三视图与表面展开图—知识讲解
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三视图与表面展开图—知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1.
< br>了解平行投影和中心投影的基本概念及主要特征，会在简单情况下画出投影示意图；
2.
了解三视图的概念，会画直棱柱、圆柱、圆锥等简单几
何体的三视图，并会根据视图描述简单的几何
体；
3.
了解直棱柱、圆柱和圆锥的表面展开图，会计算直棱柱、圆柱和圆锥的
侧面积和全面积，能根据展开
图想象和制作实物模型；
4.
了解直棱柱、圆柱和圆锥的三视图和表面展开图在现实生活中的应
用
.
【要点梳理】
要点一、平行投影
1.
基本概念
物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做
投影
.<
/p>
这时，光线叫做
投射线
，投影所在的平<
/p>
面叫做
投影面
.
由平行的投射线所形成的投影叫做
平行投影
.
例如，太阳光线、探照灯的光线都可以看成平行光
线，由此我们可得出这样两
个结论：
(1)
等高的物体垂直地面放置时，如图
1
< br>所示，在太阳光下，它们的影子一样长
.
(2)
等
长的物体平行于地面放置时，如图
2
所示，它们在太阳光下的影
子一样长，且影长等于物体
本身的长度
.
2.
物高与影长的关系
（
1
）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同
.
不同时刻，物体在太阳光下的影子的大
小在变，方向也在改
变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，
影长
也是由长变短再变长
.
（
2
）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正
比例
.
即：
.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等
.
注意：
利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长
.
要点诠释：
1
．平行投影是物体投影的一种，是
在平行光线的照射下产生的
.
利用平行投影知识解题要分清不同
时刻和同一时刻
.
2
．物体与影子上的对应点的连线是
平行的就说明是平行光线
.
要点二、中心投影
由同一点出发的投射线所形成的投影叫做
中心投影
.
这个
“点”
就是中心，
相当于物理上学习的
“点
光源”
.
生活中能形成中心投影的点光源主要有手电
筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等
.
相应地，我
们会得到两个结论：
(1)
等高的物体垂直地面放置时，如图
1
所示，在
灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源
远的物体它的影子长
< br>.
(2)
等长的物体平行于地面放置时
，如图
2
所示
.
一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源
越远，影子越短，但不会比物体本身
的长度还短
.
< br>在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点
在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置
.
要点诠释：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方
向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧
.
要点三、中心投影与平行投影的区别与联系
1.
联系：
（
1
）中心
投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投
影
，
通常的平行光线有太阳光线、
月光等，
而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，
通常状况下，
灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线
.
（
2
）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，
同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化
.
在中心投影中，固定物体的位置和方向，
改变灯光的位置，物体
投影的方向和位置也要发生变化
.
2.
区别：
（
1
）太阳
光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的
影
子与物体高度不一定成比例
.
<
/p>
（
2
）同一时刻，太阳光下影子的方向总
是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能
在不同方向
.
要点诠释：
在解决有关投影的问题时必须先判断准是平行投影还是中心投
影，然后再根据它们的具体特点进一
步解决问题
.
要点四、正投影
正投影的定义：
如图所示，图
(1)
中的投影线集中于一点，形成中心投影；图
(2)(3)
中，投影线互相平行，形成平
行投影；图
(2)
中，投影线斜着照射投影面；图
(3)
中投影线垂直
照射投影面
(
即投影线正对着投影面
)
，
我们也称这种情形为投影线垂直于投影面
.
像图
(3)
这样，如果投射线垂
直于投影面，那么这种投影就称
为
正投影
.
(1)
线段的正投影分为三种情况：
如图所示
.
①线段
AB
平行于投影面
P
时，它的正投影是
线段
A
1
B
1
，与线段
AB
的长相等；
②线段
AB
倾斜于投影面
P
时，它的正投影是线段
A
2
B
2
，长小于线段
AB
的长；
③线段
AB
垂直于投影面
P
时，它的正投影是一个点
.
(2)
平面图形正投影也分三种情况，如图所示
.
①当平面图形平行于投影面
Q
时，它的正投
影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与
这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于
投影面
Q
时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发
生变化，即会
缩小，是类似图形但不一定相似
.
③当平面图形垂直于投影面
Q
时，它的正投影是直线或直线的一部分
.
(3)
立体图形的正投影
.
物体的正投影的形状、大小与物体
相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且
过立体图形的最大截面全
等
.
要点诠释：
(1)
正
投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影
.
(2)
由线段、平面图形和立体图形
的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影
.
(3)
由于正投影的投影线垂直于投
影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到
的图象之间是有联系的<
/p>
.
要点五、简单几何体的三视图
1.
三视图的概念
（
1
）视图
从某一角度观察一个物体时，所看
到的图象叫做物体的一个视图
.
（
2
）正面、水平面和侧面
用三个互相垂直的
平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边
的面叫做
侧面
.
（
3
）三视图
物体在正投影面上的正投影叫做<
/p>
主视图
；在水平投影面上的正投影叫做
俯
视图
；在侧投影面上的正
投影叫做
左视
图
.
产生主视图的投射线方向也叫做主视方向
.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视
图
.
2.
三视图之间的关系
（
1
）位置
关系
三
视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图
(1)
所
示
.
（
2
）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，
遵循主视图与俯视图的
“长对正”
，<
/p>
主视图与左视图的
“高平齐”
，
左视图与俯视图的“宽相等”的原则
.
如图
(2)
所示
.
要点诠释：
物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放
.
三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到
各
个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和
宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础
.
3.
画几何体的三视图
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)
确
定主视图的位置，画出主视图；
(2)
在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“
长对正
”
；
(3)
在
主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“
高平齐
”
，与俯视图“
宽相等
”
.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线
.
要点诠释：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方
向观察时所得的视图画出来，所以，
首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平
面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线
表示看不到的轮廓线；其三，要充分发
挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图
的位置和大小要求从整体
上画出几何体的三视图
.
要点六、由三视图描述几何体
由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到
的几何体形状，然后综合起来确定几
何体的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽
相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的
尺寸
.
要点诠释：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下
途径进行分析：
(1)
根据主视图、俯
视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；
(2)
根据实线和虚线
想象几何体看得见和看不见的轮廓线；
(3)
熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮
助；
(4)
利用由三视图画几何体与由几何体
画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法
.
要点七、简单几何体的表面展开图
1.
表面展开图
将几何体沿着某些棱“剪开”
，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展
开图
.
2.
圆柱的表面展开图
如下左图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（<
/p>
BC
）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何
< br>体
.AB
、
CD
旋转所成的面就是圆柱的两个
底面
，是两个半径相同的
圆
.AD
旋转所成的面就是圆柱的
侧面
，
AD
不论旋转到哪个位置，都是圆柱
的
母线
.
如果沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，
那么就得到圆柱的侧面展开图
.
一
般地
，一个底面半径为
r
，母线长为
l
的圆柱的表面展开图如上右图所示
.
由图可知，圆柱的侧面积公式为：
< br>S
侧
=2
rl
.
全面积公式为：
S
全
=2
r
2
+2
rl
.
3.
圆锥的表面展开图
圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（
AC
）旋转一周，它的其余各边所成的面围成
的
一个几何体
.
直角边
BC
旋转所成的面就是圆锥的
底面
，斜边
AB
旋转所成的面就是圆锥的
侧面
.
斜边
AB
不论旋转到哪一个位置
，都叫做圆锥的
母线
.
一般地，一个底面半径为
r
，母线长为
l
的圆锥的侧面展开图是一个半径为
母线长
l
，弧长为底面
圆周长
2
π
r
的扇形，如图，
由此我们可以得到圆锥的侧面积和全面积公式：
S
侧
=
rl
.
S
全
=
r
2
+
rl
.