函数的极值和最值 知识梳理
霍金的简介-
函数的极值和最值
【考纲要求】
1.
掌握函数极值的定义。
2.
了解函数的极值点的必要条件和充分条件
.
3.
会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.
会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】
函数的极值
函数的极值和最值
函数极值的定义
函数极值点条件
求函数极值
函数在闭区间上的最大值和最小值
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数<
/p>
f
(
x
)
在点
x
x
0
及其附近有定义，
（
1
）若对于
x
0
附近的所有点，都有
f
(
x
)
f
(
x
0
)
< br>，则
f
(
x
0
)
是函数
f
(
x
)
的一个极大值，记作
y
极大值
f
(
x
0
)
；
（
2
）
若
对
x
0
附
近
的
所
有
点
，<
/p>
都
有
f
(
x
)
f
(
x
0
)
，
则
f
(
x
0
)
是
函
数
f
(
x<
/p>
)
的一
个
极
小
值
，
记作
y
极小值
f
(
x
0
)
.
极大值与极小值统称极值
.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数
f
(
x
)
；
③求方程
f
(
x
)
0
的根；
④检查
f
'(
x
)
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，
则
f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右
正，则
f(x)
在这个根处取得极小值
.(
最好通过列表法
)
要点二、函数的最值
1.
函数的最大值与最小值定理
若函数
y
f
(
x
)
在闭区间<
/p>
[
a
,
b
]
上连续，
则
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上必有最大值和最小值；
在开区间
(
a
,
b
)
内连
续的函数
f
(
x
)
不一定有最大值与最小
值
.
如
f
(<
/p>
x
)
要点诠释
：
1
(
x<
/p>
0)
.
x<
/p>
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.
通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数
y
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
有定义，
在开区间
(
a
,
b
)
内有导数，
则求函数
y
f
(
x
)<
/p>
在
[
a
,
b
]
上的最
大值和最
小值的步骤如下：
（
1
）求函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内的导数
f
(
x
< br>)
；
（
2
）求方程
f
(
x
)
0
在
(
a
,<
/p>
b
)
内的根；
（
3
）求在
(
a
,
b
)
内使
f
(
x
)
0
的所有点的函数值和
f
(
x
)
在闭区间端点处的函数值
f
(
a
)
，
f
(
b
)
；
（
4
）比较上面所求的值，其中最大者为函数
y
f
(
x
)
< br>在闭区间
[
a
,
b
]
上的最大值，最小者为函数
y
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上的
最小值
.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
【高清课堂：函数的极值和最值
394579
典型例题一
】
例
1.
已知函数
f
< br>(
x
)
mx
3
x
3
x
,
m<
/p>
R
.
若函数<
/p>
f
(
x
)
在
x
1
处取得极值，试求
m
的
值，并求
3
2
f
(
x
)
在点
M
(
1
,
f<
/p>
(
1
))
处的切
线方程；
【解析】
f
'(
x
)
< br>3
mx
6
x
3,
m
R
.
因
为
f
(
x
)<
/p>
在
x
1
处取得极值
所以
f
'(
1)
3
m
6
3
0
所以
m
3
。
又
f
(1)
3,
f
'(1)
12
所以
f
(
x
)
在点
M
(
1
,
< br>f
(
1
))
处的切线方程
y
3
12(
x
1)
即
12
x
y
< br>9
0
.
举一反三：
【变式
< br>1
】设
a
为实数，函数
f
x
e
2
< br>x
2
a
,
x
R
．
x
2
(
1
)
求
f
x
的单调区间与极
值；
(
2
)
求证：当
a
ln
2
1
且
x
0
时，<
/p>
e
x
2
ax
1
．
【解析】
（
1
）由
f
(
x
)
e
2
< br>x
2
a
,
x
R
知
f
(
x
)
e
2,
x
R
．
令
f
(
x
)
0
，得
x
ln
2
．于是当
< br>x
变化时，
f
(
x
),
f
< br>(
x
)
的变化情况如下表：
x
x
x
2
x
(
,ln
2)
－
单调递减
ln
2
0
(ln
2,
)
+
单调递增
f
(
x
)
<
/p>
f
(
x
)
2(1
ln
2
a
)
故
f
(
x
)
的单调递减区间是
(<
/p>
,ln
2)
，单调递增区间是
(ln
2,
)
，
f
(
x
)
在
x
ln
2
处取得极小值，极小值为
f
(ln
2)
e
ln
2
2ln
2
2
a
2(1
ln
2
a
).
(
2
)
证明：设
g
(
x
)
e
x
2
ax
1
，
x
R
于是
g
(
x
)
< br>e
2
x
2
a
，
x
R
由
(
1
)
知当
a
ln
2
1
时，
g
(
x
)
最小值为
g
(ln
2)
2(1
ln
2
a
)
0.
于是对任意
x
R
，都有
g
(
x
)
0
，所以
g
(
x
)
在
R
内单调递增．
于是当
a
ln
2
1
时，对任意
x
(0
,
)
，都有
g
(
x
)
g
(0)
．
而
g
(0)
0
，从而对任意
x
(0,
),
g
(
x
)
0
．
即
e
x
<
/p>
2
ax
1
0
，故
e
x
2
ax
1
．
【变式
2
】
函数
f
(
x
)
的定义域为区间
（
a
，
b
）
，
导函数
f
'(
x
)
在
（
a
，
b
）
内的图如图所示，<
/p>
则函数
f
(
x<
/p>
)
在（
a
，
b
）内的极小值有（
）
x
2
x
2
x
x
2
A
．
1
个
< br>
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
<
/p>
【答案】由极小值的定义，只有点
B
是函
数
f
(
x
)<
/p>
的极小值点，故选
A
。
< br>
类型二：利用导数解决函数的最值问题
【高清课堂：函数的极值和最值
394579
典型例题三
】
例
2.
已知函数
f
< br>(
x
)
(
x
mx
m
)
e
,<
/p>
其中
m
R
。
（
1
）若函数
f
(<
/p>
x
)
存在零点，求实数
< br>m
的取值
范围；
（
2
）当<
/p>
m
0
时，求函
数
f
(
x
)<
/p>
的单调区间；并确定此时
f
(
x
)
是否存在最小值，如果存在，求出最
小值，如果存在，请说明理由。
【解析】
（
1
）因为函数
f
(
x
)
存在零
点，则
x
mx
m
0
有
实根，
2
2
x
m
2<
/p>
4
m
0
，即
m
0
或
m
4
（
2
< br>）当
m
0
时，函数定义域为
R
f
(
x
)
(2
x
m
)
e
x
(
x
2
mx
m
)
e
x
(
x
2
2
x
mx
)
e
x
x
(
x
2
m
)
e
x
由
f
(<
/p>
x
)
0
，则
x
0
或
x
m
2
由
< br>f
(
x
)
0
，则
x
0
或
x<
/p>
m
2
由
f
(
x
)
0
，则
m
< br>2
x
0
列表如下：
x
(
,
m
2)
+
增
m
2
0
极大值
(
m
2,0)
-
减
0
0
极小值
(0,
)
+
增
f<
/p>
'(
x
)
f
(
x
)
所以
f
(
x
)
在
(
,
m
< br>2)
，
(0,
)
上单调增，在
(
m
2,0)
上单调减。
又知当
x
m
2
且
时，
f
(
x
)
0
；
x
0
且
时，
f
(
x
)
0
；
< br>而
f
(0)
< br>m
0
，所以
< br>f
(
x
)
存在最小值
f
(0)
m
.
举一反三：
3
【变式】已知函数
f
(
x
)
a
x
1
(
a<
/p>
0
),
g
(
x
)
x
bx
.
2
(1)
若曲线
y
f
(
x
)
与曲线
y
g
(
x
)
在它们的交点
(1,
c
)<
/p>
处具有公共切线
,
求
a
,
b
的值
;
(2)
当
a
4
b
时
,
求函数
f
(
x
)
g
(<
/p>
x
)
的单调区间
,
并求其在区间
(
,
1]
上的最大值
.
【解析】
(1)
由
1
，
c
为公共切点可得
:
f
(
x
)
ax
2
1(
a
0)
,
2
则
f
(
x
)
2
ax
,
k
1
2
a
,
g
(
x
)
x
3
bx
,
则
g
(
x
)
=3
x
2
b
,
k
2
3
b
,
2
a
3
b
①
又
f
(1)
a
1
,
g
(1)
1
b
,
a
1
1
b
,
即
a
b
,
a
3
代入①式可得
:
.
b
3
(2)
Q
a
2
4
b
,
设
h
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
x
3
ax
2
1
a
2
x
1
4
1
则
h
(
x
)
3
x
2
2
ax
a
2
,
令
h
(
x
)
0
,
4
a
a
解得
:
x
1
,
x<
/p>
2
; <
/p>
6
2
Q
a
0
,
,
a
a
< br>
a
a
原函数在
单调递增
,
在
< br>单调递减
,
在
，
，
< br>
，
上单调递增
2
2
6
<
/p>
6
a
2
a
6
a
a
①若
1
≤
,
即
0
< br>
a
≤
2
时
,
最大值为
h
(
1)
a
;
4
2
a
a
a
②若
<
/p>
1
,
即
2
a
6
时
,
最大值为
h
1
< br>
2
6
2
③若
1
≥
a
a
时
,
即
a
≥
6
时
,
最大值为
h
1
.
6
2
2
a
2
a
综上所述
:
当
a
< br>
0
，
2
时
,
最
大值为
h
(1)
a
;
当
a
2
,<
/p>
时
,
最大值为
h
1
.
4
2
例
3
（
2016
东城区模拟）
已知函数
f
(
x
)
x
a
ln
x
，
a<
/p>
R
．
(Ⅰ)若
f
(
x
)
在
x
1
处取得极值，求
a
的
值；
2
(Ⅱ)
求
f
(
x
)
在区间
[1,
)
上的最小值；
2
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若
h
(
< br>x
)
x
f
(
x
)
，求证：当
1
x
e
时，恒有
x
2
4
h
(
x
)<
/p>
成立．
4<
/p>
h
(
x
)
2
【解析】（Ⅰ）由
f
(
x
)
x
a
ln<
/p>
x
，定义域为
(0,
)
，得
f
(
x
)
2
x
'
a<
/p>
．
x
2
因为函数
f
(
x
)
x
a
ln
x
在
x
1
处取得极值，
所以
f
(1)
<
/p>
2
x
'
a
0
，
即
2
a
0
，
解得
< br>a
2
．
x
经检验，满足题意，所以
．
a
2
x
2
a
（Ⅱ）由（Ⅰ）
得
f
(
x
)<
/p>
2
x
，定义域为
(0,
)
．
x
x
'
'
当
a
0
时，有
f
(
x
)
0
，
f
(
x
)
在区间
[1,
)
上单调递增，
最小值为
f
(1)
< br>1
；
当
0
a
2
，由
f
(
x<
/p>
)
0
得
x
'
a
，且
0
2
a
1
．
< br>
2
当
x
(0,
a
a
)
时，
f
'
(
x
)
0<
/p>
，
f
(
x
)
单调递减，当
x
(
,
)<
/p>
时，
f
'
(
x
)
0
，
f
(
x
)
单调递增，
2
2
在区间
上单调递增，最小值为
；
所以
当
< br>a
2
时，
a
1
，
2
单调递减，当
x
(
当
x
(1,
a
)
时，
f
'
(
x
)
0
，
2
a
,
)
时，
f
'
(
x
)
0
，
f
(
< br>x
)
单调递增，
2
所以函数
f
(
x
)
在
x
a
a
a
a
a
取得最小值
f
(
)
ln
．
2
2
2
2
2
上
的最小值为
；
上的最小值为
综上当
a
2
时，
f
(
x
)
在区间
当
a
2
时，
f
(
x
)
在区间
2
a
a
a
< br>
ln
．
2
2
2
（Ⅲ）由
< br>h
(
x
)
x
f
(
x
)
得
h
(
x
)
2ln
x
．
当
1
x
e
2
时，
0
ln
x
< br>
2
，
0
h
(
x
)
4
，
欲证
x
4
h
(
x
)
，只需证
x
[4
h
(
x
)]
4
h
(
x
)
< br>，
4
h
(
x
)
4
x
4
2
x
2
，即
ln
x
．
x
1
x
1
< br>2
x
2
设
(x)
ln
x
，
x
1
即证<
/p>
h
(
x
)
1
2(
x
1)
(2
x
2)
(
x
1)
2
则
< br>(x)
2
< br>2
．
x
(
x
1)
x
(
x
1)
'
当
1
x
e
2
时，
(x)
0
，所以
(x)
在区
间
(1,e
)
上单调递增．
'
2
所以当
1
x
e
2
时，
< br>(x)
(1)
0
，即
ln
x
故
x
< br>
2
x
2
0
，
x
1
4
h
(
x
)
．
4
h
(
x
< br>)
所以当
1
< br>x
e
2
时，
x
举一反三：
4
h
(
x
)
恒成立．
< br>
4
h
(
x
)
【变式
1
】设函数
f
(
x
)
x
log
2
x
(1
x
)log
2
(1
x
)(0
x
1),
求
f
(
x
)
的最小值
;
< br>【解析】函数
f
（
x
）的定义域为（
0
，
1<
/p>
）
f
'(
x
)
(
x
log
2
x
)'
[(1
x
)log
2
(1
x
)]'<
/p>
log<
/p>
2
x
log<
/p>
2
(1
x
)
令
f
'(
x
)
0
得
x
当
0
x
1
1
log
2
x
log
2
(1
x
)
ln
2
ln
2
1
2
1
1
时，
f
'(
x
)
0
,
∴
f
(
x
)
在区间
(0,
)
是减函数；
2<
/p>
2
1
1
当
x
1
时，
f
'(
x
)
0
,
∴
f
(
x
)
在区间
(
,1)
是增函数
.
2
2
1
1
∴
f
(
x
)
在
x
时取得最小值且最小值为
f
(
)
<
/p>
1
.
2
2
【变式
2
】
(20
15
江苏高考
)
已知函数
f
(
x
)
x
< br>ax
b
(
a
,
b
R
)
.
(1)
试
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(2)
< br>若
b
＝
c
-
a
(
实数
c
是
a
与无关的常数
< br>)
，当函数
f
(
x
)
有三个不同的零点时，
a
的取值范围恰好是
3
2
3
3
(
< br>，
3)
U
(1
，
)
U
(
，
)
，求
c
的值
.
2
2
【解析】
(1)
f
′(
x
)
＝
3
x
2
+2
ax
，令
f
′(
x
)
＝
0
，解得
x
1
0
，
x
2
2
a
．
3
当
a
＝
0
时，因为
f
′(
x
)
＝
3
x
2
< br>＞
0
，
(x≠0)
，所以函数
f
(
x
)
在
(-
∞
，
+∞)
上单调递增；
当
a
＞
0
时，
x
，
2
a
2
a
< br>U
(0
，
)
x
0
时，
f
′
(
x
)
＜
0
，所以函数
f
(
x
)
在
时，
f
′(
x
)
＞
0
，
，
3
3
2
a
< br>2
a
，
0
上单调递减；
，
(0
，
+∞)
上单调递增，在
<
/p>
，
3
3
0)
U
当
a
< br>＜
0
时，
x
(
，
2
a
2
a
，
时，
f
(
x
)
0
，
x
0
，
时，
f
′(
x
)
＜
0
，
3<
/p>
3
所以函数
f
(
x
)
在
(-
∞
，
0)
，
2
a
2
a
< br>
，
上单调递增，在
0
，
< br>上单调递减．
3
3
2
a
4
3
a
b
，
<
/p>
3
27
(2)
由
(1)
知
，函数
f(x)
的两个极值为
f
(0)
＝
b
，
f