不用错位相减法求等差乘等比数列的求和
蓬蓬勃勃-
等差乘等比数列求和
若数列
< br>{
C
n
}
的通项公式为
C
n
a
n
b
n
其中数列
{
a
< br>n
}
是公差为
d
的等差数列，
数列
{
b
n
}
是公比为
q
（
q
1
）的等比数列，则存在等差数列
{
x
n
}
使
a
n
b
n
x
n
b
n
x
n
<
/p>
1
b
n
1
，
a
1
q
d
2
1
q
(1
q
)
a
1
1
qd
1
1
q
其中等差数列
{
x
n
}
的首
项
x
1
和公差
d
0
分别为
x
1
1
<
/p>
q
2
d
x
a
1
1
1
d
,
令
t
,
则
x
1
2
1
q
t<
/p>
1
q
qd
,
d
x
d
t
t
下面来证明一下这两个式子，利用待定系数法：
c
n
a
n
b
n
[
a
1
(
< br>n
1)
d
]
b
n
令
c
n
<
/p>
x
n
b
n
x
n
1
b
n
1
,
数列
{
< br>x
n
}
为等差数列
,
设
x
n
< br>
d
x
n
,
则
(
dn
a
1<
/p>
d
)
b
n
d
x
n
b
n
(
d
x
n
d
x
<
/p>
)
b
n
q
dn
a
1
d
d
x
n
< br>
d
x
qn
d
x
q
q
dn
a
1
d
d
x
d
x
q
n
< br>
(1
q
)
d
x
q
则
d
d<
/p>
x
d
x
q
,
故
d
x
d
1
q
dq
,
< br>1
q
a
1
d
(1
q
)<
/p>
d
x
q
,
即
(1
q
)
a
1
d
< br>
d
x
q
a
1
d
a
1
d
a
1
dq
dq
,
所以
x
d
,
1
x
1
q
1
q
<
/p>
2
1
q
1
q
2
a
1
1
qd
a
< br>1
1
2
t
1
q
qd
d
,
d<
/p>
x
d
t
t
1
q
即
x
1
1
q
2
利用定理，就可以很容易地得到前
n
项和
S
n
公式
S
n
a
1
b
1
a
2
b
2
…
+
a
< br>n
b
n
=
(
x
1
b
1
x
2
b
2
)
< br>(
x
2
b
2
x
3
b
3
)
+
…
+
(
x
n
b
n
x
n
1
b
< br>n
1
)
=
x
1
b
1
x
n
1
b
n
1
（该式称为
1
式。方法
1
，此处已可得出答案）