导数与函数的极值、最值
103式太极拳-
导数与函数的极值
、
最值
【题型突破】
利用导数解决函数的极值问题
►
考法
1
根据函数图象判断函数极值的情况
【例
1
】
<
/p>
设函数
f
(
x<
/p>
)
在
R
上可导，
其导函数为
f
′
(
x
)
，且函数
y
< br>＝
(1
－
x
)
f
′
(
x
)
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
(
)
A
．函数
f
(
x
)
有极大值
f
(2)
和极小值
f
(1)
B
．函数
f
(
x
)
有极大值
f
(
－
2)
和
极小值
f
(1)
C
< br>．函数
f
(
x
< br>)
有极大值
f
(2)
和极小值
f
(
－
2)
D
．函数
f
(
x
)
有极大值<
/p>
f
(
－
2)
和极小值
f
(2)
D
►
考法
2
求已知函数的极值
【例
2
】
<
/p>
已知函数
f
(
x
)
＝
(
x
－
2)(e
x
－<
/p>
ax
)
，当
a<
/p>
＞
0
时，讨论
f
(
x
)
的极值
情况．
[
解
]
∵
f
′
(
x
)
＝
(e
x
－
ax
)
＋
(
x
－
< br>2)(e
x
－
a
)
＝
(
x
－
1)(e
x
< br>－
2
a
)
，
∵
a
＞
0
，
由
f
′
(
x
)
＝
0
得
x
＝
1
或
x
< br>＝
ln
2
a
.
e<
/p>
①
当
a
＝
时
，
f
′
(
x
)
＝
(
x
－
1)(e
x
－
e)
≥
0
，
2
∴
f
(
x
)
单调递增
，
故
f
(
x
)
无
极值
．
e
②
当
0
＜
a
＜
时
，
ln 2<
/p>
a
＜
1
，
当
x
变化时
，
f
′
(
x
)
，
f
(
x
)
的变化情况如下表：
2
x
f
′<
/p>
(
x
)
f
(
x
)
(
－
∞，
ln
2
a
)
＋
ln
2
a
0
极大值
(ln
2
a
,
1)
－
1
0
极小值
(1
，
＋
∞<
/p>
)
＋
故
f
(
x
)
有极大值
f
(ln 2
a
)
＝－
a
(
ln 2
a
－
2)
2
，
极小值
f
(1)
＝
a
－
e
.
e
③
当
a
＞
时<
/p>
，
ln 2
a
＞
1
，
当
x
变化时
，
f
′
(
x
)
，
f
(
x
)
的变化情况如下表：
2
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
(
－
∞，
1)
＋
1
0
极大值
(1
，
ln
2
a
)
－
ln
2
a
0
极小值
(ln 2
< br>a
，
＋
∞
)
＋
故
f
(
x
)
有极大值<
/p>
f
(1)
＝
a<
/p>
－
e
，
极小值<
/p>
f
(ln 2
a
)
＝－
a
(ln 2
< br>a
－
2)
2
.
1
e
综上
，
当
0
＜
a
＜
时
，<
/p>
f
(
x
)
有极大值－
a
(ln 2
a
－
2)
2
，
极小值
a
－
e
；
2
e
当
a
＝
时
，
f
(
x
)
无极值；
2
e
当
a
＞
时
，
f
(
x
)
有极大值
a
－
e
，
极小值－
a
(ln 2
a
－
2)
2
.
2
►
考法
3
已知函数极值求参数的值或范围
【例
3
】
<
/p>
(1)
已知
f
(
x
)
＝
x
3
＋
3
ax
2
＋
bx
＋
a
2
在
x
＝－
1
时有极值
0
，则
a
－
b
＝
________
.
(2)
若函数
f
(
x
)
＝
e
x
－
a
ln
x
＋
2
ax<
/p>
－
1
在
(0
，＋∞
)
上恰有两个极值点，则
a
的取值
范围为
(
)
A
．
(
－
e
2
，－
e)
e
－∞，－
<
/p>
B
.
2
D
．
(
－∞，－
e)
1
C
.
－∞，－
2
(1)
－
7
(2)D
[
方法总结
]
1
.
利用导数研究函数极值问题的一般
流程
2
．
已知函数极值点和极值求参数的两个要领
(1)
列式：根据极值点处导数为
0
和极值列方程组
，
利用待定系数法求解
．
(2)
验证：因为一点处的导数
值等于零不是此点为极值点的充要条件
，
所以利用
待定系数法求解后必须验证根的合理性
．
(1)
已知函数
f
(
x
)
＝
x
(
x
－<
/p>
c
)
2
在
x
＝
2
处有极大值，
则实数
c
的值为
(
)
A
．
2
或
6
2
C
.
3
是
(
)
B
．
2
D
．
6
(2
)(2019·
广东五校联考
)
已知函
数
f
(
x
)<
/p>
＝
x
(ln
x
－
ax
)
有极
值，
则实数
a
的取值范围
2
1
A
.
－∞，
2
1
－∞，
C
.
2
(1)D
(2)A
利用导数解决函数的最值问题
1
B
.
0
，
2
< br>
1
D
.
0
，
2
【例
4
】
<
/p>
已知函数
f
(
x
)
＝
ln
x
－
ax
(
a<
/p>
∈
R)
．
(1)
求函数
f
(
x
)
的单调区间；
(2)
当
a
＞
0
时，求函数
f
(
x
)
在
[1
,
2]
上的最小值．
1
[
解
]
(1)
f
′
(
x
)
< br>＝
x
－
a
(
x
＞
0)
，
1
①
当<
/p>
a
≤
0
时
，
f
′
(
x
)
＝
x
－
a
＞
0
，
即函数
f
(
x
)
的单调递增区间为
(0
，
＋
∞
)
．
1
1
②
当
a
＞
0
时
，
令
f
′
(
x
)<
/p>
＝
x
－
a
＝
0
，
可得
x
＝
a
，
1
－
ax
1
当
0
＜
x
＜
a
时
，
f
′
(
x<
/p>
)
＝
x
＞
0
；
1
－
ax
1
当
x
＞
a
时
< br>，
f
′
(
x
)
＝
x
＜
0
，
1
故函数
f
(
x
)
的单调递增
区间为
0
，
a
，
<
/p>
1
单调递减区间为
a
，
＋
∞
.<
/p>
综上可知
，
当
a
≤
0
时
，
函数
f
(
x
)
的单调递增区间为
(0
，
＋
∞
)
；
<
/p>
1
当
a
＞
0
时
，
函数
f
(
x
)
的单调递增区间为
<
/p>
0
，
a
，
1
单调递减区间为<
/p>
a
，
＋
∞
.
1
(2)
①
当
0
＜
a
≤
1
，
即
a
≥
1
时
，
函数
f
(
x
)
在区间
[
1
,
2]
上是减函数
< br>，
所以
f
(
x
)
的最
小值是
< br>f
(2)
＝
ln 2
－
2
a
.
1
1
②
当
a
≥
2
，
即
0
＜
a<
/p>
≤
时
，
函数
f
(
x
)
在区间
[1
,
2]
上是增函数
，
所以
f
(
x
)
的最
小值
2
是
f
(
1)
＝－
a
.
1
1
1
1
③
当
1
＜
a
＜
2
，
< br>即
＜
a
＜
1
时
，
函数
f
(
x
)
在<
/p>
1
，
a
上是增函数
，
在<
/p>
a
，
2
上是减函
2
3