小升初圆柱圆锥精讲
图美-
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圆柱圆锥
在我们的日常生活和生产实际中，
经常遇到与圆柱和圆锥有关的物体，
< br>而很
多问题的解决又都与圆柱和圆锥的体积及表面积的计算有密切的关系，
认清物体
的结构特征及圆柱和圆锥的有关基本数量关系，是迅速、准确
解决问题的关键。
【典型例题】
【例
1
】
<
/p>
如右图所示，圆锥形容器中装有
5
升水，
水面高度正好是圆锥高度的一半，这个
容器还能装多少升水？
分析与解：
本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分
的关系。
设圆锥容器的底面积半径为
r
，则水面半径为
r
。容器的容积为<
/p>
2
1
2
1
r
h
1
r
h
，容器中水的体积为
(
)
2
(<
/p>
)
r
2
h
。
3
3
2
2
24
1
1
解：
r
2
h
r
2
h
8
3<
/p>
24
这表明容器可以装
8
份
5
升水，
已经装了
1
份，
还能装水
5×<
/p>
（
8
－
1
）
=35
（升）。
【例
2
】
<
/p>
比较甲、
乙两只容器中，
哪一只容器盛的
水多，多的是少的几倍？
（单位：厘米）
（
1
）容器如图
1
所示；
（
2
）甲、乙两容器相同（如图
2
），甲容器中水的高度是锥高的
圆锥高的
< br>
只供学习与交流
1
< br>，乙容器中水的高度是
3
2
。<
/p>
3
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分析与解
（
1
）要想知道甲、乙两只容器哪一只盛的水多，我们只需依据条件分别计算一下甲、乙
两
只容器的容积各是多少，即可做出比较。
通过计
算可知，乙容器装的水多，乙容器是甲容器容积的（4000π÷2000π=）
2
倍。
（
2
）我们先分别将两容器内水的体积进行计算。
设圆锥的底面半径为
r
，高为
h
，则甲容器及乙容器中的水面半径均为
无水部分椎体高位
2
r
，甲容器中
3
2
2
h
，而乙
容器中有水部分椎体的高为
h
，分别用
V
甲
、
V
乙<
/p>
表示两容器
3
3
中水的体积，则有：
1
1
2
2
2
19
2
V
甲
=
< br>
r
2
h
-
（
r
）
h
=
r
h
3
3
3
3
81
1
2
2
2
8
V
乙
=
（
r
）
h
=
r
2
h<
/p>
3
3
3
81
19
8
19
V
甲
：
V
乙
=
（
r
2
h
）：（
r
2
h
< br>）
=
81
81
8
由此可知，甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器
中的水的
【例
3
】
将一个棱长是
20
厘米的正方体，旋成
一个圆柱体，并且使圆柱体的体积最大，
求此时旋去的那部分体积。
分析与解
要想知道旋去的那部
分体积，我们应首先认识清楚，怎样才能使旋成的圆柱体体
积最大？通过分析可以发现，
当我们所旋成的圆柱体的底面直径和高均为
20
厘米时，圆柱<
/p>
的体积最大
.
即如图
3
去旋
.
此时，我们只需计算出正
方体的体积及所得到的圆柱体的体积，
其差就是所旋去部分的体积。
即：旋
去的部分的体积约为
1720
立方厘米。
【例
4
】
如图
4
中所示图形是一个底面直径是<
/p>
20
厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中
放着一个底面直径为
12
厘米，
高
为
10
厘米的圆锥体铅锤，
当铅锤从水
中取出后，
容器中的
水下降了几厘米？
只供学习与交流
19
倍。
8
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分析与解
因为玻璃容器是圆柱形的，
所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，
这个圆柱的底面与玻璃容器的底面一
样，是一直径为
20
厘米的圆，它的体积正好等于圆锥
体铅锤的体积
.
这个小圆柱的高就是水面下降的
高度。
因为铅锤的体积为：
设水面
下降的高度为
x
厘米，则小圆柱的体积为：
2
V
2
=π×(20÷2)
×x=100πx（立方厘米）
根据小圆柱的体积等于铅锤的体积有：
120π=100π·x
解此方程得：
x=1.2
（厘米）
答：铅锤取出后，容器中的水面下降了
1.2
厘米。<
/p>
【例
5
】
<
/p>
横截面直径为
20
厘米的一根圆钢，截成
两段后，两段表面积的和为
7536
平方厘
米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？
分析与解
根据圆柱体的体积公式，<
/p>
体积等于底面积乘以高
.
由于底面直径已
经知道，
故只需
依据条件求出圆钢的长度
.
假设圆钢长为
x
厘米，由于将圆钢
截成两段后，两段表面积的和
等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面的式
子：
2
2π×（20÷2）×x+4π×（20÷2）
=20πx+4
00π
依据题中给出的已知条件，
可得方程：20πx+400π=7536
解方程：
圆钢的体积为：
2
π×（
20÷2）
×100≈31400（立方厘米）
答：原来那根圆钢的体积约为
31400
立方厘米。
【例
6
】
<
/p>
用一块长
30
厘米，宽
< br>20
厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁
皮做底，怎样做才能使这个圆柱形容器的容积最大？
分析与解
我们要回答上述问题，实际
上只需考虑两个方面，即以长方形的长做为圆柱形容
器的高，
还
是以长方形的宽做为圆柱形容器的高？比较两种情况下圆柱形容器的体积，
即可
确定方案。
若以长方形的长为高，
则长方形的宽即为圆柱形容器的底面周形，<
/p>
所以圆柱形容器的底
面半径为：
此时容器的容积为：
若以长方形的宽为高，
则长方形的长即为圆柱形容器的底面周长，
此时，
圆柱形容器的
底面半径为：
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