动点最值基本模型
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动点最值基本模型
原创：
向北
向北数学
2018-05-14
从合肥各区的模考卷来看，最值问题仍是
2018
中考第
10
或
14
题的热门。本文以瑶海
蜀山庐阳二模卷中最值问题为例，对最值问进行简要分类和例析，欢迎指正。
一、最值类型
1•
< br>饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条
线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。（本公众
号有【解
题模型】将军
饮马”）
2•
小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直
线，禾
U
用垂
线段最短的性
质得到结果。
3•
穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹
为圆或弧，利用
点与圆的位置关系得到结果。
（本公众号有“一箭穿心，圆来如此一文”
）
4•
转换
型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半
条线段利用三角
形中位线或
30
。的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。
5•
三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用
两边之和大于第三边、两边之差小于第
三边求其最大
（小）值。
6•
结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马
【如蜀山二模第
10
题】等
+
小垂【如包河一模
20
题】【瑶海一模
第
10
题】、小垂
+
穿心【如庐阳二模第
10
题】、饮马
+
穿心【如瑶海二模第
10
题】饮马
+
转换
※二、分类例析
一、饮马型
例
1
:
如图，在正方形
ABCD
中，点
E
在
CD
上，
CE=3, DE=1,
点
P
在
AC
上，贝
U PE+PD
的最小值是
_
______
.
解析：如图
例
2
:<
/p>
如图所示，正方形
ABCD
的面积为
12
,
△
AB
E
是等边三角形，点
E
在正方形
ABCD
内，在对角线
AC
< br>上有一点
P
,
使
PD+PE
的和最小，则这个最小值为
解析：如下图
、小垂型
AC
=
8
,
BC
=
6
，
点
P
是
AB
上
的任意一点
,
例
3
:
如图，在
Rt
A
ABC
中，
/
C
=
90
° ,
作
PD
丄
AC
于点
D
,
PE
±
CB
于点
E
,
连接
DE,
贝
U
DE
的最小值为
______________
解析：如下图
三、穿心型
例
4
:
如图，在边长为
4
的菱形
ABCD
中，
/
ABC=120°
,
M
是
AD
边的中点，
N
是
AB
边上一动点
，将厶
AMN
沿
MN
< br>翻折得到厶
A
'
MN
,
连接
A
'
C,
则
A
'
C
长度的最小值是
_____________
.
解析：如下图
四、转换型
例
5:
如图，
P
为菱形
ABCD
内一点，且
P
到
A
、
B
两点的距离相等，
若
/
C=60°
,
CD=4
,
则
的最小值为
_
______________
解析：因为
P
到
A
、
B
两点的距离相等，
所以
P
在
AB
的垂直平分线上，
又因菱形
ABCD
中
/
C
为<
/p>
60
°,所以△
ABD
为等边三角形，
AB
的垂直平分线经过点
D,
如下图
由
/
ADP=30
< br>度，可将
PD
的一半进行转换，即过点
< br>
P
作
AD
的垂线。如图，
即
B
、
P
、
F
三点共线，且
BF
丄
AD
时最短
D
五、三边型
例
6
:
如图，
/
MON=90
°，矩形
ABCD
的顶点
A
、
B
分别在边
< br>0M
,
ON
上，当
B
在边
ON
上运动
时，
A
随之在边
0M
上运动，矩形
ABCD
的形状保持不变，其中
AB=2
,
BC=1,
运
动过程中，点
D
到点
0
的最大距离为
___________________________________
解析：如下图因为
AB
为定长，所以取其中点
E
,
贝
U
0E
为定值，在△
ODE
中，
DE
为定
值，
OE
为定值，根据三角形三边关系即可得到
OD
的最大值。
例
7
:
如图，已知△
ABC
中，
/
ACB=90°
,
BC=4
,
AC=8,
点
D
在
AC
上，且
AD=6,
将