高考中的最值问题的解题策略
潮落夜江斜月里-
高考中的最值问题的解题策略
一、复习策略
1
、
函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，
许多最值问
题最后总是转化为函数
(
特别是二次函数
)
的最值问
题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法
、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．
2
、求几类重要函数的最值方法；
<
/p>
(1)
二次函数：配方法和函数图像相结合；
(2)
：均值不等式法和单调性加以选择；
(3)
多元函数：数形结合或转化为一元函数．<
/p>
3
、三角函数、数列、解析几何中的最
值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不
等式法求解．
4
、实际应用问题中的最值问题一般有下
列两种模型：直接法，目标函数法
(
线性规划，二次函数的最值
)
．
5
、
不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．
< br>f(x)
＞
m
恒成立，
即
＜
m
．
＞
m
；
< br>f(x)
＜
m
恒成立，
即
6
、参数范围问题内容涉及代数和几何的多个
方面，解题的关键是不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式
法，均值不等式法，变量
的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．解决这一类问题，常用的思想方法有：
函
数思想、数形结合等．
二、典例剖析
问题
1
：函数的最值问题
例
1
、
< br>(07
江苏卷
)
已知二次函数<
/p>
的导数为
，
，
对
于任意实数
，
都有
，
< br>则
的最小值为（
）
A
．
3
B
．
解：
C
．
2
D
．
＝
，依题意，有：
< br>，可得
，
＝
＝
＋
1≥2
＋
1≥2
＋
1
＝
2
，故选
(C)
．
例
2
、
如下图
(
1)
所示，定义在
D
上的函数
则称函数
是负数或零
)
，如果满足：对任意
，存在常数
A
，都有
≥A
成立
，
在
D
上有下界，其中
A
称为函数的下界
. (
提示
：图
(1)
、
(2)
< br>中的常数
A
、
B
可以是正数，也可以
（
1
）
（
2
）
(
Ⅰ
)
试判断函数
在
(0
，＋
)
上
是否有下界？并说明理由；
(
Ⅱ
)
又如具有上
右图
(2)
特征的函数称为在
D
上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数
上有上界的定义，并
判断
(
Ⅰ
)
中
的函数在
(
－
，
0)
上是否有上界？并说明理由；
在
D
(
Ⅲ
)
已知某质点
的运动方程为
，
要使在
上的每一时刻该
质点的瞬时速度是以
A=
为下界的函数，求实数
a
的取值范围．
分析：
利用导数判断函数
等式求最值．
解：
的单调性，求出函数
的最值，从而可以确定函数的下界或上界；或用重要不
(
Ⅰ
)
解法
1
：∵
，由<
/p>
得
，
∵
，∴
x<
/p>
＝
2
，
∵当
时，
，∴函数
在
(0
，
2)
上是减函数；
当
时，<
/p>
，∴函数
在
(2
，＋
)
上是增函数；
∴
是函数
在区间
(0
，＋
)
上的最小值点，
．
∴对任意
，都有
，
即在区间
(0
，＋
)
< br>上存在常数
A=32
，使得对任意
都有
成立，
∴函数
在
(
0
，＋
)
上有下界
.
解法
2
：
．
当且仅当
即
x
＝
2
时
“=
”
成立．
∴对任意
，都有
，
即在区间
< br>(0
，＋
)
上存在常数
A=32
，使得对任意
都有
成立，
∴函数
在
(0
，＋
)
上有下界．
(
Ⅱ
)
类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在
D
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常
数
B
，都有
≤B
成立，则称函数
在
D
上有上界，其中
B
称为函数的上界
.
设
则
，由
(
Ⅰ
)
知，对任意
，都有
，
∴
，∵函
数
为奇函数，∴
．
∴
，∴
．
即存在常数
B=
－
32
，对任意
，都有
，
∴函数
在
(
－
，
0)
上有
上界．
(
Ⅲ
)
质点在
上的每一时刻的瞬时速度
．
依题意得对任意
有
< br>．
对任意
恒成立．
令
，∵函
数
在
[0
，＋
∞
）上为减函数．
∴
．
∴
. <
/p>
问题
2
：三角函数、数列、解析几何中的
最值问题
将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．
例
3
、
(05
年上海
)
点
A
、
B
分别是椭圆
且位
于
轴上方，
PA
⊥
PF
．
(1)
求点
P
的坐标；
长轴的左、右端点，点<
/p>
F
是椭圆的右焦点，点
P
在椭圆上，
(2)
设
M
是椭圆长轴
AB
上的一点，
M
到直线
< br>AP
的距离等于
|MB|
，求椭
圆上的点到点
M
的距离
d
的最小
值．
分析：
将
d
用点
M<
/p>
的坐标表示出来，
解：
(1)
由已知可得点
A(
－
6
，
< br>0)
，
F(4
，
0)
．
，然后求其最小值．
设点
P(x
，
y)
，则
={x
＋
6
，
y}
，
={x
－
4
，
y}
，由已知可得
，则
2x
2
＋
9x
－<
/p>
18=0
，解得
x=
或
x=
－
6
．
由
于
＞
0
，只能
=
，于是
=
．∴点
P
的坐标是
(
，
< br>)
．
(2)
直线
AP
的方程是
x
－
< br>y
＋
6=0
．
< br>
设点
M(m
，
0)
，则
M
到直线
AP
的距离是
．
于是
=
，又－
6≤m≤6
，解得
m=2
．
椭圆上的点
< br>(x
，
y)
到点
M
的距离
d
有
，
由于－
6≤x≤6
，∴当
< br>=
时，
d
取得最小值
．
例
4
、
(05
年辽宁
)
如图，在直径为
1
的圆
中
，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中
．
(
Ⅰ
)
将十字形的面积表示为
的函数；
(
Ⅱ
)
为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少
？
分析：
将十字型面积
S
用变量
表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出
S
的最大值．
(
Ⅰ
)
解：设
S
为十字
形的面积，则
(
< br>Ⅱ
)
解法一：
其中
当
最大．
所以，当
最大
.
S
的最大值为
解法二：因为
所以
令<
/p>
S′=0
，
即
可解得
，
所以，当
时，
S
最大，
S
的最大值为
例
< br>5
、
已知点
A(
－
1
，
0)
< br>，
B(1
，
－
< br>1)
和抛物线
P
，直线
MB
交抛物线
C
于另一
点
Q
，如图．
，
O
为坐标原点，
过点
A
的动直线
l
交抛物线
C
于
M
、
(I)
若△
POM
的面积为
，
求向量
与
的夹角；
(II)
试探求点
O
到直线
PQ
的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由
.
分析：
可先设出
M
与
P
点的坐标，再利用斜率相等求出
重要不等式求出最值．
解：
的值，利用向量的数量积求出夹角．第二问中可用
(I)
设点
、
M
、
A
三点
共线，
设∠
POM=α
，则
由此可得
tanα=1
.
又
令
，则
.
∴
O
到
PQ<
/p>
的距离：
，
即当且仅当
t=16
时取最大值，且最大值
为
．
<
/p>
故存在最大值，且最大值为
问题
3
：最值的实际应用
．
在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函
数，转化为
求函数的最值．