与圆有关的阴影面积的计算
周末问候短信-
辅导材料
:
与圆有关的阴影面积的计算
准备阶段
:
1.
圆的面积公式
:
S
r
2
.
其中
r
为圆的半径
.
2.
半圆的面积公式
:
S
半
圆
< br>1
r
2
.
2
3.
扇形的面积公式
:
S
扇
形
n
r
2
.
其中
< br>r
为扇形的半径
,
n
为扇形的半径
.
36
0
4.
扇形的面积公式（另）
:
S
扇
形
n
r
2
n
< br>r
l
,
3
60
180
1
lr
.
其中
r
为扇形的半径
,
l
为扇形的弧长
.
2
证明
:
∵
S
扇
形
∴
S
扇
形
5.
关于旋转
:
n<
/p>
r
2
1
n
r
1
r
lr
.
2
180
2
360
（
1
）复习旋转的性质
. <
/p>
（
2
）会画出一个图形旋转后的图形
.
（
3
）
旋转的作用
:
通过旋转
,
有时候我们可以把分散的几何条件集中起来
,
使题目
呈现出整体上的特点
.
该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算
.
6.
重点介绍
:
转化思想
在解决数学问题时
,
把复杂问题简单化
,
把一般问题特殊化
,
把抽象问题具体
化
等的思想方法
,
叫做转化思想
.
7.
怎样求与圆有关的阴影的面积
?
（
1
）利用圆、半圆以及扇形的面积计
算公式
.
（
2
）利用整体与部分之间的关系
.
（
3
）
采用整体思想
求不规则图形的面积
,
一般将其转化为规则图形的和差来解
决
,
具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化
.
实战阶段
:
★
1.
（
2015.
< br>河南）如图（
1
）所示
,
在扇
形
AOB
中
,
∠
AOB=90°
,
点
C
为
O
A
的
中点
,CE
⊥
OA
交弧
AB
于点
E.
以点
O
< br>为圆心
,OC
的长为半径作弧
C
D
交
OB
于点
D.
若
OA=2,
则阴影部分的面积为
__________.
B
E
D
A
C
O
图（
1
）
B
E
D
A
C
O
图（
1
）
解析
:
图（
1
）中阴影所在图形为不规
则图形
,<
/p>
可以利用整体与部分之间的关
系的方法求解
,
即采用整体和差的方
法
.
解
:
连结
OE.
∴
OA=OB=OE
∵
CE
⊥
OA
∴△
COE
为直角三角形<
/p>
∵点
C
为
OA
的中点
∴<
/p>
OC
1
1
2
OA
2
OE
1
∴在
Rt
△
COE
中
,
∠
CEO=30°
∴∠
EOC=60°
∵∠
AOB=90°
∴∠
BOE=30°
在
Rt
△
COE
中
,
由勾股定理得
:
CE
OE
2
OC
2
2
2
1
2
3
S
阴
影
S
COE
S
扇
形
OBE
S
扇
形
OCD
1
30<
/p>
2
2
90
2
1
3
< br>
1
2
360
360
< br>
3
2
12
★
2.
（
2015.
贵州遵义）如图（<
/p>
2
）所示
,
在圆
心角为
90°
的扇形
OAB
中
,
半径
OA=2
cm,C
为弧
AB
的中点
,D
、
E
分
别是
OA
、
OB
的中点
,
则图中阴影部分
的面积是
__________.
A
C
D
O
E
B
图（
2
）
A
M
C
< br>D
O
E
B
解
:
连结
OC,
并作
CM
⊥
OA
于点
M.
< br>∵点
C
为弧
AB
的中点
,
∠
AOB=90°
< br>∴∠
AOC=
∠
BOC=
1
2
∠
AOB=45
°
∴
△
CO
M
为等腰直角三角形
∴
OM=CM
∵
OC=2cm
∴
CM=OC
sin
45
2
2
2
< br>2
cm
∵
D
、
E
分别是
OA
、
OB
的中点
∴
OD=OE=1 cm
∴
DM=OM
－
OD=
(
2
1
)
cm
S
阴
影
S<
/p>
扇
形
OBC
<
/p>
S
COM
<
/p>
S
CDM
<
/p>
S
DOE
<
/p>
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
< br>2
2
(
2
2
2
1
2
)
cm
2
.
注意
:
若题目对结果无特殊要求
,
则结
果保留
,
不取具体值
.
★
3.(2015.
开封二模
)
如图（
3
）所示
,
在
△
ABC
中
,CA=CB,
∠
ACB=90°
,AB=2.
点
D
为
AB
的中点
,
以点
D
为圆心作圆
心角为
90°
的
扇形
DEF,
点
C
恰好在弧
EF
上
,
则图中阴影部分的面积为
_____
__________.
解析
: <
/p>
本题问题的解决要用到三角形
全等的知识
,
请复习
:
（
1
）三角形全等的判定定理有哪些
?
（
2
）全等三角形具有怎样的性质
?
对于第
二个问题
,
全等三角形的面
积相等
,
我们可以借助该性质将三角形
的面积等量
转化
.
B
F
D
A
C
E
图（
3
）
解
:
连结
CD.
设<
/p>
DE
与
AC
交于
点
M,DF
与
BC
交于点
N.
B
N
F
D
1
2
A
M
C
E
∵∠
ACB=90°
∴∠
CDE
＋∠
1=90°<
/p>
∵
CA=CB,
点
D
为
AB
的中点
∴
CD
⊥
AB
（等腰三角形
“
三线合一
”
）
∴∠
CDE
＋∠
2=90°
∴∠
1=
∠
2
∴∠
DCN=
1
2
ACB=45°
∴∠
DAM=
∠
DCN
∵∠
ACB=90°
∴
CD
1
< br>2
AB
AD
< br>
1
∴
DE=CD=1
在△
ADM
和△
CDN
中
DAM
DCN
∵
AD
CD
2
1
∴△
ADM
≌△
CDN(ASA)
∴
S
△
ADM
=S
△
CDN
∵
S
四边形
DMCN
=S
△
CDM
+S
△
DCN
S
△
ACD
=S
△
CDM
+S
△
ADM
∴
S
四边形
DMC
N
=
S
△
ACD
∴
S
阴
影
<
/p>
S
扇
形
DEF<
/p>
S
四
边
形
DMCN
S
扇
形
DEF
S
ACD
90
1
2
1
1
360
—
2
4
1
2
B
N
F
D
1
2
A
M<
/p>
C
E
在求扇形
的面积时确定圆心角的
度数很重要
大多数扇形的圆心角题目会直接<
/p>
给出
,
但有时却需要我们自己求解
.
见
第★
5
题
.
★
4.
（
2015.
洛阳一模
）如图（
4
）所示
,
< br>在
扇
形
OAB
< br>中
,
∠
AOB=90°
,
半
径
OA=6.
将扇形
AOB
沿过点
B
的直线折
叠
.
点
O
恰好落在弧
AB
上点
D
处
,
折
痕交
OA
于点
C,
则图中阴影部分的面
积为
__________.
A
D
C<
/p>
O
B
图（
4
）
解析
:
本题
,
S
阴
影
S
扇
形
OAB
2
S
BOC
,
题目所给条件不难求出扇形
OAB
的
面积
,
但△
BOC
的面积不易求得
.
如果
连结
OD,
那么
OB=OD,
再根据对折
,
得
OB=
BD,
从而
OB=OD=BD,
即△<
/p>
BOD
为等边三角形
.
< br>至此
,
问题便很容易解
决
.
解
:
连结
OD.
A
D
C
O
B
∴
OB=OD
∵△
BOC
≌△
BDC
（由翻折可得）
∴
OB=
BD,
∠
OBC
=
∠
DBC
∴
OB=OD=BD
∴△
BOD
为等边三角形
∴∠
OBD=60°
∴∠
OBC
=
∠
DBC=30°
在
Rt<
/p>
△
BOC
中
,<
/p>
∵∠
OBC=30°
< br>∴
tan
OBC
tan
30
OC
OB
∴
OC
3
6
3
∴
< br>OC=
2
3
< br>∴
S
阴
影
S
扇
形
O
AB
2
S
BOC
6
2
90<
/p>
360
<
/p>
2
6
2
3
2
9
12
3
★
5.
（
2015.
焦作一模）如图（
5
）所示
,
在矩形
< br>ABCD
中
,AB=
3
,AD=1,
把该
矩形绕点
A
顺时针旋转
得到矩形
AB′C′D′
,
点
C
′
落在
AB
的延长线上
,
则
图中阴影部分的面积是
_
_________.
D
C
D'
α
A
B
C'
B'
图（
5
）
解
:
在
Rt
△
ABC
中
,
由勾股定理得
:
AC
AB
2
BC
2
(
3
)
2
1
2
2
∴
AC=2BC
∴∠
BAC=30°
由旋转的性质得
:
=
∠
BA
B′
=30°
∴
S
阴
影
S
AB
'
C
'
S
扇
形
ABB
'
S
ABC
S
扇
形
ABB
'
2
3
1
30
(
3
)
2
360
3
2
4
★
6.
（
2014.
河南）如图
,
在菱形
ABC
D
中
,AB=1,
∠
< br>DAB=60°
.
把菱形
ABC
D
绕
点
A
顺时
针旋转
30°
得到菱形
A
B′C′D′,
其中点
C
的
运动路径为弧
C
C′
,
则图中
阴影部分的面积为
__________. <
/p>
D
C
D'
A
B
C'
B'
图（<
/p>
6
）
解
:
由题意可知
:A
、
D′
、
C
三点共线
,A
、
B
、
C′
三点共线
,
如图所示
,
设
BC
与
C′D′
相交于
点
E.
D
C
D'
E
A
B
C
'
B'
容易得知
:
∠
BE
D′
=
∠
CEE′=
90°
.