函数极值与最值研究毕业论文
食疗养生食谱-
函数极值与最值研究
摘要：在实际问题中
,
往往会遇到一元函数
.
二元函数，以及二<
/p>
元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。
求
一
元函数的极值，主要方法有
:
均值等
式法，配方法，求导法等。求一
元函数的最值，主要方法有
:<
/p>
函数的单调性法，配方法，判别式法，
复数法，导数法，换元法等
。求二元函数极值，主要方法有：条件极
值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最
值，主要方法有
:
均
值不等式法，换元
法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数
的增加
, <
/p>
从而使该问题更具复杂性，
求多元函数极值方法主要有：
条
件极值拉格朗日法
,
等，
对于多元函数最值问题与一元函数类似可以
用极值来求函
数的最值问题
.
主要方法有：向量法，均值不等式法，
换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等，
关键词：函数，极值，最
值，极值点
,
方法技巧．
Abstract:
in practical problems,often encounter a unary
function.
The
function
of
two
variables,
and
multiplefunctions
of
two
yuan
more
than
the
most
value
questionand
extremum
problems
and
many
other
functions
of
common
problems.
Extremum
seeking a binary
function,the main methods are: inequality
extremum
method,distribution
method,
derivation
etc..
The
value
for theelement function, the main methods are:
monotone
method,
function
method,
the
discriminant
method,complex
method, derivative method, substitution
methodetc.. For two
yuan
value
function,
the
main
methods
are:conditional
extremum
of Lagrange multiplier method etc..Ask
two yuan to the value
function,
the
main
methods
are:mean
inequality
method,
substitution
method,
partial
derivative
method
etc..
For
multivariate
function,
due
to
the
increased
number
of
第
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1
页
variables,so
that the more complicated the problem, find the
function
extreme
value
method
mainly
has:
conditional
extremum
of multivariate Lagrange method,
directional derivative, for
multivariate function most value the
most value problem with
the function of
one variable can be used to find the function
extreme
value
is
similar.
The
main
methods
are:
vector
method,
the mean value inequality method,
substitution, elimination
method,
the
method
of
Cauchy
inequality,
the
combination
method,
Keywords: function,
extreme
value,
the value,
extreme points,
methods and
techniques
引言
<
/p>
作为函数性质的一个重要分支和基本工具，
函数极值和最值在数<
/p>
学与其他科学领域，
如数学建模优化问题、
概率统计等学科都有广泛
应用。
不
仅如此，函数极值理论在航海、保险价格策划、航空航天等众领域
中也是最富变现性和灵
和性，
并起着不可替代的数学工具作用，
许多
< br>实际问题最终都归结为函数极值和最值问题，生活中遇到的实际问
题，可以通过数
学建模的方式，表示为函数形式，而在求解具体问题
时往往需要应用到极值和最值的求解
，
来为生产生活做保证！
由此可
见，研
究函数极值和最值，
是学习数学与其他学科的理论基础，是生
活
生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮
助；同时，它对于其它相
关学科的理解、学习与应用也起着十分重要
的作用，
更对其他学
科领域的展开有很大的促进作用。
函数的极值和
最值不仅是函重
要的基础性质
,
在实际经济活动中也有着重要的应用
,
对于不同类型的问题，
我们应有一个系统而简便
的方法，
巧妙地运用
进而达到熟练地掌握这些方法。
而恰恰这些方法的终极解决，
都归结
于对函数极值
和最值的求解。下面，就让我们做一些简单的归纳，研
究函数的极值和最值，
诠释一些方法和技巧，
并附上具体的例子加以
说明
，
让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种
应用！
第
2
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共
2
页
目录
摘要
..............
......................................
（
1
）
引言<
/p>
........................................
............
（
2
）
1
函数极值<
/p>
........................................
.....
（
4
）
1.1
极值概
述
...........................................
........
（
4
）
1.2
极值判断条
件
......................................
..........
（
5
）
1.3
极值应用实
例
....................................
............
（
6
）
1.4
求极值思想方法总
结
...............................
..........
（
10
）
2
函数最值
.
...........................................
（
11
）
2.1
函数最值概
第
3
页
共
3
页
述<
/p>
........................................
.......
（
11
）
2.2
函数最值求
法
................................. ....
.........
（
14
）
2.3
求函数最值思想方法总
结
...............................
......
（
16
）
学习心
得
.......
........................................(17)
致谢辞
..............................
...................(18)
附录
..
................................................
(19)
附录一
组员名
单
...................
............................ (19)
附录二
开题报
告
.....................................
.......... (20)
参考文献
........
.......................................
（
21
）
1
函数极值
第
4
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4
页
1.1
极值概述
1.1.1
函数极值的引入
什么叫极值？在诠释这个概念之前我们引入一个定理－－费尔
马定理，
下面给出他的定义：
（１）若函数
y
f
(
x
)
在
x
0
的某邻域
U
(
x
0
)
内满足：
x
U
(
x
0
),
f
(
x
)
f
(
x
0
)
则称函数
y
f
< br>(
x
)
在
x
0
点取极大值
f
< br>(
x
0
)
，
x
0
点称为极大值点．
（２）若函数
y
f
(
x
)
在
x
0
的某邻域
U
(
x
0
)
内满足：
x
U
(
x
0
),
f
(
x
)
f
(
x
0
)
则称函数
< br>y
f
(
x
)
在
x
0
点取极小值
f
(
x
0
)
，
x
0
点称为极小值点．
极大值与极小值统称为极值，
极值是函数的局部性质，
即在某邻
域
U
(
x
0
)
内作比较而获得，而且曲线在极值点的切线是一条水平线如
图１，这就是费尔马定理．
y
图１
O
x
0
x
费尔马定理简单的描述就是：若函
数
y
f
(<
/p>
x
)
在
x
0
点的某领域
U
(<
/p>
x
0
)
内有定义
，且在
x
0
点可导，则
x
0
点为极值点
f
'
(
x
0
)
0
．他的实
第
5
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5
页
质就是可导与极值点的必要条件是稳定点，但非充分。
1.1.2
一元函数的极值
定义：
若函数
y
f
(
x
)
在
< br>x
0
点可导，
则有费尔马定理，
x
0
点为极值
点
f
'
(<
/p>
x
0
)
0
，
而此时
f
(
x
0
)
就是所谓的极值。
而
f
(
x
0
)
是极大
值还是极
小值呢？现在从图
2
可以得到
如下结论．
(1)
在
(
x
0
,
x
0
)
内，
f
'
(
x
)
0
；在
(
x
0
,
x
0
)
内
f
'
(
x
)
0
时，此时
f
< br>(
x
0
)
为极小值．
(2)
在
(
x
1
< br>
,
x
1
)
内，
f
'
(
x
)
0<
/p>
；
在
(
x
1
,
x
1
)
内
f
'
(
x
)
0
时，
此时
f
(
x
1
)
为
极大值．
y
x
x
0
x
1
O
图２
1.1.3
二元函数的极值
定义：
设函数
z
f
(
x
,
y
)<
/p>
在点
(
x
0
,
y
0
)
的某领域内有定义，对于该
领域内异于
(
x
0
,
y
0
)
的点
(
x
,
y
)
< br>，若满足不等式
f
(
x
,
y
)
f
(
x
0
< br>,
y
0
)
，则称函
数在
(
x
< br>0
,
y
0
)
有极大值；若满足不等式
f
(
x
,
y
)
f
(
x
0
,
y
0
< br>)
，则称函数在
(
x
0
,
y
0
)
有极小值，极大值和极小值统称极值，使函数取得极值的点称
为极值点。
1.2
极值判别条件
1.2.1
一元极值判别条件
(1)
必要条件：费尔马定理
(2)
充分条件
.
第一充
分条件
设函数
y
f
(
x
)
在
x
0
点连
续，在邻域
(
x
0
,
x
0
)
和
(
x<
/p>
0
,
x
0
)
内可导，
则
(i)
在
邻域
(
x
0
,
x
0
)
上，
f
'
(
x
)
0
，
在邻域
(
x
0
,
x
0
)
上，
f
'
(
x
)
0
，
第
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6
页
x
0
为极大点
，
f<
/p>
(
x
)
在
x
0
处取得极大值。
(ii)
在邻域
(
x
0
,
x
0
)
上，
f
'
(
x
)
0
，
在邻域
(
x
0
,
x
0
)
上，
f
'
(
x
)
0
，
x
0
为极小点
，
< br>f
(
x
)
在
x
0
处取得极小值。
由导数的符号可知函数的单调性，故结
论成立。一般地，用极
值的充分条件判别极值点时，常用列表法。
.
第二充分条件
设函数
y
f
(
x
)
在
x
0
点的某邻域
U
(
x
0
,
)
内一阶可导，在
x
x
0
点二
< br>阶可导，且
f
'
(
x
0
)
< br>0
，
f
'
'
(
x
)
0
，则
f
'<
/p>
'
(
x
0
)
0
x
0
为极小值点，
f
'
'
(
x
0
)
0
x
0
为极大值点。
证明
:
由二阶泰勒公式得
'
'
2
2
f
(
x
)
f<
/p>
'
(
x
)
1
f
(
x
)(
x
x
)
o
< br>((
x
x
)
0
0
0
)
2
'
'<
/p>
=
f
(
x
0
)
1
)](
x
x
0
)
2
,
所以
f
'
< br>'
(
x
0
)
0
x
0
为极小值点，
2
f
[
f
(
x
0
)
o<
/p>
(
1
f
'
'
(
x
0
)
0
x
0
为极大值点
.
1.2.2
二元极值判别条件
(1)
必要条件
设函数
z
f
(
x
,
y
)
在点
(
x
0
,
y
0
)
具有偏导数，
且在点
(
x
0
,
y
0
)
处有极值，
则它在该点处偏导数必
然为零．有
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f
y<
/p>
(
x
0
,
y
0
)
。
(2)
充分条件
设函数
z
f
(
x
,
y
)
在点
(
x
0
,
y
0
)
的某领域连续，有一阶及二阶连续偏
导数
又
f
x
(
x
0
,
y
0
),
f
y
(
x
0
,
y
0
)
，令<
/p>
f
xx
(
x
0
,
y
0
)
A
,
f
xy
(
x
0
,
y
0
)
B
，
f
yy
(
x
0
,
y
0
)
C
．
则
z
f
(
x
,
y
< br>)
在点
(
x
0
,
y
0
)
处是否取得极值的条件如下：
(i)
A
C
B
2
<
/p>
0
时具有极值，
当Ａ＞０时具有极大值，
当Ａ＜０
时具有极小值；
(ii)
AC
B
2
0
时没有极值。
(iii)
AC
B
2
0
时可能有极值，也可能没有极值。
1.3
极值应用实例
前面介绍了极值和极值的判别，
那到
具体的应用中如何应用呢？
理论要结合实践，
那么我们结合一些
经典题型说说到底如何求解极值
的问题，来说明其方法和技巧．
1.3.1
极值的第一充分条件<
/p>
(
列表法
)
第
7
页
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7
页
例
1.3.1
求函数
f
(
x
)
(
2
x
5
)
3
x<
/p>
2
的极值点与极值。
解
:
函数<
/p>
f
(
x
)
(
2
x
5
)
3
x
2
的定义域为
(
,
),
当
10
10
10
x
1
而
x
0
< br>时，
f
'
(
x
)
x
x
3<
/p>
,
可见
3
3
3
x
x
1
是稳定点，
x
0
是不可导点
列表如下
:
(
,
0
)
(
1
,<
/p>
)
(0,1)
x
f
'
(
x
)
+
-
+
单调性
↑
↓
↑
所以
x=0
为极大值点，极大值为
0
，
x=1
为极小点，
极小值为
-3(
如图
1)
y
O
x
３
－３
图
(1)
1.3.2
极值的第二充分条件
<
/p>
2
3
1
3
例
1.3.2
求函数
f
(
x
)
x
2
解
:
函数
f
(
x
)
x
2
f
'
(
x
)
0
得
432
的极值点和极值。
x
432
432
定义域为
x
0
,
当
x
0
时，
f
'
(
x
)
2
x
2
令
x
x
864
得
f
'
'
(
6
)
6
<
/p>
0
,
所以
x
6
为极小点，极小值
f
(
6
)
108
.
2
x
如果
f
'
'
(
x
0
)
0
,
则
f
'
'
'
(
x
0
< br>)
0
时，函数
f
(
x
)
在
x
0
点不能取到极值，
当
x=6,
又
f
'
'
(
x
)
2
f
'
'
'
(
x
0
)
0
,
f
(<
/p>
4
)
(
x
0
)
0
时，可以四阶导数的符
号来判别极值点，方法
同第
二判别法。
1.3.3
极值的第一充分条件和极值的第二充分条件
例
1.3.3
求函数
f
(
x
)
x
4
< br>(
x
1
)
3
的极值点和极值。
解
:
f
'
x
3
(
x
)(
x
1
)
2
(
7
x
4
),<
/p>
令
f
'
(
x
)
0
得
x
0
,
1
,
,
4
7
第
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页
共
8
页
f<
/p>
'
'
(
x
)
6
x
2
(
x
1
)(
7
x
< br>2
8
x
2
)
,
得
4
4
4
691
2
f
'
'
(<
/p>
1
)
0
,
f
'
'
(
)
0
,
f
'
(
0
)
0
所以
x
为极小点，极小值为
f
(
)
,
又
7
< br>7
7
823543
f
'
'
'
(
x
)
6
x
(
35
x
3
60
x
2
30
x
4
),
有
f<
/p>
'
'
'
(
0
)
0
,
f
'
'
'
(
1
)
0
,
所以
x
1
非极值点
;
再
f
(
4
)
(
0
)<
/p>
0
,
所以
x
0
为极大点，
极大值为
f
(
0
)
0
.
1.3.4
极值的第一充分条件
例
1.3.4
由一宽为
24
cm
的长方形铁板，把它两边折起来做成一
断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？
解
:
设折起来的边长为
xcm
，
倾斜角为
，
那么梯形断面的下底长
为
< br>24
2
x
，上底长为
24
2
x
2
x
< br>cos
，高为
x
sin
，则断面面积
A
1
(
24
2
x
2
x
cos
24
2
x
)
x
sin
2
即
A
24
x<
/p>
sin
2<
/p>
x
2
sin
<
/p>
x
2
sin<
/p>
cos
，<
/p>
D
：
0
x
12
，
0
，
2
< br>
下面是求二元函数
A
(
x
,
)
在区域
D
：
0
x
12
，
0
< br>
2
上取得最大值的点
(
x
,
)
。
A
x
24
sin
<
/p>
4
x
sin<
/p>
2
x
sin
cos
<
/p>
0
令
2
2
2
2
A
24
x
cos
2
x
cos
x
(cos
sin
)
0
由于
sin
0
，
x
0
上式为
(1)
12
2
x
x
cos
0
2
x
12
将
代
cos
2
x
24cos
2
x
cos
x
(2cos
1)
0
(2)
入（
2
）式得
x
8
，再求出
cos
，则有
解是
<
/p>
3
60
0
，
x
8
cm
1
2
3
60
0
，于是方程组的
在考虑边界，当
2
时，函数
A
24
x
2
x
2
为
x
的一元函数，求最
值点，由
A
x
24
4
x
0
，得
< br>x
6
。
所以
A
(
6
,
)
24
6
sin
2
2
2
6
2
sin
2
72
，
第
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9
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A<
/p>
(
8
,
)
24
8
sin
2
8
2
sin
8
2
sin
cos
48
3
83
。
3
3
3
3
3
< br>
根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域
D
：
0
x<
/p>
12
，
0
2
内取得，
通过计算得知
2
时
的函数值比
60
< br>0
，
x
8
cm
时函数值为小，又函数在
D<
/p>
内只有一个驻点，因此可以断定，
当
x<
/p>
8
cm
，
60
0
时，就能使断面的面积最大。
1.3.5
偏导数法
例
1.3.5
某公司可通过电台和报
纸两种方式做销售某种商品的
广告．根据统计资料，销售收入
R
（万元）与电台广告费用
x
1
（万元）
及报纸广告费
x
1
（万元）之间的关系有如下经验公式：
< br>R
15
14
x
1
26
x
2
8
x
1
x
2<
/p>
2
x
1
5
x
2
2
2
,
广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大。
解
:
利润等于收入与费用之差，利润函数为：
f
(
15
14
x
1
26
x
2
8
x
1
x
2
2
x
1
5
x
2
)
(
< br>x
1
x
2
)
2
2
15
13
x
1
<
/p>
25
x
2
8
x
1
x
2
2
x
1
5
x
< br>2
2
2
f
1
3
8
x
2<
/p>
4
x
1
0
x
1
f
根据极值存在的必要条件，令
< br>
25
8
x
1
10
x
2
0
x
2
得
x
1
1
35
35
1
，
x
2
，即为驻点
(
,
)
，利润函数在驻点处的
Hesinn
6
12
6
12
2
f
x
1
< br>x
2
2
f
x
2
2
2
f
2
x
1
矩阵
A
2
f
x
x
2
1
<
/p>
4
8
8
10
< br>，
第
10
页
共
10
页
易
验证
Hesinn
矩阵
A
为负定矩阵，
所以
f
在驻点
(
35
,
1<
/p>
)
处达到极大值，
12
< br>6
也是最大值，
即最优广告策略为：
电台广告费用和报纸广告费用分别
为
35
< br>万元和
1
万元，此时可获得最大利润。
< br>
12
6
1.3.6
条件极值拉格朗日数乘法
用条件极值的方法，
把问题转
化为无条件极值，
正确写出目标函
数和约束条件。
例
1.3.6
经过点
(1,1,1)
的所有平面中，哪一个平面与坐标面在
第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．
解
:
设所求平面方程为：
1
1
1
1
,
(1)
a
b
c
x
y
z
1
,
(
a
0
,
b
0
,
c<
/p>
0
).
a
b
c
因为平面过
点
(1,1,1),
所以该点坐标满足此平面方程，即有
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为
v,
则
v
1
abc
(2)
6
原问题化为目标
函数
(2)
在约束条件
(1)
下的最小值，
作拉格朗日函数
1
1
1
1
L
(
a
,
b
,
c
)
<
/p>
abc
(<
/p>
1
).
6
a
b
c
求函数
L
的各个偏导数，并令他们为
0,
得方程组
:
1
1
1
bc
2
0
,
ac
2
< br>
0
,
ab
2
0
,
6
a
6<
/p>
b
6
c
解方程组
得
a=b=c=3,
由于最小体积存在，函数又有唯一的驻点，
故
a=b=c=3
为所求，即平面为：
x+y+z=1,
与坐标面在第一卦限所围物体
的体积最小．最
小体积为
1
9
V
min
3
3
。
6
2
1.3.7
均值不等式法
用均值不等式求解问题的极值时，
一定要注意自变量的要求：
一正，
二定，三能等的关系。
例
1.3.7
当
x
为何值时，函数
y=
解
:
1
4
4
(
9
x
2
2
)
< br>
9
x
2
2
6
2
x
x
9
x
2
6
4
x
2
取得极值。
第
11
页
共
11
页
4
12
2
x
9
x
2
6
4
2
18
x
9
x
2
式子两边都是非负数，
分别去算术平均根
，
得
y
<
/p>
y
min
3<
/p>
2
此时
x
6
3
9
x
2
6
4
18
3
2
x
2
1.3.8
配方法
用配方法求解极值问题，
可以将整个函数的极值问题转化为局部
函数的最值问题来求解，使问题更加简单化。
例
1.3.8
求函数
y
1
的极值。
2
cos
x
cos
x
3
4
4
< br>解
:
令
u
cos
2
x
cos
x
3
,
则
u
cos
2
x
cos
x
3
cos
2
x
cos
x
1
1
3
1
11
1
(cos
x
)
2
,
y
取极大值的条件
是
u
取最小值，
2
4
u
1
1
y
取极小值的条件是
u
取最大值
y
取极小值的条件是
u
取最
大值；
u
u
1
1
u
max
(cos
x
)
2
取最大值
cos
x
1
,
则
y
的极小值为
,
2
5
1
1
4
u
min
(cos
x
< br>
)
2
0
取最小值
cos
x
,
则
y
的极大值为
.
2
2
11
1.4
求极值思想方法总结
.
(1)<
/p>
求解函数极值的问题，
由以上的例题求解一元函数，
二元函数
,
以及多元函数极值的解答方法来看，
求取极值的方法很多，
但一般极
值问题能用
多种方法求解，
具体极值问题得看具体情况，
可以根据自
己对方法掌握的程度来选择，
由于求解极值的方法很多，
我这里只是
其中一部分，大多数的思想一致，少数思想比较特别。通过前面的
应
用实例，不难看出求一元函数，二元函数，以及多元函数极值的思想
< br>和方法．
．
．
．
．
．
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12
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共
12
页