等差、等比数列求和公式总结
tyrannical-
课
题
课
型
授课日期及时段
教
学
目
的
重
难
点
数列求和
□
预习课
□
同步课
□
复习课
□
习题课
通过学习数列的前
n
项和来解决一些关
于不等式的问题。
求前
n
项和方法的灵活运用。
课
次
第
次
教
学
内
容
课前回顾：
上节课讲了求通项公式的
几种方法，对于其中的几种一定要熟记。
数列分为等差数列和
等比数列，但是无论等差数列还是等比数列，第一步都是要求通项公式，然后第
二步求前
n
项和，下面我们就介绍几种求前
n<
/p>
项和的方法。在说方法之前，一定要了解其实求前
n
项
和是为了和不等式连接起来，也就是前面所说的函数的问题，下面就正式介
绍求前
n
项和的几种方法。
【基础知识网络总结与巩固】
一、公式法
等差数列前
n
项和：
S
n
n
(
< br>a
1
a
n
)
n
(
n
1)
na
1
d
2
2
a
k
1
，即前
n
项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可
特别的，当前
n
项的个数为奇数时，
S
2
k
1
<
/p>
(2
k
1)<
/p>
g
以简化运算。
等比数列前
n
项和：
q=1
时，
S
n
na
1
q
1
，
< br>S
n
其他公式：
a
1
1
< br>
q
n
1
q
，
特别要注意对公比的讨论。
n
1
1
2
1
、
S
n
k
n
(
< br>n
1
)
2
、
S
n
k
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
2
6
k
1
k
1
n
3
、
S
n<
/p>
1
3
k
[
n
(
n
1
)]
2
2
< br>k
1
n
二、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其
中
{
a
n
}
、
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
我难人难我不怕难，我易人易我不大意
1
三、反序相加法求和
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（
反序）
，再把它与原数列相加，
就可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)<
/p>
.
四、分组法求和
< br>有一类数列，
既不是等差数列，
也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，
可分为几个等差、
等
比或常见的数列，
然后分别求和，再将其合并即可
.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，
使之能消去一
些项，最终达到求和的目的
.
通项分解
（裂项）
如：
sin
1
< br>
tan(
n
1
)
tan
n
（
1
）
a
n
f
(
n
1
)<
/p>
f
(
n
)
（
2
）
cos
n
cos(
n
1<
/p>
)
(
2
n
)
2
1
1
1
1
1
1
1
(
)
（
3
）
a<
/p>
n
（
4
）
a
n
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
n
(<
/p>
n
1
)
n
n
1
（
5
）
a
n
1
1
1
1
[
]
n
(<
/p>
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
< br>n
1
)(
n
2
)
n
2
1
2<
/p>
(
n
1
)
n
1
1
1
1
n
n
,
则
S
1
<
/p>
n
n
1
n
n
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
2
(
n<
/p>
1
)
2
(
n
1
)
2
(6)
a
n
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和
时，可将这些项放在一
起先求和，然后再求
S
< br>n
.
我难人难我不怕难，我易人易我不大意
2
【重难点例题启发与方法总结】
[
例
2]
<
/p>
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n
，
n
∈
N
*
,
求
f
(
n
)
S
n
的最大值
.
(
n
32
)
S
n
1
解：由等差数列求和公式得
S
n
∴
f
(
n
)
1
1
n
(
n
1
)
，
< br>
S
n
1
(
n
1
)(
n
<
/p>
2
)
（利用常用公式）
2
2
S
n
n
＝
2
(
n
32
)
S
n
1
n
34
n
64
＝
1
n
34
64
n
＝
(
n
1
8
n
)
2
< br>
50
1
50
∴
当
n
8
1
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
8
1
3
x
5
x
2
7
x
3
<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
………………………
①
<
/p>
n
1
（错位相
加法）
[
例
3]
求和：
S
n
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
< br>x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等比数列
{
x
}
的通项之积
2
3
4
n
设
xS
n
1
x
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
< br>)
x
……………………….
②
（设制错位）
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2
< br>x
2
x
(
2
n
1
)
x
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
2
(
1
x
)
2
4
6
2
n
,
< br>2
,
3
,
,
n
,
前
n
项的和
. <
/p>
2
2
2
2
2
n
1
解：由题可知
，
{
n
}
的通
项是等差数列
{2n}
的通项与等比数列
{
n
}
的通项之积
< br>
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n
2
3
n
…………………………………
①
< br>
2
2
2
2
1
2
4
6
2
n
S
n
2
3
4
n
< br>
1
………………………………
②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2<
/p>
2
2
n
①－②得
(
1
)
S
n
2
3
4
< br>
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
2
n
1
n
1
2
2
n
< br>2
∴
S
n
4
n
1
2
[
例
4]
求数列
我难人难我不怕难，我易人易我不大意
3