数列求和的基本方法(教案设计)
诚心实意-
数列求和的基本方法
(
教案设计
)
数列求和的基本方法与技巧
一、考纲导视
考纲要求
考纲研读
1.
掌握等差数列、等比数列的求和公式．
2.
了解一般数列求和的几种方法
.
对等差、等比数列的求和以考查公式为主，对非等
差、非等比数
列的求和，主要考查分组求和、裂项
相消、错位相减等方法
.
二、数列求和常用的方法
（一）利用常用求和公式求和
1
、
等差数
列求和公式：
S
n
< br>n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)<
/p>
na
1
d
2
2
na
1
2
、等比数列求和公式：
S
n
< br>
a
1
(1
q
n
)
a
1
a<
/p>
n
q
1
q
1
q
n
(
q
=1)
(
q
1)
< br>n
1
1
2
3
、
S
n
k
n
(
n
1)
4
、
S
n
k
n
(
n
1)(2
n
1)
2
6
k
1
< br>k
1
5
、
S
n
1
3
k
[
n
(
n
1)]
2
2
k
1
n
a
3
< br>
7
，
a
5
a
7
26
，
a
n<
/p>
的前
n
项和为
S
n
，
[
例
1]
已知等差数列
a
n
满足：
求
a
n
及
S
n
。
a
3
a
1
2
d
< br>7
a
1
3
解：设等差数列
a
n
公差为
d
，则
即
a
a
a
4
d
a
<
/p>
6
d
26
d
2
7
1
1
5
a
n
< br>
2
n
1
，
S
n
3
n
n
(
n
1
)
2
n
2
2
< br>n
2
ｎ
[
例
2]
等比数列
a
n
的前ｎ项和
S
ｎ
＝
2
< br>－１，求
解：当
n=1
时，
a
1
S
1
1
n
n
1
< br>
1
2
n
1
（对
n=1
成立）
当
n
2
时，
a
n
S
n
S
n
1
2
1
2
。
< br>a
n
2
n
1
，
a
n
(
2
n
1
)
2
4
n
1
2
1 / 4
数列求和的基本方法<
/p>
(
教案设计
)
a
n
1<
/p>
a
n
2
2
2
4
，
{
a
n
}
是等比数列，首项为
1
，公
比为
4
1
4
n
4
n
<
/p>
1
1
4
3
2
a
1
a
2
a
3
a
n<
/p>
变式训练：
已知
log
3
x
2
2
2
1
，求
x
x<
/p>
2
x
3
x
n
。
log
2
3
（学生板演，教师针对学生步骤中的问题作针对性点评）
（二）倒序相加法求和
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，
就是将一个数列倒过来排列，再把
它与原数列相加，就可以得到
n
个
(a
1
+
a
n
)
。
<
/p>
倒序相加法也适用于与首尾两项距离相等的两项之和均相等且为定值的数列求和。
[
例
3]
已知函数
（
1
）证明：
；
（
2
）求
的值
.
f
(
x
)
f
(
1
<
/p>
x
)
（
1
）证明：
2
x
2
x
2
x
x
x
2
1
x
< br>2
1
x
2
1
2
x
2
x
2
2
2
2
2
x
< br>2
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
所以，
f
(
x
)
f
(
1
< br>x
)
1
（
2
）解：
f
(
变式训练：
< br>1
2
8
9
1
9
9
9
)
f
(
)
f
(
)
f
(
)
< br>
[
f
(
)
f
(
)
]
10
10
10
10
10
10
2
2
求
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
的值。
（学生板演，教师针对学生步骤中的问题作针对性点评）
（三）错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用
的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的
前
n
项和，其中
{
a
n
}
、
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列。
错位相减法的解题步骤：
(1)
写出
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+
…
+a
n
(2)
求
qS
n
(3)
计算
(1-q)S
n
2 / 4
2
o
2
o
2
o
2
o
2
o