中考专题-正多边形与圆
广东海洋学院-
正多边形与圆
【重点、难点、考点】
重点
：正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算；圆周长弧长、
扇形及弓形的面积公式及有关的计算；正多边形与圆的关系及正多边形的性质．
难点
：将较复杂的图形分割成扇形、弓形、三角形等基本图
形进行计算是难点．
考点
：将不能直
接用公式计算的图形，转化成能用公式计算的图形，是近几年中考所考查
的知识点，这部
分知识的考查约占总考量的
2
％左右．
【典例精讲】
例
1
：
<
/p>
已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
解：
设正三角形边长为
a
，
则其周长为<
/p>
C
1
＝
3a
，
面积
S
1
＝
3
2
a
，
又设正六边形边长为
b
，
4
则周长为
C
2
＝
6b
．面积
S
2
=
3
3
2
b
，由
C
1
=C
2
，<
/p>
2
知
,a=2b,
∴
S
1
∶
S
2
=
3
2
3
3
2
3
2
3
3
2
2
a
∶
b
< br>=
b
∶
b
=
,
故它们的面积的比值为
2
∶
3
。
4
2
2
3
【解题技巧点拨】
本题必须抓住
“
周长相等
”
这一重要信息，
找出两种图形的内在联系，
然后利用三角形的面积
< br>公式计算。
例
2
：已知：如图在
Rt
△
A
BC
中，∠
ACB
＝
< br>90°
，
AC
＝
3
，
BC
＝
< br>4
，分别以各边为直径在
AB
同
侧作半圆，求阴影部分的面积．
解：在
Rt
△
ABC
中，∵
AC
＝
3
，
< br>BC
＝
4
，∠
< br>ACB
＝
90°
，∴
AB
＝
5
。
则图中阴影部分的面积为
S
阴
=
1
3
1
4
1
1
5
9
25
π×(
)
2
+
π×(
)
2
+
×
3×
4-
π×(<
/p>
)
2
=
+2π+
6
-
=6
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
8
8
故图中阴
影部分的面积为
S
阴
=6
个（平方单位）．
【解题技巧点拨】
本题必须经过认真
细致的观察，发现以
AC
、
BC
、
AB
为直径的三个半圆的面积，以及
Rt
△
ABC
的面积
之间的内在联系，然后利用圆的面积公式，三角形的面积公式进行计算．
【综合能力训练】
一、填空题
1
．扇形的圆心角为
90°
，半径为
2
cm
，扇形的面积为
cm
2
.
2
．如图，⊙
O
的半径为
1
，圆周角∠
ABC
＝
3O°
，则图中阴影部分的面积
是
．（结果用
π
表示）
3.
我国国旗上五角星的每一个锐角是
。
4
. <
/p>
一个正
n
边形的中心角是它的一个内角的
1
，则
n
＝<
/p>
。
5
5
.
在⊙
O
中，弦
AB
是内接正三角形的一边，弦
AC
是内接正六边形的一边，则∠<
/p>
BAC
＝
。
6
．半径
为
5
，孤长等于圆周长
1
的扇形面积
5
。
7
．母线长为
3cm
，底面半径为
1cm
的圆柱侧面展开图的面积为
cm
2
。
<
/p>
8
．用一个半径为
30cm
，圆心角为
120°
的扇形纸片做成一个圆锥模型的
侧面（不计接缝），
那么这个圆锥底面的半径是
cm.
二、选择题
9.
已知正三角形的边长为
a
，<
/p>
其内切圆的半径为
r
，
< br>外接圆的半径为
R,
则
r
∶
a
∶
R
等于
（
）
A
．
1
∶
2
3
∶
2
B
．
1
∶
3
∶
2
C.1
∶
2
∶
3
< br>
D.1
∶
3
∶
2
3
10.
如果正多边形的一个内角是
144°
，则这个多边形是（
）
A
．正十边形
B
．正九边形
C
．正八边形
D
．正七边形
11.
有一边长为
4
的正
n
边形，它的一个内角为
120°
，则其外接圆的半径为（
）
A
．
4
3
B
．
4
C
．
2
3
D.2
12.
下列命题中的真命题是（
）
A
．正三
角形的内切圆半径和外接圆半径之比为
2
∶
1
B
．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C
．圆外切正方形的边长等于其边心距的
2
倍
D
．各边相等的圆外切多边形是正方形
13.
某校计划在校园内修建一座周长为
12
米的花坛，
同学们设计出正三角形、
正方形和圆共
三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（
）
A
．正三角形
B
．正方形
C
．圆
D
．不能确定
14. 1994
年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边
形，如果这个正九边形的半径是
R
，
那
么它的边长是（
）
A
．
Rsin20°
B
．
Rsin40°
C
．
2Rs
in20°
D
．
2Rsin40°
15.
将一个边长为
a
的正方形硬纸板剪去四角，
使它成为正八边形，则正八边形的面积为
（
）
A
．
2
2
2
a
B
．
2
7
2
a
9
C
．
3
2
a
2
D
．
3
2
< br>2
a
2
16.
如图两个同心圆，
大圆的弦
AB
与小圆相切于点
P
，
大圆的弦
CD
经过点
P
，
且
CD
＝
13
，
PD
＝
4
，则两圆组成圆
环的面积是（
）
A
．
16π
三、解答下列各题：
17.
已知：如图
P
是⊙
O<
/p>
外一点，
PA
切⊙
O
于
A
，
A
B
是⊙
O
的直径，
PB
交⊙
O
于
C
，
PA
＝
2cm
，
PC
＝
1cm
，求图中阴影部分的面积
S.
B
．
36π
C
．
52π
D
．
81π