等比数列求和公式的推导
创作背景-
用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤
湖南省邵东县第一中学
刘玉
（邮编：
422800
）
< br>
极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是
最大或
最小
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
函数的极值不是唯一
的
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
极大值与极小值之
间无确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
.
函数的极值点一定出现在区
间的内部，
区间的端点不能成为极
值点
而使函数取得最大值、
最小值
的点可能在区间的
内部，也可能在区间的端点
用导数判别
f
(
x
0
)
是极大、
极小值的思
路
:
若
x
0
满足
f
(<
/p>
x
0
)
0
，
且在
x
0
的两侧
f
(
x
)
的导数异号，则
x
0
是
f
(
x
)
的极值点，
f
(
x
0
)
是极值，并且如果
f
(
x
)
在
x
0
两侧满足“左
正右负”
，则
x
0
是
f
(
x
)
< br>的极大值点，
f
(
x
0
)
是极大值；如果
f<
/p>
(
x
)
在
x
0
两侧满足“左
负
右正”
，则
x
0
是
f
(
x
)
的极小值点，
f
(
x
0
)
是极小值
求函数
f
< br>(
x
)
的极值的步骤
: (1)
确定函数的定义区间，
求导数
f
′
(
x
)
(2)
求方程
f
′
(
x
)=0
的根
(3)
用函数的导数为
0
的点，
< br>顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，
并列成表格
.
检查
f
′
(<
/p>
x
)
在方程根左右的值的符号，
如果左正右负，
那么
f
(
x
)
在这个根处取得极大值；
如
果左负右正，那么
f
(
x
)
在这个根处取得极小值；如果
左右不改变符号即都为正或都为负，
则
f
(
x
)
在这个根处无极值
在闭区间
a
,
b
上连续的函数<
/p>
f
(
x
)
在
a
,
b
上必有最大值与最小值；
在开区间
(
a
,
< br>b
)
内
连续的函数
f
(
x
)
< br>不一定有最大值与最小值
.
函数的最值是比较整个定义
域内的函数值得
出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
函数在其定义区间上的最大值、最
小值最多各有一个，
而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
利用导数求函数
的最值步骤
:
⑴求
f
< br>(
x
)
在
(
a
,
b
)
内的极值；⑵将
f
(
< br>x
)
的各极值与
f
(
a
)
、
< br>f
(
b
)
比较得出函数
f
(
x
)
在
a
,
b
上的最值
< br>
2
2
例
1 <
/p>
求列函数的极值：
（
1
< br>）
y
(
x
1
)
(
x
2
)
；
（
2
）
y
2
2
/
2
x
< br>2
2
x
1
2
解：
（
1
）
f<
/p>
(
x
)
(
x
1
)
(
x
2
)
,
f
(
x
)
(
x
1<
/p>
)(
5
x
7
)(
x
2
)
/
令
f
(
x
)
0
，得驻点
x
1
< br>1
,
x
2
7
,
x
3
2
5
1
x
f
/
(
x
)
f
(
x
)
(
,
1
)
+
↗
1
0
极大
7
(<
/p>
1
,
)
5
-
↘
7
5
0
极小
7
(<
/p>
,
2
)
5
+
↗
2
0
(
2
,
)<
/p>
+
↗
7
108
是函数的极小值
< br>.
f
(
1
)
0
是函数的极大值；
f
(
)
5
3125
2
x
2
(
1
x
2
)
2
x
2
x
2
(<
/p>
1
x
)(
1
x
)
/
（
2
）
f
(
x
< br>)
2
2
,
f
(
x
)
2
2
2
2
x
< br>
1
(
1
x
)
(
1
x
)
令
f
/
(
x
)
0
，得驻点
x
1
1
,
x
2
1
x
f
/
(
x
)
f
(
x
)
(
,
1
)
-
↘
极小
-1
0
极大
极大
(
1
,
1
)
+
↗
=-1
值。
1
0
极小
(
1
,
<
/p>
)
-
↘
当
x
1
时，
f
=-3
；当
x
1
时，
f
2
x
例
2
设
f
(
x
)
(
ax
x
1
)
e
(
e
为自然对数的底，
a
为常数且<
/p>
a
0
,
x
R
）
，
f
(
x
)
取极小值时，求
x
的值
.
解：
f
(
x
)
(
2
ax
1
)
e
e
z
x
(
ax
2
x
1
)
e
x
(
1
)<
/p>
(
ax
1
)(
x
2
)
令
f
(
x
)
0
x
1
或
2
<
/p>
a
1
1
（
1
）
当
2
即
a
0
，由表
a
2
x
f<
/p>
′
(
x
)
f
（
x
）
（－∞，
－
2
）
+
↗
－
2
0
极大值
1
(
2
,<
/p>
)
a
－
↘
1
a
1
(
,
)
a
+
↗
0
极小值
2