等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧
鬼使神差什么意思-
高考专题复习——等差与等比数列
一、知识结构与要点：
等差、等比数列的性质推广
定义
a
n
1
a
n
d
a
n
< br>
2
a
n
1
a
n
1
a
n
n
N
通项
a
n
a
1
t
(
n
1
)
d
—等差中项
abc
成等差
b
基本概念
推广
a
n
a
m
(
n
m
)
d
前
n
项和<
/p>
S
n
等差数列
当
d>0(<0)
时
{
a
n
}
为递增（减）数列
当
d=0
时
{
a
n
}
为常数
基本性质
与首末两端等距离的项之和均相等
a
1
a
n
a
2
a
n
1
< br>
c
......
a
i
a
n
i
1
i
N
m
n
p
q
a
m
a
< br>n
a
p
a
q
{
a
n
}
中共
n
1
n
2
.
......
n
k
成等差则
a
n
1<
/p>
,
a
n
2
,
......
a
n
k
也成等
第
1
页
共
17
页
a
c
2
(
a
1
a
2
)
n
1
a
< br>1
n
(
n
1
)
n
d
2
2
定义
:
a
n
a
a
q
n
2
n
1
n
N
a
n
1
a
n
1
a
n
2
通项
a
n
a
1
q
n
1
等比
中项：
a b c
成等比数列
b
ac
基本概念
推广
a
n
a
m
q
n
m
a
1
n
(
q
1
)
前
n
项和
S
n
a
(
1
q
n
)
1
1
q
等比数列
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1
q
< br>
与首末两端等距离的两项之积相等
a
1
a
n
a
2
a
n
1
......<
/p>
a
i
a
n
i
1
m
n
p
q
a
m
a
n
a
< br>p
a
q
{
a
n
}
成等比，若
n
1
,
n
2
,
...
n
k
成等差
则
a
1
,
a
n
2
,...
a
nk
成等比
基本性质
当
a
1
0
q
1
或
a
< br>1
0
0
q
1
a
1
0
0
q
1
时
{
a
n
}
为递增数列
当
a
1
0
q
1
或
时
{
a
n
}
为递减数列
当
q<0
时
{
a
n
}
为摆动
数列
当
q=1
时
{
a
n
}
为常数
数列
二、典型例题
例
1
．在等差数列中
a
6
a
9
a
12
a
15
20
求
S
20
解法一
a
n
a
1
(
n
1
)
d
a
< br>6
a
9
a
12
a
15
(
a
1
5
d
)
(
a
1
8
d
)
(
a
< br>1
11
d
)
(
a
1
14
d
)
2
(
2
a
1
19
d
)
20
2
a
1
19
d
10
那么
S
20
20
(<
/p>
a
1
a
20
)
10
(
2
a
1
19
d
)
100
2
解法二：由
m
n
p
q
a
m
< br>a
n
a
p
a
q
第
2
页
共
17
页
a
6
a
9
a
12
a
15
2
(
a
6
a
15
)
2
(
a
1
a
20
)
20
点评：在等差数列中，由条件不能具体求出
a
1
和
d
，但可以求出
a
1
与
d
的组合式，而所求的量
往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方
法将值求出
（
2
）利用：
m
n
< br>
p
q
a
m
a
n
a
p
a
q
将所求量化
为已知量也是“整体代值”的思
想，它比用
a
< br>1
和
d
表示更简捷。
例
2
．等差数列前
m
项和为
30
，前
2m
项和为
100
，则它的前
3m
项和为
解法一
用方程的思想，由条件知
(
a
1
a
m
)
m
< br>30
(
a
1
a
m
)
m
60
2
①
(
a
1
a
2
m
)
2
m
(
a
1
a
< br>2
m
)
m
100
②
100
2
a
m
a
2
m
a
3
m
也成等数列
S
3
m
3
m
3
(
a
1
a
3
m
)
m
< br>(
a
1
2
a
2
m
a
m
)
由②Χ
2-
①得
2
2
3
140
210
2
m
(
a
1
a
2
m
a
m
)
< br>140
代入
S
3
m
解：在等差数列中由性
质知
S
m
S
2
m
S
m
S
3
m
S
2
m
成等差数列
S
3
m
S
2
m
< br>
2
(
S
2
m
S
m
)
S
m
S
3
m
3
(
S
< br>2
m
S
m
)
210
解法三
等差数列
{
a
n
}
中
<
/p>
S
n
a
1
n
S
1
d
n
(
n
1
)
d
n
a
<
/p>
(
n
1
)
2
n
2
S
d
即
{
n
}
为以
< br>a
1
为首项公差为
的等差数列<
/p>
依题意条件知
n
2
S
m
S
2
m
S
3
m<
/p>
S
S
S
成等差
2
3
m
2
m
m
2
m
< br>3
m
m
m
2
m
3
m
S
3
m
3
(
S
2
m
S
m
)
210
点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等
差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。
例
3
在等比数列中
S
5
93
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
< br>186
求
a
8
第
3
页
共
17
页
分
析：在等比数列中对于
a
1
q
n
a
n
S
n
五个量
一般“知三求二”其中首项
5
元比是关键，
因此
解法一
< br>
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
186
S
5
a
6
a
1
186
a
6
a
1
< br>9
3
a
1
q
5
a
1
9
3
< br>
a
a
93
a
1
a
1
q
5<
/p>
93
q
2
a
1
3
又
S
5
93
1
1
1
q
1
q
则
a
8
< br>
a
1
q
7
384
解法二
:
S
5
93
而
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
(
a
< br>1
a
2
a
3
a
4
a
5
)
q
186
a
1
(
1
q
5
)
q
< br>2
代入
93
< br>
中得
a
1<
/p>
3
1
q
故
a
8
a
1
q
7
384
点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列
问题常用解法二更为简捷。
例
4
．在等差数列
{
a
n
}
中
S<
/p>
9
36
S
13
104
等比数列
{
b
n
}
中
b
5
a
5
b
< br>7
a
7
则
b
6
a
a
9
解：
S
9
(
1
)
9
a
5
9
36
a
5
4
2
S
13
a
1
a
13
13
a
7
13
< br>
104
a
7
8
2
2
b
5
b
7
< br>
a
5
a
7
32
b
2
32
b
6
4
3
点评：此题也可以把
a
1
和
d
看成两个未知数，通过
S
9
36
S
13
104
列方程，联立解
a
a
2
n
1
a
n
计算较为方便。
之
d=
2
<
/p>
a
1
4
。再求出
a
5
a
7
但计算较繁，运用
1
2
例
5
．设等差数列
{
a
n
< br>}
前
n
项和为
S
n
已知
a
3
12
S
12
0
S<
/p>
13
0
（
1
）求公
差
d
的范围
（
2
）指出
S
1
S
2
......
S
12
中哪一个值最大，并说明理由
第
4
页
共
17
页
S
12
12
a
1
解：
（<
/p>
1
）由题义有
S
13
12
(
12
<
/p>
1
)
d
0
2
2
a
1
11
d
0
13
(
13
1
)
a
1
6
d
0
13
a
1
d
0
2
24
7
d
0
24
<
/p>
d
3
7
3
d
0
由
a
3
12
a
1
12
2<
/p>
d
则代入上式有
(2
S
n
a
1
n
n
(
n
1
)
1
d
1
24
d
1
24
d
n
(
12
2
d
)
n
(
n
1
)
d
[
n
<
/p>
(
5
)]
2
[
(
5
)]
2
2
2
2
2
d
2
2
d
d<0
所以
[
n
1
24
24
(
5
)]
2
最小时
< br>S
n
最大
当
d
3
时
2
d
7
6
< br>1
24
1
24
< br>(
5
)
6
.
5
所以
当
n=6
时
[
n
(
5
)]
2
最小
故
S
6
最大
<
/p>
2
d
2
d
点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用，判断数列随
N
增大而变化规律的方
法与判断函数增减性的方法相同。
例
6
已知
a>0
a
1
数列
{
a
n
}
是首项
5
元比都为
a
的等比数列，
b
n
a
n
lg
a
n
(n
N
)
如果
数
列
{
b
n
}<
/p>
中每一项总小于它后面的项，求
a
的取值
范围。
解：由已知有
a
n
a
< br>
a
n
1
a
n
所
以
b
n
a<
/p>
n
lg
a
n
a
n
lg
a
n
na
n
lg
a
因此由题意
对任意
n
N
b
n
b
n
1
成立
即
na<
/p>
n
lg
a
(
n
1
)
a
n
1
lg
a
即
a
n
lg
< br>a
[(
n
1
)
a
n
]
0
对任<
/p>
n
N
总成立，
由
a
0
<
/p>
知
a
0
那么
由
a>0
a
1
知
n
lg
a<
/p>
0
(
n
1
)
a
n
0
或
lg
a
<
/p>
0
(
a
1
)
n
n
0
a
1
即（Ⅰ）
0
< br>a
1
n
或
（Ⅱ）
n
a
a
n
1
n
1
由Ⅰ知
a>1
中Ⅱ
n
1
1
n
)
mi
n
0
<
/p>
a
为递增的函数
所以
(
n
1
2
2
n
1
故
a
的取值范围为
< br>0
a
1
或
a>1
2
< br>点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值
第
5
页
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17
页
的
观点来解决问题，同时还要判断函数
y
x
的单调性，具有一定的综合性。
x
2
高考专题——数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础
.
在高考和各种数学竞赛中都占有
重要的地位
.
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部
分数列的求和都需要一定的技巧
.
下面，
就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和
的基本方法和技巧
< br>.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数
列求和公式：
S
n
< br>n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
< br>(
q
1
)
1
q
1
q
3
、
S
n
1
k
n
(
n
< br>1
)
2
k
1
n
4
、
S
n
k
k
1
n
2
1
n
(
< br>n
1
)(
2
n
1
)
6
5
、<
/p>
S
n
1
3
k
[
n
(
n
1
)]
2
< br>
2
k
1
1
2
3
n
，求
x
<
/p>
x
x
x
的前
n
项和
.
log
2
3
n
[
例
1]
已知
log
3
x
解：由
log
3
x
1
1
log
3
x
< br>log
3
2
< br>x
由等比数列求和公式得
lo
g
2
3
2
第<
/p>
6
页
共
17
页
1
1
(
1
)
n
x
(
1
x
n
)
< br>2
2
3
n
2
＝
1
－
1
S
n
x
x
x
x
（利用常用公式）＝
＝
1
1
x
2
n
1
2
[
例
2]
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n，<
/p>
n
∈
N
*
,
求
f
(
n
)
S
n
的最大值
.
(
n
32
)
S
n
1
< br>解：由等差数列求和公式得
S
n
1
1
n<
/p>
(
n
1
)
，
S
n
(
n
1
)(
n
< br>
2
)
（利用常用公式）
2
2
∴
f
(
n
)
S
n
n
＝
2
＝
(
< br>n
32
)
S
n
1
n
34
n
64
1
n
<
/p>
34
64
n<
/p>
＝
(
n
1
8
n
)
2
50
1
50
<
/p>
∴当
n
8
1
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
8
二、错位相减
法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
[
例
3]
求
和：
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
< br>(
2
n
1
)
x
n
1
………………①
< br>解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
1
< br>}
的通项是等差数列
{2n
－<
/p>
1}
的通项与等比数列
{
x
n
1
}
的通项之积
2
3
4
n
设
xS
n
1
x
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
< br>x
…….
②
（设制错位）
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2
< br>x
2
x
(
2
n
1
)
x
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
< br>n
再利用等比数列的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1<
/p>
2
x
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x<
/p>
n
(
1
x
)
∴
S
n
2
(
1
x
)
[
例
4]
求数列
,
2
4
6
2
n
,
,
,
,
前
n<
/p>
项的和
.
2
2
2
2
3
2
n
解：由题可知，
{
2
n
1
}
的
通项是等差数列
{2n}
的通项与等比数列
{
}
的通项之积
n
2
n
2
第
7
页
共
17
页
设
S
n
2
4
6
2
n
2
3
< br>
n
………………①
2
2
2
2
1
2
4
6
< br>2
n
S
n
2
3
4
n
1
………………②
（设制错位）
2
2
2
2
2
①－②得
(
< br>1
)
S
n
1
2
1
2
n
2
2
2
2
2
2
n
2
3
4
< br>
n
n
1
（错位相减
）
2
n
1
n
1
2
2
2
2
2
2
2
2
n
2
< br>
n
1
2
三、反序相加法求和
∴
S
n
4
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
，再
把它与原数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1
a<
/p>
n
)
.
0
1
2
n
3
C
n
5
C
n
< br>
(
2
n
1
)
C
n
(
n
1
)
2
n
[
例
5]
<
/p>
求证：
C
n
0<
/p>
1
2
n
证明：<
/p>
设
S
n
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1<
/p>
)
C
n
………①
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
S
n
(
2
n
1
)
C
n
<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
（反序）
< br>
m
n
m
0
1
n
1
n
又由
C<
/p>
n
C
n
可得
S
n<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
(
2
n
1
)
C
n
3
C<
/p>
n
C
n
……..②
0
1<
/p>
n
1
n
n
①
+
②
得
2
S
n
(
2
n
2
)(
C
n
C
n
C
n
C
n
)
2
(
n
< br>
1
)
2
（
反
序
相
加
）
∴
S
n
(
n
1
)
2
n
[
例
6]
<
/p>
求
sin
2
1<
/p>
sin
2<
/p>
2
sin<
/p>
2
3
sin
2
88
sin
2
89
的值
解：设
S
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
…①
将①式右边反序得
2
2
2
2
2
S
sin
2
89
s
in
2
88
<
/p>
sin
2
3
<
/p>
sin
2
2<
/p>
sin
2<
/p>
1
…②
（反序
）
又因为
sin
x
cos(
< br>90
x
),
< br>sin
x
cos
x
1
①
+
②得
（反序相加
）
2
2<
/p>
2
S
(sin
2
1
cos
2
1
)
(sin
2<
/p>
2
cos<
/p>
2
2
)
(sin
2
89
cos
2
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
四、分组法求和
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共
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