数列求和最全方法例题含答案
酸甜猪脚-
求数列前
n
项和题型
方法总结
1
、
考纲解读
（
1
）
了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）
。
（
2
）
了解数列是自变量为正整数的一类函数。
（
3
）
理解等差数列、等比数列的概念。
（
4
）
掌握等差数列、等比数列通项公式和前
n
项
和公式。
（
5
）
能在具体的问题情境中识别等差关系或等比关系，并能利用有关知识解决问题。
（
6
）
了解等车数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系。
常考题型：填空题，选择题，解答题
占分比重：
10~17
分
二、考点梳理（命题特点）
&
考试趋势
2.1.
数列的概念与简单表示法
2.2.
等差数列
2.3.
等比数列
2.4.
数列求和、数列的综合应用
三、题型讲解
3.1
解题技巧归纳（提分秘笈）
3.1.1
公式法
< br>公式法：直接利用等差等比数列的前
n
项和公式
.
１
①等差
数列的前
n
项和公式
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)<
/p>
d
na
1
2
2
②等比数列
的前
n
项和公式
S
n
a
.
当
q
1
时，
S
n
na<
/p>
1
；
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
n
q
n
b
.
当
q
1
时
,<
/p>
S
n
1
q
1
q
例
1
若数
列
a
n
<
/p>
为等差数列，
s
n
为其前
n
项和，且
a
2
3
a
4
-
6
，求
s
9
的
值
.
答案
27
解析
:
设数列
a
n
的
公差
为
d
，有
a
1
d
<
/p>
3
a
1
3
d
-
6
，得
a
1
4
d
< br>
a
5
3
,
S
9
9
(
a
1
a
9
)
9
2
a
5
< br>27
2
2
【注意事项】
（
1
）善于识别题目类型，确定是等差数列还是等比数列
.
（
2
）等比数列中要注意公比为
1
的情况
.
3.1.2
分组求和
分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列
例
2 <
/p>
已知
s
n
是数列
a
n
的前
n
项和，且满足
s
n
2
a
n
n
-
4
.
s
n
n
2
为等比数列；
(
1
)
证明：
(
2
)
求数列
s
n
的前
n
项和
T
n
.
２
答案
（<
/p>
1
）见解析；
2
n
3
<
/p>
n
2
3
n
8
（
2
）
2
解析
:
所
以
S
n
n<
/p>
2
2
S
n
-
1
（
n
1
）
2
,
又易知
a
1
3
,
所以
S
1
1
2
4
，
1
已知
S
n
2
(
S
n
S
n
1
)
n
4
，即
S
n
2
S
n
1
n
4
,
所以
{
S
n
n
2
}
是首
项首
4
，公比
为
2
的等比数列
.
2
由（
于
T
n
< br>
2
2
2
3
2
n
1
1
2
n
< br>
2
n
4
1
2
n
n
(
n
1
)
2
n
3
n
2
3
< br>n
8
2
n
1
2
2
2
1
）知
S
n
n
2
2
n
1
,
所以
< br>S
n
2
n
1
n
-
2
，
【注意事项】
（
1
）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项
.
（
2
）将通项
分解成一些等差和等比数列或可直接求和的数列再进行求和
.
补充：常见数列的前
n
项和
1
2
3
n
n
n
1<
/p>
2
2
4
6
2
n
n
2
n
1
3
5
<
/p>
2
n
1
n
2
1
2
2
2
3
2
n
2
n<
/p>
n
1
2
n
1
6
2
n
n
< br>
1
1
3
2
3
3
3
n
3
2
3.1.3
裂项相消<
/p>
３
裂项相消法：
把一个数列的通项分成两项差的形式，
< br>相加过程中消去中间项，
只剩有限项再求和
.
常见裂项公式
(
1
)
若
a
1
1
1
1<
/p>
n
为各项都不为
0
的等差数列，公差
为
d
(
d
0
),
则
a
< br>d
(
a
);
n
a
n
1
n
a<
/p>
n
1
(
2
)
1
n
n
k
1
d
1
n
1
n<
/p>
k
;
(
3
)
1
n
n
1
n
1
n
;
(
4
)
lo
g
1
a<
/p>
1
n
log
a
n
1
log
a
n
a
0
且
a
1
.
例
3
设
s
n
是等差数列
a
n
的
前
n
项和，且满足
s
< br>10
110
,
s
15
240
.
(
1
)
< br>求数列
a
n
< br>
的通
项通项公
(
2
)
令
b
< br>a
n
1
a
n
n
a
,
求数列
b
n
的前<
/p>
n
项和
T
n
.
n
a
n
1
答案
<
/p>
1
a
n
2
n
2
T
n
n
n
1
2
n
解析
:
10
a
1
0
9
d
<
/p>
110
1
设公
差为
d
,
则有
1
2
解得
a
1
2
，
d
2
,
a
15
a
15
14
n
2
n
1
2
d
240
2
b
1
n
2
n
<
/p>
2
2
n
2
n
2
n
2
n
n
n
n
1
1
n
1
n<
/p>
1
2
,
T
1
1
1
1
1
1
1
n
n
1
2
2
3
3<
/p>
4
n
n
1
2
n
n
1
2
n
４
【注意事项】
（
1
）对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，
在求和时
常用
“裂项相消法”
，
分式型数列的求
和多用此法
.
（
2
< br>）利用裂项相消法求和时，
应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，
也有可能前边剩两项，后边也剩两项
.
（
3
）有些情况下，裂项时需要调整前面的系数，使裂开后的两项
之差和系数之
积与原项相等
.
3.1.4
错位相减
错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和
.
例
4
已知
等比数列
a
n
的前
n
项和为
s
n
，公比
q
0
,
s
2
2
a
2<
/p>
2
,
s
3
a
4
2
.
(
1
)
求数列
a
n
的通
< br>项
n
(
2
)
设
b
n
,
求数列
b
n
的前
n<
/p>
项和
T
n
.
a
n
答案
1
a
n
2
n
n
2
2
< br>
T
n
2
n
2
解析
５