（
x
＋
1
）
f
′
(
x
)
＝
2
x
－
2
－
x
< br>＝
，
x
令
f
′(
x
)
＝
0
得
x<
/p>
＝
2
或－
1(<
/p>
舍
).
随着
x
的变化，
f
′
(
x
)
与
f<
/p>
(
x
)
的变化情
况如下表：
x
f
< br>′(
x
)
f
(
x
)
(0
，
2)
－
2
0
极小值
(2
，＋∞
)
＋
∴
f
(
x
)
有极小值
f
(2)
＝－
4ln 2
，无极大值
.
2
(2)
由题设知
a
≠
0
，
f
′
(
x
)
＝
3
< br>ax
2
－
6
x
＝
3
ax
x
－
a
.
2<
/p>
令
f
′(
x
)
＝
0
得
x
＝
0
或
a
.
当
a
>0
时，随着
x
的变化，
f
′
(
x
)
与
f
(
x
)
的变化情况如下表：
- 3 -
x
< br>f
′
(
x
)
f
(
x
)
(
－∞，
0)
＋
0
0
极大值
2
0
，
a
－
2
a
0
极小值
2
a
，＋∞
＋
3
∴
f
(
x
)
极大值
＝
f
(0)
＝
1
－
a
，
4
3
2
f
(
< br>x
)
极小值
＝
< br>f
a
＝－
a
2
－
a
＋
1.
当
a
<0
时
，随着
x
的变化，
f
< br>′
(
x
)
与
f
(
x
)
的变化情况如下表：
x
f
′(
x
)
f
(
x
< br>)
2
－∞，
a
－
2
a
0
极小值
2
a
，
0
＋
0
0
极大值
(0
，＋∞
)
－
3
∴
f
(
x
)
极大值
＝
f
(0)
＝
1
－
a
，
4
3
2
< br>f
(
x
)
极小值
＝
f
a
＝－
a
2
－
a
＋
1.
3
综上，
f
(
x
)
极大值
＝
f
(0)
＝
1
－
a
，
4
3
2
f
(
x
)
极小值
＝
f
a
< br>
＝－
a
2
－
a
＋
1.
规律方法
函数极值的两类热点问题
(1)
求函数
f
(
x
)
极值这类问题的一般解题步骤为：
①确定函数的定义域；②求导数
f
′(
x
)
；
③
解方程
f
′(
x
)
＝
0
，求出函数定
义域内的
所有根；
④
列表检验
f
′(
x
)
在
f
′
(
x
)
＝
0
的根
x
0
左右两侧值的符号，
如果左正右负，
那么
f
(
x
)
在
x
0
处取极大值，如果左负右正，那么
f
(
x
)
在<
/p>
x
0
处取极小值
.
(2)
由函数极值求参数的值或范
围
.
讨论极值点有无
(
个数
)
问题，转化为讨论<
/p>
f
′(
x
)
＝
0
根的有无
(<
/p>
个数
).
然后由已知条
< br>件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为
0
，而
导数为
0
的点不
一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号
.
【训练
1
】
(1)
设函数
f
(
x
)
＝
a
x
3
－
2
x<
/p>
2
＋
x
＋
c
.
若
f
(
x
)
在
R
上无极值点，则实数
a
的<
/p>
取值范围为
________.
(2)
设
a
∈
R
，若函数
y
＝
e<
/p>
ax
＋
3
x
，
x
∈
R
有大于零的极值点，则
(
)
-
4 -
A.
a
>
－
3
1
C.
a
>
－
3
B.
a<
/p>
<
－
3
1
D.
a
<
－
3
解析
(1)
由题得
f
′(<
/p>
x
)
＝
3
ax
2
－
4
x
＋
1.
若
f
(
x
)
在
R
上无极值点，
则
f
(
x
)
在
R
上是单调函数，
即
f
′(
x
)
≥
0
或
f
′(
x
)
≤
0
恒成立
.
①当
a
＝
0
时，
f
′
< br>(
x
)
＝－
4
x
＋
1
，显然不满足条件；
②当
a
≠
0
时，
f
′
(
x
)
≥
0
或
f
′(
x
)
≤
0
恒成立的充要条件是
Δ
＝
(
－
4)
2
－
4
×
3
a
×
1
≤
0
，
4
即
16
－
12
a
≤
0
，解得
a
≥
3
.
<
/p>
4
综上，实数
a
的取值范围为
3
< br>，＋
∞
.
(2)
y
′
＝
f
′(
x
)
＝
a
e
ax
＋
3<
/p>
，
当
a
≥
0
时，
f
′
(
x
)>0
在
R
上恒成立，∴
f<
/p>
(
x
)
无极值点
；
1
3<
/p>
当
a
<0
时，令
f
′(
x<
/p>
)
＝
0
得
x
＝
a
ln
－
a
，
< br>1
3
∴
a
ln
－
a
>0
得
a
<
－
3
，故选
B.
4
答案<
/p>
(1)
3<
/p>
，＋∞
(2)B
考点二
用导数解决函数的最值问题
【例
2
】
已知函数
f<
/p>
(
x
)
＝
(4
x
2
＋
4
ax
＋
a
2
)
x
，其中
a
＜
0.
(1)
当
a
＝－
4
时，求
f
(
x
)
的单调递增区间；
(2)
若
f
(
x
)
在区间
[1
，
4]
上的最小值为
8
，求
a
的值
.
解
(1)
当
a
＝－
4
时，
由
f
′(
x
)
＝
2
（
5
x
－
2
）（
x
－
2
）
2
＝
0
得
x
＝
5
或
x
＝
2
，由
f
′(
x
)
x
2
＞<
/p>
0
得
x
∈
0
，
5
或
x
∈
(2
，＋∞
)
，
2
< br>
0
，
故函数
f
(
x
)
的单调递增区间为
和
(2
，＋∞
).
5
（
10
x
＋
a
）（
2
x
＋
a
）
a
a
< br>(2)
因为
f
′(
x
)
＝
，
< br>a
＜
0
，由
f
′(
x
)
＝
0
得
x
＝
－
10
或
x
＝
－
2
.
2
x
a
当
x
∈
0
，－
10
时，
f
(
x
)
单调递增
.
a
a
当
x
∈
－
10
，－
2
时，
f
(
< br>x
)
单调递减；
- 5
-
a
当
x
∈
－
2
，＋∞
时，<
/p>
f
(
x
)
单调递增
.
<
/p>
a
易知
f
(
x
)
＝
(2
x
＋
a
)
2
x
≥
0
，且
f
< br>
－
2
＝
0.
a
①当－
2
≤
1
时，
即－
2
≤
a
＜
0
时，
f
(
x<
/p>
)
在
[1
，
4]
上的最小值为
f
(1)
，由
f
(1)
＝
4
＋
4
a
＋
a
2
＝
8
，得
a
＝
±
2
2
－
2
，均不符合题意
.
a
a
②当
1
＜－
2
≤
4
时，即－
8
≤
a
＜－
2
时，
f
(
x
)
在
[1
，
4]
上的最小值为
f
－
2
＝
0
，不
符
合题意
.
a
③当－
< br>2
＞
4
时，即
< br>a
＜－
8
时，
< br>f
(
x
)
在
[1
，
4]
上的最小值可能在
x
＝
1
或
x
＝
4
处取
得，而
f
(1)
≠
8
，
由
f
(4)
＝
2(64
＋
16
a
＋
a
2
)
＝
8
得
a
< br>＝－
10
或
a
< br>＝－
6(
舍去
)
，
当
a
＝－
10
时，
f
< br>(
x
)
在
(1
，
4)
上单调递减，
f
(
x
)
在
[1
，
4]
上的最小值为
f
(4)
＝
8
，符
合题意
.
综上有，
a
＝－
10.
规律方法
(1)
求函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上的最大值和最小值
的步骤：
①
求函数在
(
a
，
b
)
内的极值；
②
求函数在区间端点的函数值
< br>f
(
a
)
，
f
(
b
)
；
③
将函数
f
(
x
)
的极值
与
f
(
a<
/p>
)
，
f
(
b
)
比较，其中最大的一个为最大值，最小的
一个为最小值
.
(2)
含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根
据
单调性求出最值
.
含参函数在区间上的最值通常有两类：
一是动极值点定区间，
二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间
与极值点的位置关系来分类讨
论
.
【训练
2
】
已知函数
f
(
x
)
＝
(
ax
－
2)e
x
在
x
＝
1
处取得
极值
.
(1)
求
a
的值；
(2)
求函数在区间
[
m
，
m
＋
1]
上的最小值<
/p>
.
解
(1)
f
′(
x
)<
/p>
＝
(
ax
＋
a
－
2)e
x
，
由已知得
f<
/p>
′(1)
＝
(
a
＋
a
－
2)e
＝
0
，
解得
a
＝
1
，经检验
a
＝
1
符合题意，所以
a
的值为
< br>1.
(2)
由
(1)
得
f
(
x
)
＝
(
x
< br>－
2)e
x
，
< br>f
′
(
x
)
＝
(
x
－
1)e
x
.
- 6 -
令
f
′(
x
)>0
得
< br>x
>1
，令
f
< br>′(
x
)<0
得
x
<1.
所以函数
f
(
x
)
在
(
－∞，
1)
上递减，在
(1
，＋∞
)
上递增
.
当
m
≥
1
时，
f
(
x
)
在
[<
/p>
m
，
m
＋
1]
上递增，
f
(<
/p>
x
)
min
＝<
/p>
f
(
m
)
＝
(
m
－
2)e
m
，
当
0<
m
<1
时，
f
(
x
)
在
[
m
< br>，
1]
上递减，在
(1
，
m
＋
1]
上递增，
f
(
x
)
min
＝
f
(1)
＝－
e.
当<
/p>
m
≤
0
时，
m
＋
1
≤
1
，
f
(
x
)
在
[
< br>m
，
m
＋
1]
上单调递减，
f
(
x
)
min
＝
f
(
m
< br>＋
1)
＝
(
m
－
1)e
m
＋
1
.
综上，
< br>f
(
x
)
在
[
m
，
m
＋
1]
上的最小值为
< br>
f
(
x
)
min
＝
－
e
，
0
<
m
<1
，
（
m
－
1
）
e
m
1
，
m
≤
0.
＋
（
m
－
2
）
e
m
，
m
≥
1
，
[
思想方法
]
1.
利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而
且条理，减少失分
.
2.
求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小
.
3.
可导函数
y
＝
f
(
x
)
在点
x
0
处取
得极值的充要条件是
f
′
(
x
0
)
＝
0
，且在
x
0
左侧与右
侧
f
′(
x
)
的符号不同
.
4.
若函数
y
＝<
/p>
f
(
x
)
在区间
(
a
，
b
)
内有极值，那么
y
＝
f
(
x<
/p>
)
在
(
a
，
b
)
内绝不是单调
函数，
即在某区间上单调函数没有极值
.
[
易错防范
]
1.
求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减
少失分的可能
.
2.
求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下
结论<
/p>
.
基础巩固题组
(
建议用时：
40
分钟
)
一、选择题
1.
已知
a
为函数
f
< br>(
x
)
＝
x
3
－
12
x
的极小值点，则
a
＝
(
)
- 7 -
A.
－
4
B.
－
2
C.4
D.2
解析
f
′(
x
)
＝
3
x
2
－
12
，∴
x
<
－
2
时，
f
′
(
x
)>0
，－
2<
x
<2
时，
f
′
(
x
)<0
，
x
>2
时，
f
′
(
x
)>0
，∴
x
＝
2
是
f
(
x
)
< br>的极小值点
.
答案
D
1
2
2.
函数
f
(
x<
/p>
)
＝
2
x
－
ln
x
的最小值
为
(
)
1
A.
2
B.1
C.0
D.
不存在
2
1
x
－
1<
/p>
解析
f
′(<
/p>
x
)
＝
x
－
x
＝
x
，且
x
>0.
令
f
′(
x
)>0
，得
x
>1
；令
f
′(
x
)<0<
/p>
，得
0<
x
<1
.
∴
f
(
x<
/p>
)
1
1
在
x
＝
1
处取得极小值
也是最小值，且
f
(1)
＝
2
－
ln
1
＝
2
.
答案
A
2
3.
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
bx
2<
/p>
＋
cx
的图象如图所示，则
x
1
＋
x
< br>2
2
等于
(
)
2
A.
3
8
C.
3
4
B.
3
16
D.
3
解析
由图象可知
f
(
x
)
的图象过点
(1
，
0)
与
(2
，
0)
，
x
1
，
x
2
是函数
f
(
x
)
的极值点，
因此
1
＋
b
< br>＋
c
＝
0
，
8
＋
4
b
＋
2
c
＝
0
，解得
b
＝－<
/p>
3
，
c
＝
2
，所以
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
2
＋
2
x
，
所以
f
′(
x
)
＝
3
x
2
－
6
x<
/p>
＋
2.
x
1
，
x
2
是方程
f
′(
x
)
＝
3
x
2
－
6
x
＋
2
＝
0
的两根，因此
x
1
＋
x
2
＝
2
4
< br>8
2
2
2
，
x
1
x
2
＝
3
，所以
x
2
＋
x
＝
(
x
＋
x
)
－
2
x
x
＝
4
－
< br>1
2
1
2
1
2
3
＝
3
.
答案
C
4.
已知函数
f
(
x
)
＝
e
x
－
x
2
，若
∀
x
∈
[1
，
2]
，不等式
－
m
≤
f
(<
/p>
x
)
≤
m
2
－
4
恒成立，则实
数
m
的取值范围是
(
)
A.(
－∞，
1
－
< br>e]
C.[
－
e
，
e
< br>＋
1]
B.[1
－
e
，
e]
D.[e
，＋∞
)
解析
因为
f
(
x
)
＝
e
x
－
x
2
，所以
f
′(
x
)
＝
e
x
－
2
x
，令
g
(
x
< br>)
＝
f
′(
x
)
，所以
g
′
(
x
)
＝
e
x
－
2<
/p>
，
因为
x
∈
[1
，
2]
，所以
g
′(
x
)<
/p>
＝
e
x
－
2>0
，故
f
′
(
x
)
＝
e
x
－
2
x
在
[1
，
2]
上是增函数，故
f
′(<
/p>
x
)
＝
e
x
－
2
x
≥
e
－
2>0
；故
f
(
x
)
＝
e
x
< br>－
x
2
在
[1
，
2]
上是增函数，故
e
－
1
≤
e
x
－
x
< br>2
≤
e
2
－
4
；故－
m
≤
f
(
x
)
≤
m
2
－
4
恒成立可化为－
m
≤
e
－
1
≤
e
2
－
4
≤
m
2
－
4
；故
m
≥
e.
- 8 -
答案
D
5
.
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
ax
2
＋<
/p>
(
a
＋
6)
x
＋
1
有极大值和
极小值，则实数
a
的取值范围
是
(
)
A.(
－
1
，
2)
C.(
－
3
，
6)
B.(
－∞，－
3)
∪
(6
，＋∞
)
< br>D.(
－∞，－
1)
∪
(2
，＋∞
)
解析
∵
f<
/p>
′(
x
)
＝
3
x
2
＋
2
ax
＋
(
a
＋
6)
，
由已知可得
f
′(
x
)
＝
0
有两个不相等的实根
.
∴
Δ
＝
4
a<
/p>
2
－
4
×
3(
a
＋
6)>0<
/p>
，即
a
2
－
3
a
－
18>0<
/p>
，
∴
a
>6
或
a
<
－
3.
答案
B
二、填空题
x
3
2
6.
函数
f
(
x
)
＝
3
＋
x<
/p>
－
3
x
－
4
在
[0
，
2]
上的最小值是
________.
解析
f
′(
x
)
＝
x
2
＋
2
x
－
3
，由
f
′(
x
)
＝
0
，
x
∈
< br>[0
，
2]
，
< br>
17
得
x
＝
1.
比较
f
(0)
＝－
4
，
< br>f
(1)
＝－
3
，
f
(2)
＝－
10
17
，可知最小值为
－
.
3
3
1
7
答案
－
3
a
7.
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
ax
2
＋
bx
－
a
2
－
7
a
在
x
＝
1
< br>处取得极大值
10
，则
b
的值为
________.
解
析
由
题
意
知
，
f
′
(
x
)
＝
3
x
< br>2
＋
2
ax
＋
b
，
f
′
(1)
＝
0
，
f
(1)
＝
10
，
即
3
＋
2
a
＋
b
＝
0
，
a
＝－
2
，
a
＝－
6
，
a
< br>＝－
6
，
解得
或
经检验
满足题
2
< br>
1
＋
a
＋
b
－
a
－
7
a
＝
10<
/p>
，
b
＝
1
b
＝
9
，
b
＝
9
a
2
意，故
b
＝－
3
< br>.
2
答案
－
3
8.<
/p>
函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
ax
＋
b
(
a
>0)
的极大值为
6
，极小值为
2
，则
f
(
x
)
的单调递减区间
是
< br>________
；函数的极大值为
________.
解析
令
f<
/p>
′(
x
)
＝
3
x
2
－
3
a
＝
0
，得
x
＝
±
a
，
- 9 -
则
f
(
x
)
，
f
′
(
x
)<
/p>
随
x
的变化情况如下表：
x
f
′(
x
)
f
(
x
)
(
－∞，－
a
)
＋
－
a
0
极大值
(
－
a
，
a
)
－
a
0
极小值
(
a
，
＋∞<
/p>
)
＋
（－
a
）
3
－
3
a
（－
a
）＋
b
＝
6
，
从而
3
< br>（
a
）
－
3
a
a
＋
b
＝
2
，
a
＝
1
，
解得
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
＋
4
，
b
＝
4.
所
以
f
(
x
)<
/p>
的单调递减区间是
(
－
< br>1
，
1)
，当
< br>x
＝－
a
＝－
< br>1
时，
f
(
x
)
极大
＝
f
(
－
1)
＝
6.
答案
(
－
1
，
1
)
6
三、解答题
e
x
9.
设
f
(
x
)
＝
，其
中
a
为正实数
.
1
＋
ax
2
4
(1)
当
a
＝
3
时，求
f
(
x
)
的极值点；
< br>
(2)
若
f
< br>(
x
)
为
R
上的单调函数，求实数
a
的取值范
围
.
1
＋
a
x
2
－
2
ax
解
对
f
(
x
)
求导得
f
′(
x
)
＝
e
·
.
①
（
1
＋
ax
2
）
< br>2
x
4
(1)
< br>当
a
＝
3
时，若
f
′(
x
)
＝
0
，则
4
x
2
－
8
x
＋
3
＝
0
，
3
1
解得
x
1
＝
2
，
x
2
＝
2
.
结合①，可知
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
1
－∞，
2
＋
1
2
0
极大值
1
3
2
，
2
－
3
2
0
极小值
3
2
，＋∞
＋
3
1
所以<
/p>
x
1
＝
2
是极小值点，
x
2
＝
2
是极大值点
.
(2)
若
f
(
x
)
为
R
上的单调函数，则
f
′(
x
)
在
R
上不变号，结合①
与条件
a
>0
，知
ax
2
－
2
ax
＋
1
≥
0
在
R
上恒成立，即
< br>Δ
＝
4
a
2
－
4
a
＝
4
a
(
a
－
1)
≤
0
，由此并结合
a
>0
，
知
0<
a
≤
1.
所以实数
a
的取值范围为
{
a
|0<
a
≤
1}.
10.
已知函数
f
(
x<
/p>
)
＝
(
x
－
k
)e
x
.
(1)
求
f
(
x
)
的单调区间；
- 10 -
< br>(2)
求
f
(
< br>x
)
在区间
[0
，
1]
上的最小值
.
解
(1)
由
题意知
f
′(
x
)
＝
(
x
－
k
＋
1)e
x
.
令
f
′(
x
)
＝
0
，得
x
＝
k
－
1.
f
(
x
)
与
f
′(
x
)
随
x
的变化情况如下表：
x
f
′(
x
)<
/p>
f
(
x
)
(
－∞，
k
－
1)
－
k
－
1
0
－
e
k
－
1
(
k
－
1
，＋∞
)
＋
所以，
f
(
x
)
的单调递减区间是
(
－∞，
k
－
1)
；单调递增区间是
(
k<
/p>
－
1
，＋∞
).
(2)
当
k
－
1
≤
0
，即<
/p>
k
≤
1
时，
f
(
x
)
在
[0
，
1]
上单调递增，
所以
f
(
x
)
在区间
[0
，
1]
上
的最小值为
f
(0)
＝－
k
；
当
< br>0<
k
－
1<1
，即
1<
k
<2
时，
f
(
x
)
在
[0
< br>，
k
－
1]
上单调递减，在
[
k
－
1
，
1]
上单调递增，<
/p>
所以
f
(
x
)
在区间
[0<
/p>
，
1]
上的最小值为
f
(
k
－
1)
＝－
e
k
－
1
；
当<
/p>
k
－
1
≥
1
，即
k
≥
2
时，
f
(
x
)
在
[0
，
1]
上单调递减，
所以
f
(
x
)
在区间
[0
，
1]
上的最小值为
f
(1)
＝
(1
－
k
)e.
综上，当
k
≤
1
时，
f
(
x
)
在
< br>[0
，
1]
上的最小值为
f
(0)
＝－
k
；
当
1<
k
<2
时，
f
(
x
)
在
[0
，
1]
上的最小值为
f
(
k
－
1)
＝－
e
k
－
1
；
当
k
≥
2
时，
f
(
x
)
在
[0
< br>，
1]
上的最小值为
f
(1)
＝
(1
－
k
)e.
能力提升题组
(
建议用时：
30
分钟
)
x
11.
函数
f
(
x
)
＝
e
x
(
)
A.
仅
有最小值
1
2e
1
2e
B.
仅有最大值
D.
无最值
1
< br>－
2
x
1
0
，
，
∴当
x
∈<
/p>
时，
f
′
(
x
)>0
，
2
2
x
e
x
1
2e
C.
有最小值
0
，最大值
解析
<
/p>
函数
f
(
x
)
的定义域为
[0
，
＋
∞
)
，<
/p>
f
′
(
x
)
＝
1
1
1
f
(
x
)
递增；当
x
∈
< br>
2
，＋
∞
时，
f
′
(
x
)<0
，
f
(
x
)
递
减
.
又
f
(0
)
＝
0
，
f<
/p>
2
＝
，当
2e
- 11 -
1
1
x
∈
2
，＋
∞
时，
f
(
x
)>0
，∴
f
(
x
)
min
＝
0
，
f
(
x
)
max
＝
.
2e
答案
C
1
2
12.
若函数
f
(
x
)
＝
3
x
3
＋
x
2
－
3
在区间
(
a
，
a
＋
5)
上存在最小值，则实数
a
的取值范围
是
(
)
A.[
－
5
，
0)
B.(
－
5
，
0)
C.[
－
3
，
0)
D.(
－
3
，
0)
解析
由题意，
f
′
(
x
< br>)
＝
x
2
＋
2
x
＝
x
(
x
＋
2)<
/p>
，故
f
(
x
)
在
(
－
∞
，
－
2)
，
(0
，＋
∞
)
上是增函数，在
(
－<
/p>
2
，
0)
上是减
函数，作
出其图象如图所示
.
－
3
≤
a
<0
，
1
3
2
2
2
< br>
令
3
x
＋
x
－
3
＝
－
3
得，
x
＝
0
或
x
＝－<
/p>
3
，
则结合图象可知，
< br>解得
a
∈
[
－
a
＋
5>0
，
3
，
0)
，故选
C.
答案
C
1
－
x
1
1
13.
已知函
数
F
(
x
)<
/p>
＝
x
＋
k
ln
x
(
其中
k
<
e
且
k
≠
0)
，则
F
(
x
)
在
e
，
< br>e
上的最大值为
________
，最小值为
< br>________.
1
－
x<
/p>
（
1
－
x
）
′
x
－（
1
－
x
）
x
′
k
kx
－
1
解析
< br>F
(
x
)
＝
x
＋
k
l
n
x
(
x
>
0)
，∴
F
′
(
x
)
＝
＋<
/p>
x
＝
x
2
.
x
2
1
x
－
k
k
1
1
<
/p>
①若
k
<0
，<
/p>
在
e
，
e
上，
恒有
x
2
<0
，
∴
F
(
x
)
在
e
< br>，
e
上单调递减，
F
(
x
)
min
＝
F
(e)
1
－
e
1
1
＝
e
＋
k
＝
e<
/p>
＋
k
－
1
，
F
(
x
)
max
＝
F
e
＝
e
－
k
－
1.
1
k
x
－
k
1
1
1
②
k
>0
时，∵
k
<
e
，∴
k
>e
，
x
－
k
<0
，∴
x
2
<0
，
1
－
< br>e
1
1
1
∴
F
(
x
)
在
e
，
e
上单调递减，
∴<
/p>
F
(
x
)
min
＝
F
(e)<
/p>
＝
e
＋
k
＝
e
＋
k
－
1.
F
(
x
)
max
＝
F
e
< br>＝
e
－
k
－
1.
1
1<
/p>
综上所述，当
k
≠
0
且
k
<
e
时，
F
(
x<
/p>
)
max
＝
e<
/p>
－
k
－
1
，
F
(
x
)
min
＝
e
＋
k
－
1.
1
答案
e<
/p>
－
k
－
1
e
＋
k
－
1
14.
设函数
f
(
x
)
＝
ln(
x
＋
a
)
＋
x
2
.
- 12 - <
/p>
(1)
若当
x
＝
－
1
时，
f
(
x
)
取得极值，求
a
的值，并讨论
f
(
x
)
的单调性；
e
(2)
若
f
(
x
)
存在极值，求<
/p>
a
的取值范围，并证明所有极值之和大于
ln
2
.
解
(1)
f
′(
x
)
＝
从而
f
′(
x
)
＝<
/p>
1
3
＋
2
x
，依题意，有
f
′
(
－
1)
＝
0
，故
a
＝
2<
/p>
.
x
＋
a
（
2
x
＋
1
）（
x
＋
1
）
3
－
2
，＋∞
，
，且
f
(
x
)
的定义域为
3
< br>
x
＋
2
3
当－
2
<
x
<
－
1
时，
f
′
(
x
)>0
；
1
当－
1<
x
<
－
2
时，
f
′
(
x
)<0
；
1
当
x
>
－
2
时，
f
′
(
< br>x
)>0.
1
3
< br>1
∴
f
(
x
)
在
区间
－
2
，
－
1
，
<
/p>
－
2
，＋∞
<
/p>
上单调递增，在
－
1
，－
2
上单调递减
.
2
x
2
＋
2
ax
＋
1
(
2)
f
(
x
)
的定义域为
(
－
a
，＋∞
)
，
f
′
(
x
)
＝
.
x
＋<
/p>
a
方程
2
x
2
＋
2
ax
＋
1
＝
0
的判别式
Δ
＝
4
a
2
－
8
，
①若
Δ
≤
0
，即－
2
≤
a
≤
2
时，
f
′
(
x
)
≥
0
，
故
f
(
x
)<
/p>
无极值
.
②若
Δ
>0
，即
a
<
－
2
或
a<
/p>
>
2
，则
2
x
2
＋
2
ax
＋
1
＝
0
有两个不同的实根，
x
1
＝
－
a
－<
/p>
a
2
－
2
－
a
＋
a
2
－
2
，
x
2
＝
.
< br>2
2
当
a
<
－
2
时，
x
1
<
－
a<
/p>
，
x
2
<
－
a
，
故
f
′(
x
)>0
在定义域上恒成立，
故
f
(
x
)
无极值
.
当
a
>
2
时，－
a
<
x
1
<<
/p>
x
2
，故
f
(
x
)
在
(
－
a
，
x
1
)
上递增，
(
x
1
，
x
2
)
上递减，
(
x
2
，＋∞
)
上递增
.
故
f
(
x
)
在
x
＝
x
1
，
x
＝
x
2
取得极值
.
综上，
f
(
x
)
存在极值时，
a
的取值范围为<
/p>
(
2
，＋∞
).
1
由上可知，
x
1
＋
x
2
＝
－
a
，
x
1<
/p>
x
2
＝
2
.
2
2
所以，
f
(
x
)
的极值之和为
f
(
x<
/p>
1
)
＋
f
(
x
2
)
＝
ln(
x
1
＋
a
)
＋
x
1
＋
ln(
x
2
＋
a
)
＋
x
2
2
＝
ln(
－
x
2
)
＋
ln(
－
x
1
)
＋
(
x
2
1
＋
x
2
)
- 13 - <
/p>
＝
ln(
x
1<
/p>
x
2
)
＋
(
x
1
＋
x
2
)
2
－
2
x
1
x
2
1
1
e
＝
ln
2
＋
a
2
－
1>ln
2
＋
(<
/p>
2)
2
－
1
＝
ln
2
.
4
15.
若函数
f
(
x
)
＝
ax
3
－
bx
＋
4
，当
x
＝
2
时，函数
f
(
x
)
有极值－<
/p>
3
.
(1)
求
函数
f
(
x
)
的解析式；
(2)
< br>若函数
f
(
x
< br>)
＝
k
有
3
个解，求实数
k
的取值范围
.
解
(1)
对函数
f
(
x
)
求导得：
f
′(
x
)
＝
3
ax
2
－
b
，
f
′（
2
）＝
12
a
－
b
＝
0
，
由题意
4
f
< br>（
2
）＝
8
a
－
2
b
＋
4
＝－
3
，
1
a
＝
，
1
解得
3
∴函数
f
(
x
)
的解析式为
f
(
x
)
＝
3
x
3
－
4
x
＋
4.
b
＝
4.
< br>(2)
由
(1)
可得：
f
′(
x
)
＝
x
2
－
4
＝
(
x
－
2)(
x
＋
2)
，
令
f
′(
x
)
＝
0
，得
x
＝
2
或
x
＝－<
/p>
2.
当
x
变化
时，
f
′
(
x
)
，
f
(
x
)
的变化情况如下表：
< br>
x
f
′(
< br>x
)
f
(
x
)
(
－∞，－
2)
＋
－
2
0
28
3
(<
/p>
－
2
，
2)
－
2
0
4
－
3
(2
，＋∞
)
＋
28<
/p>
因此，当
x
＝－
2
时，
f
(
x
)
有极大值
3
；
4
当
x<
/p>
＝
2
时，
f
(
x
)
有极小值－
3
.
1
∴函
数
f
(
x
)<
/p>
＝
3
x
3
－
4
x
＋
4
的图象大致如图所示
.
因为方程
f
(
x
)
＝
k<
/p>
的解的个数即为
y
＝
k
与
y
＝
f
(
x
)
的交
点个数
.
4
28
所以实数
k
< br>的取值范围是
－
3
，
3
.
-
14 -