中考四边形综合复习知识讲解(基础)
环保演讲稿-
中考总复习：四边形综合复习—知识讲解（基础）
【考纲要求】
1.
< br>探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念
.
2.
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、
直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间
的关系；了解四边形的不稳定性
.
<
/p>
3.
探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条
件
.
4.
探
索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件
.
5.
探索并了解等腰梯形的有关性质和四边
形是等腰梯形的条件
.
6.
通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几
种图形进行简单的镶嵌设计
.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、
四边形的相关概念
1.
多边形的定义：
在平面内，由不在同一直线
上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形
.
2.
多边形的性质：
(1)
多边形的内角和定理：
n
边
形的内角和等于
(n-2)
·
180<
/p>
°；
(2)
推论：多边形的外角和是
360
°；
(3)
对角线条数公式：
n
边形的对角线有
条；
(4)
正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
.
3.
四边形的定义：
同一平面内，由不
在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形
.
4.
四边形的性质：
(1)
定理：四边形的内角和是
360
°；
(2)
推论：四边形的外角和是
360
°
.
考点二、特殊的四边形
1.
平行四边形及特殊的平行四边形的性质
2.
平行四边形及特殊的平行四边形的判定
【要点诠释】
面积公式：
S
菱形
=
1
ab=ch
（
a
、
b
为菱形的对角线
,c
为菱形的边长，
h
为
c
边上的高）
.
2
S
平行四边形
=ah(a
为平行四边形的边，
h
为
a
上的高）
.
考点三、梯形
1.
< br>梯形的定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
.
(1)
互相平行的两边叫
做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底
.
(2)
不平行的两边叫做梯形的腰
.
(3)
梯形的四个角都叫做底角
.
2.
直角梯形：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形
.
3.
等腰梯形：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形
.
4.
等腰梯形的性质：
(1)
等腰梯形的两腰相等；
(2)
等腰梯形同一底上的两个底角相等
.<
/p>
(3)
等腰梯形的对角线相等
.
5.
等腰梯形的判定方法：
(1)
两腰相等的梯形是等腰梯形
(
定义
)
；
(2)
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
(3)
对角线相等的梯形是等腰梯形
.
6.
梯形中位线：
< br>连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线
.
7.
面积公式：
S=
考点四、平面图形
(a+b)h(a
、
b
是梯形的上、下底，
h
是梯形的高
).
1.
平面图形的镶嵌的定义
：
用形
状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，
不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形
的密铺
.
2.
平面图形镶嵌的条件：
(1)
同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的
一个内角的整倍数
.
在正多边形里
<
/p>
只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌
.
< br>
(2)n
种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
①
n
个正多边形中的一个内角的和的倍数是
360
°；
②
n
个正多边形的边长相等，或其中一个或
n
个正多边形的边长是另一个或
n
个正多边形的边长的整数
倍
.
【典型例题】
类型一、多边形及其镶嵌
1.
一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为
1125
°，当发现错了之后，重新检查，
发现少了一个内角
.
少了的这个内角是
_________
度，他求的是
__
_______
边形的内角和
.
【思路点拨】
一个多边形的内角和能被
180
°整除，本题内角和
1125
°除以
180
°后有余数，则少的内
角应和这个余数互补
.
【答案】
135
；九
.
【解析】
设
这个多边形边数为
n
，少算的内角度数为
x
，由题意得：
(n-2)
·
180
°
=1125
°
+
x
°，∴
n=
，∵
n
为整
数，
0
°＜
x
＜
180
°，∴符合条件的
x
只有
135
°，解得
n=9.
【总结升华】
多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记
住各公式或之间的联系，并准确计算
.
举一反三：
【变式】
（2015•眉山）一个多
边形的外角和是内角和的
，这个多边形的边数为（
）
A
．
5
B
．
6
C
．
7
D
．
8
【答案】
C.
【解析】
∵一个多边形的外角和是内角和的
，且外角和为
360°，
∴这个多边形的内角和为
900°，
即（
n
﹣
2
）
•180°=900°，解得：
n=7
，
则这个多边形的边数是
7
，故选
C
．
2
．
（20
15•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是
（
）
A
．正三角形和正方形
B
．正方形和正六边形
C
．正三角形和正六边形
D
．正五边形和正十边形
【思路点拨】
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几
个角之和能否为
360°．若
能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【答案】
B.
【解析】
A
、正三角形的每个内角是
60°，正方形的每个内角是
90°，3×60°+2×90°=360°，故能
铺满，不合题意；
B
、正方形和正六边形内角分别为
<
/p>
90°、
1
20°，显然不能构成
360°的周角，故不能铺满，符合题意；
C
、正三角形和正六边形内角分别为
60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；
D
、正五边形和正十边形内角分别为
108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．
故选：
B
．
【总结升华】
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起
的多边形的内角加在一起恰好组成一个
周角．
类型二、特殊的四边形
【高清课堂：四边形综合复习
例
1
】
3
．如图，在平行四边形
ABCD
中，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
的中点，
AF
与
DE
相交于点
G
，
于点
H.
(1)
判断四边形
EHFG
的形状；
(2)
在什么情况下，四边形
EHFG
为菱形？
【思路点拨】
（
1
）通过证明两组对边分别平行，可得四边形
EHFG
是平
行四边形；
（
2
）当平行四边形
ABCD
是矩形时，通过证明有一组邻边相等，可得平
行四边形
EHFG
是菱形；
【答案与解析】
（
1
）∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
< br>AE
∥
CF
，
< br>AB=CD
，
∵
E
是
AB
中点，
F
是
CD
中点，
∴
A
E=CF
，
∴四边形
AECF
是平行四边形，
∴
< br>AF
∥
CE
．
< br>
同理可得
DE
∥
BF
，
∴四边形
FGEH
是平行四边形；
（
< br>2
）当平行四边形
ABCD
是矩形时，平行四边形
EHFG
是菱形．
∵四边形
ABCD
是矩形
∴∠
ABC=
∠
DCB=90
°，
∵
E
是
AB
中点，
F
是
CD
中点，
∴
B
E=CF
，
在△
EBC
与△
FCB
中，
∵
B
E
CF
ABC
DCB
，
B
C
BC
∴△
EBC
≌△
FCB
，
CE
与
BF
相交
∴
CE=
BF
，
∠
E
CB=
∠
FBC
，
BH=CH
，
EH=FH
，平行四边形
EHFG
是菱形
.
【
总结升华】
本题属于综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和正方形的判
定，注意找
准条件，有一定的难度．
举一反三：
【变式】已知：如图所示，四边形
ABCD
中，∠
C
＝
90
°，∠
< br>ABD
＝∠
CBD
，
AB
＝
CB
，
P
是
BD
上一点，
PE
⊥
BC
，
PF
⊥
CD
，垂足分别为
E
、
F
，求证：
PA
＝
EF
．
【答案】
连结
PC
．因为
PE
⊥
BC
，
PF
⊥
DC
，
A
D
P
B
E
F
C
所以∠
PEC
＝∠
PFC
＝∠
ECF
＝
< br>90
°，
所以四边形
PECF
是矩形，所以
PC
< br>＝
EF
．
在△
ABP
和△
CBP
中，
AB
＝
CB
，∠
ABP
＝∠
CBP
，
BP
＝
BP
，
所以△
ABP
≌△
CBP
，所以
<
/p>
AP
＝
CP
．<
/p>
所以
AP<
/p>
＝
EF
．
4.
（<
/p>
2012
•威
海
）
（
1
）如图①，
▱
ABCD
的对角线
AC
，
BD
交于点
O
，直线
EF
过点
O
，分别交
AD
，
BC
于点
E
，<
/p>
F
．
求证：<
/p>
AE=CF
．
（
2
）如图②，将
▱
< br>ABCD
（纸片）沿过对角线交点
O
的直线
EF
折叠，点
A
落在点
A
1
处，点
B
落在点
B
1
处，
设
FB
1
交
CD
于点
G
，<
/p>
A
1
B
1
分别交
CD
，
DE
于点
H
，<
/p>
I
．
求证：<
/p>
EI=FG
．
【思路点拨】
（
1
）由四边形
ABCD
是平行四边形，可得
AD
∥
BC
，
OA=OC
，又由平行线的性质，可得∠
1=
∠
2
，继而利用
<
/p>
ASA
，即可证得△
AOE
≌△
COF
，则可证得
AE=CF
．