等差数列、等比数列的证明及数列求和
咖啡滤纸-
.
等差数列、等比数列的证明
例
1
．已知数列
<
/p>
a
n
满足
a
1
1
，
a
n
3
a
n
< br>1
2
n
3
n
2
，
（Ⅰ）求证：数列
a
n
n
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
a
n
的通项公式。
例
2
．已知
数列
a
n
满足
a
1
<
/p>
2
，
a
n
1
a
n
，
1
2
a
n
（Ⅰ）求证：数列
1
是等差数列；
<
/p>
a
n
（Ⅱ）求数列
a
n
的通项公式。
*
例
3
．已知数列
a
n
，
S
n
是它的前<
/p>
n
项和，且
S
n
1
4
a
n
2
n
N
，
a
1
< br>
1
（Ⅰ）设
b
n
a
n
1
2
a
n
n
<
/p>
N
*
，求证：数列
b
n
是
等比数列；
（Ⅱ）设
c
n
< br>a
n
，求证：数列
c
n
是等差数列；
n
2
（Ⅲ）求数
列
a
n
<
/p>
的通项公式。
.
.
.
练习<
/p>
1
．已知数列
a
n
满足
a
1
5
，
a
n
1
2
a
n
3
n
n
< br>
N
*
，
（Ⅰ）求证：数列
a
n
3
n
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
a
n
的通项公式。
< br>
2
．已知数列
a
< br>n
满足
a
1
1
，
a
n
2
a<
/p>
n
1
2
n
n
2
，
（Ⅰ）求证：数列
a
n
是等差数列；<
/p>
n
2
（Ⅱ）求数列
a
n
的通项
公式。
3
．数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，且
S
n
4.
已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，数列
a
n
S
n
< br>
是公差为
2
的等差数列
.
（
1
）证明
a
n
2
是等比数列；
（
2
）求通项公式
.
5.
已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，正整数
n
对应的
n
,
a
n
,
S
n<
/p>
成等差数列
.
（
1
）证明
S
n
n
2
成等比数列；
（
2
）求
S
n
1
（
2
）求通
项公式
.
a
n
1
,
（
1
）证明数列
a
n
等比数列；
3
求通项公式
.
.
.
（一）
给出递推公式求通项公式
类型一、<
/p>
已知关系式
a
n
1
a
n<
/p>
f
(
n
)
，可利用累加法
例
1
在数列
a
n
中
，已
知
a
1
1<
/p>
,
当
n
2
时，有
a
n
a
n
1
2
n
1
(
n
2
)
，求数列的通项公式
.
变式：
在数列
a
n
中
，
a
1
1
,
a
n
< br>3
n
1
a
n
1
(
n
2
)
，求通项
.
类型二、
已知关系式
a
n
1
a
n
•
f
(
n
)<
/p>
，可利用累乘法
例
2
在数列
a
n
中
，已知
a
1
1
，有
na
n
1
n
<
/p>
1
a
n
n
2
，求数列的通项公式
.
变式<
/p>
在数列
a
n<
/p>
中
，已知
a<
/p>
1
类型三、构造新数列
①
递推关系形如
a
n
1
pa
n
q
p
0
,
p
1
，利用待定系数法求解
令
a
n
1
c
p<
/p>
(
a
n
c
)
，其中
c
为待定系数，化为等比数列
a
n
c
< br>求通项
.
例
3
已知数列
a
n
中，若
a
1
1
,
a
< br>n
1
2
a
n
3
(
n
1
)
，求数列
a<
/p>
n
的通项公式
.
变
式上例中递推关系变为
a
n
1
a
n
3
(
< br>n
1
)
，求数列的通项公式
.
②
递推关
系形如
a
n
pa
n
1<
/p>
qa
n
a
n
1
(
p
,
q
0
)
,
两边同除以
a
n
a
n
1
.
.
1
，有
a
n
1
2
n
a
n
，求数列的通项公式
.
2
.
递推关系形如“
< br>a
n
pa
n
1
，取倒数法
(
p
,
q
,
r
0
)
”
qa
n
1
r
例
4
已知数列
<
/p>
a
n
中
，
a
n
a
n
1
2
a
n
a
n
1
(
n
2
),
a
1
2
，求数列
a
n<
/p>
的通项公式
.
<
/p>
变式
已知数列
a
n
中
，<
/p>
a
1
2
，
a
n
1
n
练习<
/p>
1.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
3
1
，
a
1
< br>3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
a
n
(
n
N
< br>)
，求数列
a
n
的通项公式
.
4
a
n
2.
在数列
a
n
中
，已知
a
1
1
，有
< br>na
n
1
n
2
a
n
<
/p>
n
2
，求数列的通项公式
.
3.<
/p>
已知数列
a
n
中，
a
1<
/p>
=
4.
已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
1
，
a
n
1
5.<
/p>
已知数列
a
n
中，
a
1<
/p>
2
，且满足
2
a
n
1
3
a
n
1,
n
N
，求数列
a
n
的通项公式
.
a
n
，求通项公式
a
n
.
n
3
a
n
1
2
，
a
n
1
a
n
< br>，求通项公式
3
a
n
2
a
n
.
a
1
< br>,
n
1
（二）
给出
S
n
求
a
n
：
a
n
<
/p>
S
S
,
n
2
n
1
n
.
.