数列求和习题及答案
孔德懋-
§6.4
数列求和
（时间：
< br>45
分钟
满分：
100
分）
一、选择题<
/p>
(
每小题
7
分，
共
35
分
)
1
*
1
．在等比数列
< br>{
a
n
} (
< br>n
∈
N
)
中，若
a
1
＝
1
，
a
4
＝
，则该数列的前
10
项和为
(
)
8
1
1
A
．
2
－
8
B
．
2
－
9
2
2
1
1
C
．
2
< br>－
10
D
．
2
－
11
2
2
2
．若数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝<
/p>
2
n
＋
2
n
－
1
，则数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
(
)
A
．<
/p>
2
＋
n
－
1
C
．
2
n
＋
1
＋
n
2
－
2
n
2
B
．
2
n
＋
1
＋
n
－
1
2
D
．
2
n
＋
n
－
2
< br>3
．已知等比数列
{
a
n
}
的各项均为不等于
1
的正数，数列
{
b
< br>n
}
满足
b
n
＝
lg
a
n
，
b
3
＝
18
，
b
6
＝
12
，则数列
{
b
n
}
的
前
n
项和的最大值等于
(
)
A
．
126
B
．
130
C
．
132
D
．
134
4
．数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
< br>n
＝
(
－
1)
n
－
1
·(4
n
－
3)
，则它的前
100
项之和
S
100
等于
(
)
A
．
200
B
．－
200
C
．
400
D
．－
400
5
．数列
1·
n
,
2(
n
－
1),3(
n
－
2)
，…，
n
·1
的和为
(
)
1
A.
n
(
n
＋
1)(
n
＋
2)
6
1
C.
n
(
n
＋
2)(
n
＋
3)
3
1
B.
n
(
n
＋
1)(2
n
＋
1)
6
1
D.<
/p>
n
(
n
＋
1)(
n
＋
2) <
/p>
3
二、填空题
(
每小题
6
分，共
24
< br>分
)
2
2
6
．等比数列
{
a
n
}
的前
n
< br>项和
S
n
＝
2
n
－
1
，则
a
2
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
＝
________.
7
．已知数列
{
a
n
}
的通项
a
n
与前
n
项和
S
n
之间满足关系式
S
n
＝
2
－<
/p>
3
a
n
，则
a
n
＝
_____
_____.
8
．
已知等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
3
，
a
4
＝
81
，
若数列
{
b
n
}
< br>满足
b
n
＝
log
3
a
n
，
则数列
项和
< br>S
n
＝
________. <
/p>
9
．
设关于
x<
/p>
的不等式
x
2
－
x
<2
nx
(
n
∈
N
*<
/p>
)
的解集中整数的个数为
a
n
，
数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>，则
S
100
的值为
________
．
三
、解答题
(
共
41
分
)
10
．
(13
分
)
已知数列
{
a
n
}
< br>的各项均为正数，
S
n
为其前<
/p>
n
项和，对于任意的
n
< br>∈N
*
满足关系式
2
S
n
＝
3
a
n
－
3.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
设数列
{
b
n
}
的通项
公式是
b
n
＝
，前
n
项和为
T
n
，求证：对于任意的
log
3
a
n
·log
3<
/p>
a
n
＋
1
正数
n
，总有
T
n
<1.
11
．
(14
分
)
已
知单调递增的等比数列
{
a
n
}
满足
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＝
28
< br>，且
a
3
＋
2
是
a
2
，
a
4
的等差
的前<
/p>
n
b
n
b
n
＋
1
1
中项．
(
1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
若
b
n
＝
a
n
log
a
n
，
S
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…
＋
b
n
，
求使
S
n
＋
n
·2
n
＋
1
>50
成立的最小正整数
n
< br>的
2
值．
12
．
(14
分
< br>)
已知等差数列
{
a
n
}
的首项
a
1
＝
1
，公差
d
>0
，且第二项、第五项、第十四项分别
是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)
求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
1
*
(
n
∈N
)
，
S
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
，是否存在最大的整数
t
，使得对任
n
(
a
n
＋
3)<
/p>
t
意的
n
均有<
/p>
S
n
>
总成立？
若存在，求出
t
；若不存在，请说明理由．
36
答案
1.B
2.C
7.
3.C
4.B
8.
5.A
1
n
6.
(4
－
1)
3
1
3
n
－
1
2
4
n
n
＋
1
9.10 100
10. (1)
解
由已知得
2
S
n
＝<
/p>
3
a
n
－
3
，
2
S
n
－
1
＝
3
a
n
－
1
－
3
(<
/p>
n
≥2)
．
<
/p>
故
2(
S
n
－
S
n
－
1
)
＝
2
a
n
＝
3
< br>a
n
－
3
a
n
－
1
，
即
a
n
＝
3
a
n
－
1
(
n
≥2)．
故数列
{
a
n
}
为等比数列，且公比
q
＝
3.
又当
n
＝
1
时，
2
a
1
＝
3
a
1
－
3
，∴
a
1
＝3.∴
a
n
＝
3
n
< br>.
1
1
1
(2)
证明
∵
< br>b
n
＝
＝
－
.
n
(
n
＋
1)
n
n
＋
1
∴
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
1
1
1
1
1
< br>
＝
1
－
＋
－
＋…＋
－
2
2
3
n
n
＋
1
＝
1
< br>－
1
<1.
n
＋
1
11
解
< br>
(1)
设此等比数列为
a<
/p>
1
，
a
1
q
，
a
1
q
2
，
a
1
q
3
，…，
其中
a
1
≠0，
q
≠0.
由题意知
：
a
1
q
＋
a
1
q
2
＋
a
1
q
3
＝
28
，
a
1
q
＋
a
1
q
＝
2(
a
1
q
＋
2)
．
3
2
①
②
②×7－①
得
6
a
1
q
3
－
15
a
1
q
2
＋
6
a
1
q
＝
0
，
1
即
2
q
2
－
5
q
＋
2
＝<
/p>
0
，
解得
q
＝
2
或
q
＝
.
2